Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đi được trong 3 giây là tích phân tốc độ: $s={\int }_0^{3}v(t)dt={\int }_0^3(-10t+30)dt={\left[-5t^2+30t\right]}_0^3=-45+90=45(m)$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: v(t)=20-4t. a) Ô tô đứng khi v=0 ⇒ t=5(s): Đúng. b) Quãng đường = ∫₀⁵(20-4t)dt = 100-50 = 50(m): Đúng. c) v(2)=20-8=12(m/s)≠10: Sai. d) v(t)=20-5t sai vì gia tốc là -4: Sai. Khớp đáp án chính thức ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=20-4t=0 ⇒ t=5 giây, ô tô đứng hẳn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường s=∫₀⁵(20-4t)dt=100-50=50(m).
c) (AI giải đề cho tôi)
v(2)=20-4·2=12(m/s), không phải 10(m/s).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì a=-4(m/s²) nên v(t)=20-4t, không phải 20-5t.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đi được trong 3 giây là tích phân của vận tốc: $s={\int }_0^3(-10t+30)dt={\left[-5t^2+30t\right]}_0^3=-45+90=45(m)$. Vận tốc dương trên $[0;3]$ nên không cần xét giá trị tuyệt đối. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: quãng đường đi được trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(u)du$, không phải ${\int }_0^{11}v(t)dt$ (đó là quãng đường trong 11 giây). b) Đúng: $v(4)=11-4=7$ (m/s). c) Đúng: $s={\int }_0^4(11-t)dt=44-8=36$ m. d) Đúng: tại $t=6$, vận tốc $v(6)=5$ m/s $=18$ km/h $>5$ km/h, nên khi qua công trường xe vẫn vượt quá tốc độ cho phép, người lái không thực hiện đúng quy định. Kết quả khớp đáp án mã đề 1202: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(u)du$, không phải ${\int }_0^{11}v(t)dt$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(4)=11-4=7$ (m/s).
c) (AI giải đề cho tôi)
$s={\int }_0^4(11-t)dt={\left[11t-\frac{t^2}{2}\right]}_0^4=44-8=36$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=6$: $v(6)=5$ m/s $=18$ km/h $>5$ km/h, vượt giới hạn cho phép nên không đúng quy định.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận khi bán 100 sản phẩm đầu tiên là ${\int }_0^{100}{P}^{\prime }(x)dx={\int }_0^{100}(-0,0008x+10,4)dx=\left(-0,0004x^2+10,4x\right){|}_0^{100}=-0,0004\cdot 10000+10,4\cdot 100=-4+1040=1036$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 18: 1036).

(AI giải đề cho tôi)
Xe chuyển động chậm dần đều với $v(t)=11-t$ (m/s), $0\le t\le 11$.
a) $v(4)=11-4=7$ (m/s) → đúng.
b) Quãng đường đi được trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(x)dx$, không phải ${\int }_0^{11}v(t)dt$ (tích phân từ 0 đến 11 chỉ cho quãng đường trong 11 giây) → sai.
c) $s(4)={\int }_0^4(11-t)dt={\left[11t-\frac{t^2}{2}\right]}_0^4=44-8=36$ (m) → đúng.
d) Tại $t=6$: $v(6)=5$ m/s $=18$ km/h $>5$ km/h. Quãng đường đã đi: $s(6)=66-18=48$ m. Xe cách công trình 9 m, thời điểm tới công trình: $11t-\frac{t^2}{2}=57\iff t^2-22t+114=0\iff t=11-\sqrt{7}\approx 8,35$ s. Khi đó $v\approx 11-8,35=2,65$ m/s $\approx 9,54$ km/h $>5$ km/h, nên người lái xe không thực hiện đúng quy định của biển báo → đúng.
Khớp đáp án mã đề 1201, câu 14: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(4)=11-4=7$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường trong $t$ giây là $s(t)={\int }_0^{t}v(x)dx$; tích phân từ 0 đến 11 chỉ cho quãng đường trong 11 giây.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s(4)={\int }_0^4(11-t)dt=44-8=36$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=6$, $v=5$ m/s $=18$ km/h; xe tới công trình tại $t=11-\sqrt{7}\approx 8,35$ s với $v\approx 2,65$ m/s $\approx 9,54$ km/h $>5$ km/h nên không đúng quy định.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận khi bán 100 sản phẩm đầu tiên là ${\int }_0^{100}{P}^{\prime }(x)dx={\int }_0^{100}(-0,0008x+10,4)dx=\left(-0,0004x^2+10,4x\right){|}_0^{100}=-0,0004\cdot 10000+10,4\cdot 100=-4+1040=1036$ (triệu đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 1036.

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi v(t)=-3t+15=0 => t=5 (s), nên b) Đúng. Quãng đường đến khi dừng: s=∫₀⁵(-3t+15)dt=[-1,5t²+15t]₀⁵=-37,5+75=37,5 m, nên a) Sai (37,45 m). Quãng đường trong 2 s cuối: ∫₃⁵(-3t+15)dt=[-1,5t²+15t]₃⁵=37,5-31,5=6... kiểm tra: tại t=3: -13,5+45=31,5; tại t=5: 37,5; hiệu = 6 m ≠ 24 m, nên c) Sai. Khi dừng, xe cách chướng ngại vật 50-37,5=12,5 m, nên d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
s(5)=∫₀⁵(-3t+15)dt=37,5 m ≠ 37,45 m nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=0 ⇔ -3t+15=0 ⇔ t=5 s, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₃⁵(-3t+15)dt=37,5-31,5=6 m ≠ 24 m nên Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
50-37,5=12,5 m, Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi $v(t)=-3t+15=0\Rightarrow t=5(s)$, nên ý b) đúng. Quãng đường đến khi dừng: $s={\int }_0^5(-3t+15)dt={\left[-\frac{3t^2}{2}+15t\right]}_0^5=-37,5+75=37,5(m)$, nên ý a) sai (không phải 37,45 m). Quãng đường trong 2 s cuối: $s(5)-s(3)=37,5-\left(-\frac{27}{2}+45\right)=37,5-31,5=6(m)$, nên ý c) sai. Xe dừng cách chướng ngại vật $50-37,5=12,5(m)$, ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đến khi dừng là ${\int }_0^5(-3t+15)dt=37,5m\ne 37,45m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=0\iff t=5s$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s(5)-s(3)=37,5-31,5=6m\ne 24m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$50-37,5=12,5m$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai dây song song cách đều tâm và cách nhau 22 m nên mỗi dây cách tâm 11 m. Phần trồng hoa là dải giữa giới hạn bởi hai dây, tức phần hình tròn giữa hai đường thẳng $x=-11$ và $x=11$ (tâm $O$, bán kính $R=15$). Diện tích: $$S={\int }_{-11}^{11}2\sqrt{225-x^2}dx=2{\int }_0^{11}2\sqrt{225-x^2}dx.$$ Nguyên hàm: $\int 2\sqrt{225-x^2}dx=x\sqrt{225-x^2}+225\arcsin \frac{x}{15}$. Vậy $$S=2\left[11\sqrt{104}+225\arcsin \frac{11}{15}\right]\approx 2(112,18+185,20)\approx 594,8\approx 595m^2.$$ Kết quả khớp đáp án nguồn 595 (mã đề 404, Phần III Câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[a,c]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$. Trên đoạn $[c,b]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần đó là ${\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$. Vậy $S=-{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$, tương ứng đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111: B).

a/ Chi phí
$C(x)=\int C^{\prime }(x)dx=\int \left(3x^2-11x+20\right)dx=x^3-\frac{11}{2}{x}^2+20x+C$
Chi phí ban đầu C(0) = 600 nên C = 600.
Do đó $C(x)=x^3-\frac{11}{2}{x}^2+20x+600$
Chi phí sx 16 chiếc chiếu là C(16) = 3608 (nghìn đồng) (0,25 + 0,25 điểm)

b/ Lợi nhuận khi bán x chiếc chiếu là
$L(x)=320x-\left(x^3-\frac{11}{2}{x}^2+20x+600\right)=-x^3+\frac{11}{2}{x}^2+300x-600,(0\le x\le 20)$
Xét hàm L(x). Tính L'(x). Gpt L'(x) = 0 có 2 nghiệm 12 và -25/3.
Lập bảng biến thiên.
Kết luận, lợi nhuận tối đa là 2064 nghìn đồng. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tính thể tích vật thể biết diện tích mặt cắt $S(x)$ vuông góc với trục $Ox$: $V={\int }_a^{b}S(x)dx$. Với $a=0,b=3$ ta được $V=\underset{0}{\overset{3}{\int }}S(x)dx$. Khớp với đáp án D trong đề và bảng đáp án (Câu 1, mã 1001: D).

a/ Chi phí
$C(x)=\int C^{\prime }(x)dx=\int \left(3x^2-4x+10\right)dx=x^3-2x^2+10x+C$
Chi phí ban đầu C(0) = 500 nên C = 500.
Do đó $C(x)=x^3-2x^2+10x+500$
Chi phí sx 15 chiếc chiếu là C(15) = 3575 (nghìn đồng) (0,25 + 0,25 điểm)

b/ Lợi nhuận khi bán x chiếc chiếu là
$L(x)=270x-\left(x^3-2x^2+10x+500\right)=-x^3+2x^2+260x-500,(0\le x\le 20)$
Xét hàm L(x). Tính L'(x). Gpt L'(x) = 0 có 2 nghiệm 10 và -26/3.
Lập bảng biến thiên.
Kết luận, lợi nhuận tối đa là 1300 nghìn đồng. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $h(0)=520$, $h(5)=530$, $h(15)=520$ và $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)ds=\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}+520$, ta có hệ $\frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$ và $1125a+\frac{225b}{2}=0$. Giải được $a=-0,12$, $b=1,2$, tức $v(t)=-0,12t^2+1,2t$. a) $v(t)=0$ tại $t=10$, $h(10)=-40+60+520=540$ m là độ cao lớn nhất → Đúng. b) $v(t)>0$ trên $(0;10)$, $v(t)<0$ với $t>10$ nên tăng độ cao trong 10 phút đầu → Đúng. c) Đề cho xuất phát ở độ cao 520 m nên $h(0)=520$ m → Đúng (khớp đáp án 0002: 2c = Đ). d) Vì $h(0)=520\ne 0$, công thức đúng là $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)ds$ → Sai (khớp đáp án 0002: 2d = S).
a) Vì $h(0)=520$, $h(5)=530$ và $h(15)=520$, ta có $h(t)=\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}+520$. Giải hệ $\frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$ và $1125a+\frac{225b}{2}=0$ được $a=-0,12$, $b=1,2$, tức $v(t)=-0,12t^2+1,2t$. Khi đó $v(t)=0$ tại $t=10$ (phút), và $h(10)=-40+60+520=540$ m là độ cao lớn nhất.
b) Với $v(t)=-0,12t^2+1,2t$, ta có $v(t)>0$ trên $(0;10)$ và $v(t)<0$ với $t>10$, nên khinh khí cầu tăng độ cao trong 10 phút đầu.
c) Đề bài cho tại thời điểm xuất phát ($t=0$) khinh khí cầu ở độ cao 520 m, nên $h(0)=520$ m là đúng. Phù hợp đáp án của đề 0002: 2c = Đ.
d) Vì $h(0)=520\ne 0$, công thức đúng phải là $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)\mathrm{d}s$. Phù hợp đáp án của đề 0002: 2d = S.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại $A(0;0)$, trục $Ox$ dọc mép trên $AB$ (dài $40+40=80$ cm) và trục $Oy$ hướng xuống dưới. Theo hình vẽ: đáy sâu nhất của đường cong $AC$ cách $A$ theo phương ngang $30$ cm (còn $10$ cm nữa tới $C$), độ sâu lớn nhất $22,5$ cm; điểm nối $C$ cách $A$ theo phương ngang $40$ cm, sâu $20$ cm, tức $C(40;20)$; $B(80;0)$; chiều rộng gầu $120$ cm.

Parabol qua $A(0;0)$ có dạng $y=a{x}^2+bx$, đỉnh tại $x=30$ với $y(30)=22,5$:
$$\{\begin{array}{l}900a+30b=22,5\\ 60a+b=0\end{array}\Rightarrow a=-0,025,b=1,5,$$
tức $y=1,5x-0,025x^2$. Kiểm tra: $y(40)=60-40=20$ ✓ (đúng đi qua $C$).

Diện tích dưới đường cong từ $x=0$ đến $x=40$:
$$S_1={\int }_0^{40}\left(1,5x-0,025x^2\right)dx={\left[0,75x^2-\frac{0,025x^3}{3}\right]}_0^{40}=1200-\frac{1600}{3}=\frac{2000}{3}({\text{cm}}^2).$$

Phần tam giác $BC$ (cạnh $40$ và $20$):
$$S_2=\frac{40\cdot 20}{2}=400({\text{cm}}^2).$$

Diện tích tiết diện ngang:
$$S=S_1+S_2=\frac{2000}{3}+400=\frac{3200}{3}({\text{cm}}^2).$$

Thể tích gầu (chiều rộng $120$ cm):
$$V=\frac{3200}{3}\cdot 120=128000({\text{cm}}^3)=128\text{lıˊt}.$$

Kết quả khớp với đáp án 128.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=h(0)+{\int }_0^{t}v(x)dx=520+\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}$. Theo đề: $h(5)=530\Rightarrow \frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$; và $h(15)=520\Rightarrow 1125a+\frac{225b}{2}=0\Rightarrow b=-10a$. Suy ra $\frac{125a}{3}-125a=10\Rightarrow -\frac{250a}{3}=10\Rightarrow a=-\frac{3}{25},b=\frac{6}{5}$. Vậy $v(t)=-\frac{3}{25}{t}^2+\frac{6}{5}t=-\frac{3}{25}t(t-10)$. a) Tại thời điểm xuất phát khinh khí cầu ở độ cao 520 m nên $h(0)=520$ m: đúng. b) $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(x)dx$, thiếu hằng số 520 nên khẳng định sai. c) $v(t)>0$ khi $0<t<10$, $v(10)=0$, nên độ cao lớn nhất tại $t=10$: $h(10)=520+{\int }_0^{10}\left(-\frac{3}{25}{t}^2+\frac{6}{5}t\right)dt=520+\left(-40+60\right)=540$ m: đúng. d) Khinh khí cầu tăng độ cao khi $v(t)>0$, tức $0<t<10$, kéo dài 10 phút kể từ lúc xuất phát: đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a Đ, 1b S, 1c Đ, 1d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đề cho tại thời điểm xuất phát ($t=0$) khinh khí cầu ở độ cao 520 m, nên $h(0)=520$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $h^{\prime }(t)=v(t)$ và $h(0)=520$, nên $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(x)dx$. Khẳng định thiếu số hạng $h(0)=520$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ các điều kiện tìm được $a=-\frac{3}{25},b=\frac{6}{5}$, nên $v(t)=-\frac{3}{25}t(t-10)$. Độ cao lớn nhất tại $t=10$: $h(10)=520+{\int }_0^{10}v(t)dt=520+20=540$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khinh khí cầu tăng độ cao khi $v(t)>0$, tức $-\frac{3}{25}t(t-10)>0\iff 0<t<10$, nên giai đoạn tăng độ cao kéo dài 10 phút kể từ thời điểm xuất phát.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì s'(t)=v(t), không phải v'(t)=s(t). b) Đúng: s(t)=∫₀ᵗ(5+3u)du=5t+(3/2)t². c) Đúng: quãng đường sau 4 giây chính là s(4)=24+20=44 m. d) Sai: s(32)=(3/2)·1024+160=1536+160=1696 m, không phải 1669 m. Kết quả khớp đáp án nguồn S Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì s'(t)=v(t) nên v'(t)=s(t) là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=∫₀ᵗ(5+3u)du=5t+(3/2)t².
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường sau 4 giây là s(4)=(3/2)·16+20=44 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
s(32)=(3/2)·32²+5·32=1536+160=1696 m ≠ 1669 m.

(AI giải đề cho tôi)
Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị là $\Delta P={\int }_{100}^{125}{P}^{\prime }(x)dx={\int }_{100}^{125}(-0,0004x+9,3)dx$. Tính: $\left(-0,0002x^2+9,3x\right){|}_{100}^{125}=-0,0002(125^2-100^2)+9,3\cdot 25=-0,0002\cdot 5625+232,5=-1,125+232,5=231,375$ triệu đồng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: vận tốc là đạo hàm của quãng đường, $v(t)=s^{\prime }(t)$. b) Sai: vì $s(0)=0$, ta có $s(t)={\int }_0^t(5+3u)du=\frac{3}{2}{t}^2+5t$, không có hằng số $+5$. c) Đúng: quãng đường sau 4 giây chính là $s(4)=\frac{3}{2}\cdot 16+20=44$ m. d) Đúng: $s(32)={\int }_0^{32}(5+3t)dt=5\cdot 32+\frac{3\cdot 32^2}{2}=160+1536=1696$ m.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t)=s^{\prime }(t)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $s(0)=0$ nên $s(t)={\int }_0^t(5+3u)du=\frac{3}{2}{t}^2+5t$, không có số hạng $+5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường sau 4 giây là $s(4)=\frac{3}{2}\cdot 16+5\cdot 4=44$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s(32)={\int }_0^{32}(5+3t)dt=160+1536=1696$ m.