Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Lượng mưa trung bình là giá trị trung bình của M(t) trên đoạn [1;31]:
$$\bar{M}=\frac{1}{31-1}{\int }_1^{31}\left(80+10(t-8)\right)dt.$$
Tính nguyên hàm: $\int (80+10(t-8))dt=80t+5(t-8{)}^2+C$.
Do đó
$${\int }_1^{31}(80+10(t-8))dt={\left[80t+5(t-8{)}^2\right]}_1^{31}=(2480+5\cdot 529)-(80+5\cdot 49)=5130-325=4800.$$
Vậy $\bar{M}=\frac{4800}{30}=160$ mm. Lượng mưa trung bình tháng 10/2023 của Thừa Thiên Huế là 160 mm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc $O$ tại đỉnh parabol, trục hoành nằm trên mặt đất. Hai chân cổng tại $x=\pm 4$, đỉnh parabol cao 8 m (theo hình vẽ) nên parabol có dạng $y=8-\frac{x^2}{2}$.

Tấm phông hình chữ nhật có $MN=4$ m nên $M,N$ có hoành độ $x=\pm 2$, độ cao $y=8-\frac{2^2}{2}=6$ m, đúng với $MQ=6$ m. Diện tích phông: $S_{MNPQ}=4\cdot 6=24$ m².

Diện tích phần parabol phía trên mặt đất:
$$S={\int }_{-4}^4\left(8-\frac{x^2}{2}\right)dx={\left[8x-\frac{x^3}{6}\right]}_{-4}^4=64-\frac{64}{3}=\frac{128}{3}{\text{m}}^2.$$

Diện tích phần phía ngoài phông (trang trí hoa):
$$S_{ngoai}=\frac{128}{3}-24=\frac{56}{3}{\text{m}}^2.$$

Số tiền mua hoa:
$$\frac{56}{3}\times 200000=\frac{11200000}{3}\approx 3733333,33\text{đoˆˋng}.$$

Vậy số tiền để mua hoa trang trí là $\frac{11200000}{3}\approx 3733333$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Lượng dầu tiêu thụ trong khoảng 10 năm là tích phân của tốc độ tiêu thụ r(t) từ 0 đến 10: ${\int }_0^{10}r(t)dt={\int }_0^{10}20e^{0,2t}dt=100(e^2-1)$ (tỉ thùng). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$. Vì $Q(2)=16-192+576+C=400+C=500$ nên $C=100$, tức $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$.

a) Sai, vì thiếu hằng số $C=100$ (hàm đúng phải là $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$).

b) $Q(5)=625-3000+3600+100=1325$ người. Đúng.

c) $Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$; $Q$ tăng trên $(0;6)$, giảm trên $(6;12)$, tăng trên $(12;13)$. So sánh: $Q(6)=1296+100=1396$; $Q(13)=28561-52728+24336+100=269$. Vậy lượng khách lớn nhất là $1396$ người, không phải $1296$. Sai.

d) Xét $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$ trên $[0;13]$. $Q^{\prime \prime }(t)=12t^2-144t+288=0\Rightarrow t=6\pm 2\sqrt{3}$; điểm cực đại địa phương của $Q^{\prime }$ là $t=6-2\sqrt{3}\approx 2,54$ với $Q^{\prime }\approx 192\sqrt{3}\approx 332,6$. Nhưng $Q^{\prime }(13)=8788-12168+3744=364>332,6$, và $Q^{\prime }(6)=0$. Vậy $Q^{\prime }$ lớn nhất tại $t=13$, không phải $t=6$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $Q^{\prime }(t)$ là $t^4-24t^3+144t^2+C$; từ $Q(2)=500$ suy ra $C=100$, nên hàm đúng là $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$, thiếu hằng số 100.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q(5)=625-3000+3600+100=1325$ người.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$; $Q$ tăng trên $(0;6)$, giảm trên $(6;12)$, tăng trên $(12;13)$. $Q(6)=1396$, $Q(13)=269$, nên max là $1396$ người chứ không phải $1296$ (1296 chỉ là $Q(6)-100$ do bỏ qua hằng số).
d) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại địa phương của $Q^{\prime }$ tại $t=6-2\sqrt{3}$ với giá trị $192\sqrt{3}\approx 332,6$, nhưng $Q^{\prime }(13)=364$ lớn hơn; hơn nữa $Q^{\prime }(6)=0$. Vậy $Q^{\prime }$ lớn nhất tại $t=13$, không phải $t=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường là ${\int }_1^4|v(t)|dt$ với $v(t)=t^2-t-6=(t-3)(t+2)$. Trên $[1;3]$, $v(t)\le 0$; trên $[3;4]$, $v(t)\ge 0$. Nguyên hàm: $F(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t$. Ta có $F(1)=-\frac{37}{6}$, $F(3)=-\frac{27}{2}$, $F(4)=-\frac{32}{3}$. Quãng đường $=\left(F(1)-F(3)\right)+\left(F(4)-F(3)\right)=\frac{22}{3}+\frac{17}{6}=\frac{61}{6}\approx 10,1667\approx 10,2$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục như hình: O(0;0), E(4;0), D(0;2), G(0;−3), C(−4;0); mép trái tấm gỗ là x=−5 (chiều dài 9 dm từ x=−5 đến x=4, chiều rộng 5 dm từ y=−3 đến y=2).

Parabol trên qua C(−4;0), D(0;2), E(4;0): f(x)=2−x²/8.
Parabol dưới qua C(−4;0), G(0;−3), E(4;0): g(x)=−3+3x²/16.

Hai parabol cắt nhau tại C(−4;0) và E(4;0). Trên [−4;4] có f≥g (thân cá); trên [−5;−4] có g≥f (phần đuôi giữa hai parabol, chạm mép trái tấm gỗ).

Diện tích thân: ∫_{−4}^{4}(f−g)dx = ∫_{−4}^{4}(5−5x²/16)dx = 40 − (5/16)·(128/3) = 40 − 40/3 = 80/3.

Diện tích đuôi: ∫_{−5}^{−4}(g−f)dx = ∫_{−5}^{−4}(5x²/16−5)dx = [5x³/48−5x]_{−5}^{−4} = 40/3 − 575/48 = 65/48.

Tổng diện tích logo: S = 80/3 + 65/48 = 1345/48 ≈ 28,0208 dm².

Chi phí: logo sơn xanh 20000·S đồng; phần còn lại (45−S) dm² sơn trắng 10000·(45−S) đồng.
Tổng = 20000S + 10000(45−S) = 450000 + 10000·1345/48 ≈ 450000 + 280208,33 ≈ 730208,33 đồng.

Làm tròn đến hàng nghìn đồng: 730 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi $v(t)=-8t+24=0\Rightarrow t=3$ (giây). Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là $s={\int }_0^3(-8t+24)dt=\left(-4t^2+24t\right){|}_0^3=-36+72=36$ (m). Vậy ô tô di chuyển quãng đường 36 mét.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường cong là $y=x^2-2x-1$ (parabol hướng lên) và $y=-x^2+3$ (parabol hướng xuống). Giao điểm: $x^2-2x-1=-x^2+3\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$ (khớp với hình vẽ). Trên đoạn $[-1;2]$ thì $-x^2+3\ge x^2-2x-1$. Diện tích: $$S={\int }_{-1}^2\left[(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right]dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\frac{20}{3}+\frac{7}{3}=9.$$ Vậy diện tích phần gạch chéo bằng $9$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $C(x)=C(0)+{\int }_0^x{C}^{\prime }(t)dt$. Với $x=100$: ${\int }_0^{100}(5-0,06t+0,00072t^2)dt={\left[5t-0,03t^2+0,00024t^3\right]}_0^{100}=500-300+240=440$. Vậy $C(100)=30+440=470$ triệu đồng.

Lời giải (theo biểu điểm và đáp án, trang 14): Ta có: $h^{\prime }(t)=10t+500$
$\Rightarrow h(t)=\int (10t+500)dx=5t^2+500t+C$
Chọn $t=0\Rightarrow h(0)=0\Rightarrow C=0$
$\Rightarrow h(t)=5t^2+500t$
thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:
$h(2400)=5.2400^2+500.2400=3.10^7\left(m^3\right)$

Lời giải (theo biểu điểm và đáp án, trang 15-16) — Đáp án: 8976.



Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.



Gọi $L(x)$ là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao $x$.
Theo đề ta có, $L(x)$ là một parabol đi qua ba điểm
$$\left(0;13\sqrt{2}\right),\left(30;10\sqrt{2}\right),\left(x_o;\frac{55\sqrt{2}}{8}\right),$$ trong đó $x_o$ là vị trí toà nhà có cạnh $L_{min}=13,75$ m.
$$L(x)=a{\left(x-x_o\right)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}.$$
Ta có hệ: $\{\begin{array}{l}L(0)=a(0-x_o{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}=13\sqrt{2}\\ L(30)=a(30-x_o{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}=10\sqrt{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a(x_o{)}^2=\frac{49\sqrt{2}}{8}\\ a(30-x_o{)}^2=\frac{25\sqrt{2}}{8}\end{array}$
$\Rightarrow \frac{x_o^2}{(30-x_o{)}^2}=\frac{49}{25}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_o=105(L)\\ x_o=17,5(TM)\end{array}\Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{50}$
Suy ra $L(x)=\frac{\sqrt{2}}{50}(x-17,5{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}$
Do đó, diện tích thiết diện là $S(x)=2{\left[L(x)\right]}^2=2{\left[\frac{\sqrt{2}}{50}(x-17,5{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}\right]}^2$.
Vậy thể tích của toà nhà là
$V={\int }_0^{30}S(x)dx={\int }_0^{30}2{\left[\frac{\sqrt{2}}{50}(x-17,5{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}\right]}^{2}dx\approx 8976m^3$.
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương ứng)

Lời giải: Ta có: $h^{\prime }(t)=10t+500$
$\Rightarrow h(t)=\int (10t+500)dx=5t^2+500t+C$
Chọn $t=0\Rightarrow h(0)=0\Rightarrow C=0$
$\Rightarrow h(t)=5t^2+500t$
thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:
$h(2400)=5.2400^2+500.2400=3.10^7\left(m^3\right)$

Đáp án chính thức: 8400. Lưu ý nguồn: trang đề có ghi 'Mã đề 1001', nhưng cột mã đề 1001 câu 22 trong bảng đáp án (trang 5) là -4,5, còn giá trị 8400 xuất hiện ở cột mã đề 1005 (và 1002) câu 22. Xác minh bằng lời giải: h(t)=at^3+$\frac{b}{2}$t^2; h(5)=125a+12{,}5b=150 và h(10)=1000a+50b=1100 $\Rightarrow$ a=1,\ b=2 $\Rightarrow$ h(20)=8000+400=8400\ (m^3), khớp với giá trị 8400 trong bảng. Vậy đáp án số học của câu này là 8400; việc ghi nhầm 'theo bảng đáp án mã đề 1001' đã được sửa.

(AI giải đề cho tôi)
Số lượng vi rút sau 10 ngày là $N(10)=N(0)+{\int }_0^{10}{N}^{\prime }(t)dt=250000+{\int }_0^{10}\frac{1000}{t}dt=250000+1000\ln 10\approx 250000+1000\cdot 2,302585=252302,585\approx 252303$ con. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đi được trong 50 phút là $S={\int }_0^{50}v(t)dt$ tính theo từng khoảng:
- ${\int }_0^{10}50tdt=25t^2{|}_0^{10}=2500$ (m).
- ${\int }_{10}^{30}(20t+300)dt=(10t^2+300t){|}_{10}^{30}=(9000+9000)-(1000+3000)=14000$ (m).
- ${\int }_{30}^{50}(-10t+1200)dt=(-5t^2+1200t){|}_{30}^{50}=(-12500+60000)-(-4500+36000)=47500-31500=16000$ (m).

Tổng quãng đường: $S=2500+14000+16000=32500$ (m).

Vận tốc trung bình trong 50 phút: $\bar{v}=\frac{S}{50}=\frac{32500}{50}=650$ (m/phút). Kết quả khớp với đáp án nguồn (650).

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đi được trong 30 phút là $S={\int }_0^{30}v(t)dt$ tính theo từng khoảng:
- ${\int }_0^{10}100tdt=50t^2{|}_0^{10}=5000$ (m).
- ${\int }_{10}^{20}(20t+800)dt=(10t^2+800t){|}_{10}^{20}=(4000+16000)-(1000+8000)=11000$ (m).
- ${\int }_{20}^{30}(-10t+1400)dt=(-5t^2+1400t){|}_{20}^{30}=(-4500+42000)-(-2000+28000)=11500$ (m).

Tổng quãng đường: $S=5000+11000+11500=27500$ (m).

Vận tốc trung bình: $\bar{v}=\frac{27500}{30}\approx 916,67\approx 917$ (m/phút).

Kết quả khớp với đáp án nguồn (917).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=\frac{1000}{t}$, nên $N(t)=1000\ln t+C$. Theo đề, $N(1)=250000$ (nghìn con đã đổi ra con) suy ra $C=250000$. Vậy $N(10)=1000\ln 10+250000\approx 1000\cdot 2,302585+250000=252302,585\approx 252303$ con. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xe dừng khi $v(t)=-4t+20=0\iff t=5$ giây → Đúng. b) Trong 1,5 giây đầu xe đi đều $20m/s$: quãng đường $=20\cdot 1,5=30m$ → Đúng. c) Quãng đường khi phanh: ${\int }_0^5(-4t+20)dt=\left(-2t^2+20t\right){|}_0^5=-50+100=50m$. Tổng quãng đường $=30+50=80m$ → Đúng. d) Quãng đường từ lúc đạp phanh đến khi dừng là $50m$, không phải $40m$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1202, câu 14: DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-4t+20=0\iff t=5$ giây, nên sau 5 giây kể từ lúc đạp phanh xe dừng hẳn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trước khi phanh xe đi đều với $20m/s$: $s=20\cdot 1,5=30m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường phanh $={\int }_0^5(-4t+20)dt=50m$; tổng $=30+50=80m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường từ lúc đạp phanh đến khi dừng là ${\int }_0^5(-4t+20)dt=50m\ne 40m$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a(t)=v^{\prime }(t)=3t^2+2t$, ta có $v(t)=\int (3t^2+2t)dt=t^3+t^2+C$. Với $v(0)=10$ suy ra $C=10$, nên $v(t)=t^3+t^2+10$. Sau 2 giây: $v(2)=8+4+10=22$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (22).

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi v(t)=-10t+30=0 ⟹ t=3 giây (kể từ lúc đạp phanh). Quãng đường lúc đạp phanh: s=∫₀³(-10t+30)dt=[-5t²+30t]₀³=45 m. Trong 1 giây phản ứng xe đi đều 30 m. a) Tổng quãng đường từ lúc phát hiện đến khi dừng: 30+45=75 m → Đúng. b) Thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng là 3 giây, không phải 4 → Sai. c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh quãng đường là 45 m, không phải 40 m → Sai. d) 1 giây cuối (t từ 2 đến 3): ∫₂³(-10t+30)dt=[-5t²+30t]₂³=45-40=5 m, không phải 10 m → Sai. Khớp đáp án mã đề 1201: DSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong 1 giây phản ứng xe đi 30 m; quãng đường phanh là ∫₀³(-10t+30)dt=45 m; tổng 30+45=75 m → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=0 ⟹ -10t+30=0 ⟹ t=3 giây, không phải 4 giây → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³(-10t+30)dt=45 m, không phải 40 m → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₂³(-10t+30)dt=[-5t²+30t]₂³=45-40=5 m, không phải 10 m → Sai.