Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cắt hình vuông cạnh $2\sqrt{1-x^2}$ là $S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, hàm liên tục trên $[-1;1]$ nên a) Đúng. Thể tích tính bằng $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$ (không có hệ số $\pi$ vì mặt cắt là hình vuông, không phải hình tròn) nên b) Sai. $S(x)=4(1-x^2)\ne 2(1-x^2)$ nên c) Sai. $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{3}$ nên d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ S S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)=4(1-x^2)$ là đa thức nên liên tục trên $[-1;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$; hệ số $\pi$ chỉ dùng khi mặt cắt là hình tròn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, không phải $2(1-x^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị là $\Delta P=P(125)-P(100)={\int }_{100}^{125}{P}^{\prime }(x)dx={\int }_{100}^{125}(-0,0004x+9,3)dx$. Tính: ${\left[-0,0002x^2+9,3x\right]}_{100}^{125}=(-0,0002\cdot 15625+1162,5)-(-0,0002\cdot 10000+930)=(-3,125+1162,5)-(-2+930)=1159,375-928=231,375$ triệu đồng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô dừng khi $v(t)=-5t+10=0\Rightarrow t=2$ (giây). Quãng đường đi được là ${\int }_0^2(-5t+10)dt=\left(-\frac{5t^2}{2}+10t\right){|}_0^2=-10+20=10$ (m). Vậy ô tô còn di chuyển 10 mét.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $C(82)=C(0)+{\int }_0^{82}(8-0,13x+0,00022x^2)dx$. Nguyên hàm: $8x-0,065x^2+\frac{0,00022x^3}{3}$. Thay $x=82$: $8\cdot 82=656$; $0,065\cdot 82^2=0,065\cdot 6724=437,06$; $\frac{0,00022\cdot 82^3}{3}=\frac{0,00022\cdot 551368}{3}=\frac{121,30096}{3}\approx 40,4337$. Vậy tích phân $\approx 656-437,06+40,4337=259,3737$. Tổng chi phí $C(82)=24+259,3737\approx 283,37\approx 283$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $C(x)=C(0)+{\int }_0^x{C}^{\prime }(t)dt$. Với $x=84$: ${\int }_0^{84}(8-0,13t+0,00022t^2)dt={\left[8t-0,065t^2+\frac{0,00022t^3}{3}\right]}_0^{84}=672-458,64+43,46496=256,82496$. Vậy $C(84)=24+256,82496=280,82496\approx 281$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô dừng khi $v(t)=-4t+8=0\Rightarrow t=2$ (giây). Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là $s={\int }_0^2(-4t+8)dt=\left(-2t^2+8t\right){|}_0^2=-8+16=8$ (m). Vậy ô tô còn di chuyển $8$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường là tích phân vận tốc: $s(40)={\int }_0^{40}(3+2t)dt={\left[3t+t^2\right]}_0^{40}=120+1600=1720$ (m). Kết quả khớp với đáp án nguồn 1720.

Ý 1: Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian một năm là $$\frac{1}{12-0}\underset{0}{\overset{12}{\int }}c(t)\mathrm{d}t$$ (0,25 điểm). Ý 2: Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian một năm là $$\frac{1}{12}\underset{0}{\overset{12}{\int }}\left(0,005t^2+0,02t+12,5\right)\mathrm{d}t=\frac{643}{50}\approx 12,9.$$ (0,25 điểm). Tổng điểm/câu: 0,5.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường từ lúc bắt đầu chạy đà đến khi cất cánh (t = 40 giây) là $s(40)={\int }_0^{40}(3+2t)dt=\left(3t+t^2\right){|}_0^{40}=120+1600=1720$ (m). Kết quả khớp với đáp án nguồn 1720.

Ý 1: Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian một năm là $$\frac{1}{12-0}\underset{0}{\overset{12}{\int }}c(t)\mathrm{d}t$$ (0,25 điểm). Ý 2: Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian một năm là $$\frac{1}{12}\underset{0}{\overset{12}{\int }}\left(0,005t^2+0,02t+12,5\right)\mathrm{d}t=\frac{643}{50}\approx 12,9.$$ (0,25 điểm). Tổng điểm/câu: 0,5.

Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Gọi phương trình parabol $(P)$ có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$.

Khi đó $(P)$ đi qua gốc $O$, điểm $C(15;10)$ và $D(-15;10)$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}c=0\\ 225a+15b+c=10\\ 225a-15b+c=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{45}\\ b=0\\ c=0\end{array}$.

Vậy $(P)$: $y=\frac{2}{45}{x}^2$.

Khi đó: Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: $S_1=2\cdot {\int }_{-15}^{15}\left(10-\frac{2}{45}{x}^2\right)dx=400\left(m^2\right)$. (0,5 điểm)

Ý 2: Diện tích hình chữ nhật là: $S=50\cdot 30=1500\left(m^2\right)$.

Diện tích trải thảm nhân tạo là: $S_2=S-S_1=1500-400=1100\left(m^2\right)$. (0,25 điểm)

Tổng số tiền để trồng và trải thảm cỏ hết khu vui chơi là:

$400\cdot 140000+1100\cdot 100000=166000000$ (đồng) $=166$ (triệu đồng).

Tổng điểm: 3,00.

Ta có $v(t)=\int a(t)dt=t^2-4t+C$. Do $v(0)=10\Rightarrow C=10\Rightarrow v(t)=t^2-4t+10$. Quãng đường ô tô đi được sau 15 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là: $$s=\underset{0}{\overset{15}{\int }}v(t)dt=\underset{0}{\overset{15}{\int }}\left(t^2-4t+10\right)dt={\left(\frac{t^3}{3}-2t^2+10t\right)|}_0^{15}=825(m)$$

Ta có: $P(t)=\int P^{\prime }(t)dt=\int k\sqrt{t}dt=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C$. Số lượng vi khuẩn ban đầu của quần thể đó là 500 vi khuẩn hay $P(0)=500\iff C=500$. Từ đó suy ra: $P(t)=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+500$. Sau một ngày số lượng vi khuẩn của quần thể đó tăng lên thành 600 vi khuẩn hay $P(1)=600\iff \frac{2}{3}.k+500=600\iff k=150$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$ là $P(t)=100.t^{\frac{3}{2}}+500$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là: $P(7)=100.7^{\frac{3}{2}}+500\approx 2352$.

Ta có $v(t)=\int a(t)dt=t^2-4t+C$. Do $v(0)=10\Rightarrow C=10\Rightarrow v(t)=t^2-4t+10$. Quãng đường ô tô đi được sau 15 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là: $$s=\underset{0}{\overset{15}{\int }}v(t)dt=\underset{0}{\overset{15}{\int }}\left(t^2-4t+10\right)dt={\left(\frac{t^3}{3}-2t^2+10t\right)|}_0^{15}=825(m)$$

Ta có: $P(t)=\int P^{\prime }(t)dt=\int k\sqrt{t}dt=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C$. Số lượng vi khuẩn ban đầu của quần thể đó là 500 vi khuẩn hay $P(0)=500\iff C=500$. Từ đó suy ra: $P(t)=k.\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+500$. Sau một ngày số lượng vi khuẩn của quần thể đó tăng lên thành 600 vi khuẩn hay $P(1)=600\iff \frac{2}{3}.k+500=600\iff k=150$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$ là $P(t)=100.t^{\frac{3}{2}}+500$. Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là: $P(7)=100.7^{\frac{3}{2}}+500\approx 2352$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh (15;60) và đi qua gốc O. Suy ra v(t)=60-a(t-15)^2. Vì v(0)=0 nên 60-225a=0, a=4/15, tức v(t)=60-(4/15)(t-15)^2. Quãng đường từ t=0 đến t=15 là tích phân: S=∫₀¹⁵ [60-(4/15)(t-15)^2]dt = 60·15 - (4/15)·[(t-15)^3/3]₀¹⁵ = 900 - (4/15)·(0-(-3375)/3) = 900 - (4/15)·1125 = 900-300 = 600 m.

(AI giải đề cho tôi)
Xe chạy đều 10 m/s trong 120 giây (2 phút). Từ t = 120 (giây), xe chuyển động chậm dần đều với a = -2 m/s², nên vận tốc giai đoạn phanh là v(t) = -2(t - 120) + 10 = -2t + 250 (m/s). Xe dừng khi v(t) = 0 ⟹ t = 125 giây, không phải 245 giây. Quãng đường: giai đoạn đều 10·120 = 1200 m; giai đoạn phanh 10²/(2·2) = 25 m; tổng 1225 m.
a) Sai: xe dừng ở t = 125 giây.
b) Sai: hàm đúng là v(t) = -2t + 250 (m/s) với t ≥ 120, vì vận tốc lúc bắt đầu phanh là 10 m/s tại t = 120.
c) Đúng: vận tốc là nguyên hàm của gia tốc, v(t) = ∫a(t)dt (hằng số xác định bởi điều kiện đầu).
d) Đúng: tổng quãng đường 1200 + 25 = 1225 m.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giai đoạn phanh: v(t) = -2(t-120)+10 = -2t+250. Xe dừng khi v = 0 ⟹ t = 125 giây, không phải 245 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại t = 120 giây xe có vận tốc 10 m/s, nên v(t) = -2(t-120)+10 = -2t+250 (m/s), không phải v(t) = -2t+10.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: v(t) = ∫a(t)dt, hằng số tích phân xác định bởi điều kiện đầu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường = 10·120 + 10²/(2·2) = 1200 + 25 = 1225 m.

(AI giải đề cho tôi)
Vật dừng hẳn khi $v(t)=0\iff -10t+30=0\iff t=3$ (giây). Trên $[0;3]$ thì $v(t)\ge 0$ nên quãng đường là $s={\int }_0^3(-10t+30)dt={\left[-5t^2+30t\right]}_0^3=-45+90=45$ (m). Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện parabol có chiều cao $h$, đáy dài $2h$ (gốc tại $\pm h$). Diện tích parabol $=\frac{2}{3}\cdot \text{đaˊy}\cdot \text{cao}=\frac{2}{3}(2h)h=\frac{4}{3}{h}^2$, nên $S(x)=\frac{4}{3}{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^2$.
a) $h(0)=3$ nên $OA=3$ m: đúng.
b) Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài: $V={\int }_0^{5}S(x)dx$: đúng.
c) $\int h(x)dx=\int \left(3-\frac{2}{5}x\right)dx=3x-\frac{x^2}{5}+C$: đúng.
d) $V=\frac{4}{3}{\int }_0^5{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^{2}dx$. Đặt $u=3-\frac{2x}{5}$, $dx=-\frac{5}{2}du$: ${\int }_0^5{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^{2}dx=\frac{5}{2}{\int }_0^3{u}^{2}du=\frac{5}{2}\cdot 9=\frac{45}{2}$. Vậy $V=\frac{4}{3}\cdot \frac{45}{2}=30{\text{m}}^3\ne 29,89$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$h(0)=3-0=3$, nên $OA=3$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể bằng tích phân của diện tích thiết diện vuông góc trục $Ox$ trên $[0;5]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int \left(3-\frac{2}{5}x\right)dx=3x-\frac{x^2}{5}+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)=\frac{4}{3}{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^2$ (diện tích parabol đáy $2h$, cao $h$ là $\frac{4}{3}{h}^2$). $V=\frac{4}{3}\cdot \frac{45}{2}=30{\text{m}}^3$, không phải 29,89 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường An: $S_A(t)={\int }_0^{t}5\sqrt{u}du=\frac{10}{3}{t}^{3/2}$. Bình đạt 10 km khi $5t-\frac{5}{2\pi }\sin (2\pi t)=10$; tại $t=2$ thì $\sin (4\pi )=0$ nên $S_B(2)=10$ km, tức Bình về đích tại $t=2$ giờ (trước An vì An cần $t=3^{2/3}\approx 2,0801$ giờ). Tại $t=2$: $S_A(2)=\frac{10}{3}\cdot 2^{3/2}=\frac{20\sqrt{2}}{3}\approx 9,4281$ km. Khoảng cách giữa hai bạn: $10-\frac{20\sqrt{2}}{3}\approx 0,57$ km.