Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng lại khi $v(t)=18-3t=0\iff t=6$ (giây). Quãng đường đi được là $s={\int }_0^6(18-3t)dt={\left[18t-\frac{3t^2}{2}\right]}_0^6=108-54=54$ (m). Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã 102, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi $v(t)=0\iff 18-2t=0\iff t=9$ (giây). Quãng đường đi được là $s={\int }_0^9(18-2t)dt={\left[18t-t^2\right]}_0^9=162-81=81$ (m). Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã 101, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xe hãm phanh với $v(t)=20-5t$ (m/s), xe dừng khi $v(t)=0\iff t=4$ (giây).

a) Sai. Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ $a$ đến $b$ là $s(b)-s(a)$ (hoặc ${\int }_a^{b}v(t)dt$), không phải $s(a)+s(b)$.

b) Đúng. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=-5$ (m/s²) là hằng số, nên gia tốc của xe không đổi.

c) Sai. Quãng đường từ khi hãm phanh đến khi dừng: $s={\int }_0^4(20-5t)dt={\left[20t-\frac{5t^2}{2}\right]}_0^4=80-40=40$ (m), không phải 50 m.

d) Đúng. Xe chỉ đi được 40 m < 50 m (khoảng cách đến chướng ngại vật) nên xe không va vào chướng ngại vật.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường từ $a$ đến $b$ là $s(b)-s(a)={\int }_a^{b}v(t)dt$, không phải $s(a)+s(b)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)=-5$ (m/s²) không đổi theo thời gian.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xe dừng tại $t=4$; quãng đường ${\int }_0^4(20-5t)dt=40$ m ≠ 50 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xe đi được 40 m < 50 m nên không va vào chướng ngại vật.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $v(t)=9$ với $0\le t\le 4$; parabol đỉnh $(6;1)$ đi qua $(4;9)$ và $(8;9)$ nên $v(t)=2(t-6{)}^2+1$ với $4\le t\le 8$; đoạn thẳng từ $(8;9)$ đến $(13;0)$ nên $v(t)=\frac{9(13-t)}{5}$ với $8\le t\le 13$. a) Đúng: $v(13)=0$ m/s. b) Sai: 4 giây đầu $S_1={\int }_0^{4}9dt=36$ m, không phải ${\int }_0^{5}9dt$. c) Đúng: diện tích tam giác $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 9=\frac{45}{2}$ m. d) Đúng: ${\int }_4^8[2(t-6{)}^2+1]dt=\frac{44}{3}$, $v_{tb}=\frac{44/3}{4}=\frac{11}{3}\approx 3,67$ m/s.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đoạn thẳng từ $(8;9)$ đến $(13;0)$ cắt trục $Ot$ tại $t=13$, nên $v(13)=0$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong 4 giây đầu $v(t)=9$, quãng đường $S_1={\int }_0^{4}9dt=36$ (m), không phải ${\int }_0^{5}9dt$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường từ 8 đến 13 giây bằng diện tích tam giác $\frac{1}{2}\cdot (13-8)\cdot 9=\frac{45}{2}$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
Parabol $v(t)=2(t-6{)}^2+1$; ${\int }_4^{8}v(t)dt=\frac{44}{3}$, nên $v_{tb}=\frac{44/3}{4}=\frac{11}{3}\approx 3,67$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô A dừng khi $v_A(t)=0\Rightarrow -5t+15=0\Rightarrow t=3$ (s). Quãng đường A đi được trong lúc hãm phanh là ${\int }_0^3(-5t+15)dt={\left[-\frac{5t^2}{2}+15t\right]}_0^3=-22,5+45=22,5$ (m). Để khi dừng lại cách B ít nhất $0,6$ m thì khoảng cách ban đầu ít nhất là $s=22,5+0,6=23,1$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: với $0\le t\le 4$, $v(t)=10$; parabol có đỉnh $(6;2)$ đi qua $(4;10)$ và $(9;20)$ nên $v(t)=2(t-6{)}^2+2$ với $4\le t\le 9$; đoạn thẳng từ $(9;20)$ xuống $(14;0)$ với $9\le t\le 14$.
a) Đúng: đường thẳng cắt trục $Ot$ tại $t=14$ nên $v(14)=0$ m/s.
b) Đúng: $S_1={\int }_0^{4}10dt=40$ m, biểu thức trong đề đúng.
c) Đúng: quãng đường từ 9 đến 14 giây là diện tích tam giác $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 20=50$ m.
d) Đúng: ${\int }_4^9\left[2(t-6{)}^2+2\right]dt=2\cdot \frac{3^3-(-2{)}^3}{3}+10=\frac{70}{3}+10=\frac{100}{3}$ m; $v_{tb}=\frac{100/3}{5}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m/s.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đoạn thẳng từ $(9;20)$ cắt trục $Ot$ tại $t=14$, nên $v(14)=0$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $0\le t\le 4$, $v(t)=10$ nên $S_1={\int }_0^{4}10dt=40$ m; biểu thức trong đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường từ 9 đến 14 giây bằng diện tích tam giác: $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 20=50$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Parabol $v(t)=2(t-6{)}^2+2$; ${\int }_4^{9}v(t)dt=\frac{100}{3}$ m nên $v_{tb}=\frac{100/3}{5}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô A dừng khi v_A(t) = -3t + 15 = 0, tức t = 5 (s). Quãng đường A đi được khi hãm phanh là s_A = ∫₀⁵ (-3t + 15) dt = [-3t²/2 + 15t]₀⁵ = -37,5 + 75 = 37,5 (m). Để khi dừng lại hai xe cách nhau đúng 0,6 m (khoảng cách an toàn tối thiểu), ô tô A phải hãm phanh khi cách B ít nhất s = 37,5 + 0,6 = 38,1 (m).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $v(t)=8$ với $0\le t\le 4$; parabol đỉnh $(6;4)$ đi qua $(4;8)$ và $(8;8)$ nên $v(t)=(t-6{)}^2+4$ với $4\le t\le 8$; đoạn thẳng từ $(8;8)$ đến $(11;0)$ với $8\le t\le 11$.
a) Đúng: theo đồ thị $v(11)=0$ m/s.
b) Sai: quãng đường trong 4 giây đầu là $S_1={\int }_0^{4}8dt=32$ m, không phải ${\int }_0^{5}8dt$.
c) Đúng: ${\int }_8^{11}vdt=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8=12$ m (diện tích tam giác).
d) Sai: ${\int }_4^8\left[(t-6{)}^2+4\right]dt={\int }_{-2}^2(u^2+4)du=\frac{16}{3}+16=\frac{40}{3}$, nên $v_{tb}=\frac{40/3}{4}=\frac{10}{3}\approx 3,33$ m/s, không phải 6,33 m/s.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo đồ thị, đoạn thẳng từ $(8;8)$ đến $(11;0)$ nên $v(11)=0$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong 4 giây đầu $v(t)=8$ nên $S_1={\int }_0^{4}8dt=32$ m; cận trên phải là 4 chứ không phải 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_8^{11}v(t)dt=\frac{1}{2}(11-8)(8-0)=12$ m, đúng bằng 12 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $v(t)=(t-6{)}^2+4$: ${\int }_4^{8}vdt=\frac{40}{3}$, $v_{tb}=\frac{40/3}{4}=\frac{10}{3}\approx 3,33$ m/s $\ne 6,33$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Xe A dừng khi $v_A(t)=-3t+6=0\Rightarrow t=2$ (s). Quãng đường xe A đi được trong lúc hãm phanh là ${\int }_0^2(-3t+6)dt={\left[-\frac{3t^2}{2}+6t\right]}_0^2=-6+12=6$ (m). Để sau khi dừng, hai xe cách nhau tối thiểu 0,6 m thì khoảng cách ban đầu ít nhất là $s=6+0,6=6,6$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên $[0;2]$, $v(t)=7$ (đoạn thẳng ngang); trên $[2;7]$, parabol có đỉnh $(4;3)$ và đi qua $(2;7)$, $(7;12)$ nên $v(t)=(t-4{)}^2+3$; trên $[7;12]$, đoạn thẳng từ $(7;12)$ xuống $(12;0)$.
a) Đoạn thẳng từ $(7;12)$ cắt trục hoành tại $t=12$ nên $v(12)=0$, không phải $12$ m/s. Sai.
b) Trên $[0;2]$ vận tốc không đổi bằng 7 nên $S_1={\int }_0^{2}7dt=14$ (m). Đúng.
c) Quãng đường từ 7 đến 12 giây là diện tích tam giác đáy $12-7=5$ (s), chiều cao $12$ (m/s): $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$ (m). Đúng.
d) ${\int }_2^7\left[(t-4{)}^2+3\right]dt={\left[\frac{(t-4{)}^3}{3}+3t\right]}_2^7=(9+21)-\left(-\frac{8}{3}+6\right)=30-\frac{10}{3}=\frac{80}{3}$. Vận tốc trung bình $v_{tb}=\frac{80/3}{5}=\frac{16}{3}\approx 5,33$ (m/s) $\ne 4,33$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đoạn thẳng từ $(7;12)$ đi xuống cắt trục hoành tại $t=12$, nên $v(12)=0\ne 12$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$, $v(t)=7$ không đổi nên $S_1={\int }_0^{2}7dt=14$ (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác đáy 5 (s), chiều cao 12 (m/s): $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
Parabol $v(t)=(t-4{)}^2+3$; ${\int }_2^{7}vdt=\frac{80}{3}$ nên $v_{tb}=\frac{16}{3}\approx 5,33$ m/s, không phải 4,33 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Xe A dừng khi $v_A(t)=0\Rightarrow t=5$ (s). Quãng đường hãm phanh: $s_A={\int }_0^5(-3t+15)dt=\left(-\frac{3t^2}{2}+15t\right){|}_0^5=-\frac{75}{2}+75=37,5$ (m). Để khi dừng lại hai xe cách nhau tối thiểu 1 m, ô tô A phải hãm phanh khi cách B ít nhất $s=37,5+1=38,5$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 7 (trang 15): parabol trên $f(x)=-\frac{x^2}{4}+2$ (đỉnh $(0;2)$, đi qua $(2;1)$ — đúng đường nét đứt $y=1$ tại $x=2$), parabol dưới $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$ (đỉnh $(0;-1)$, cắt trục hoành tại $x=\pm 2$). Giao điểm hai parabol: $-\frac{x^2}{4}+2=\frac{x^2}{4}-1\iff x^2=6\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$, hiệu hai hàm là $3-\frac{x^2}{2}$. Diện tích logo: $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\int }_0^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\left[3x-\frac{x^3}{6}\right]}_0^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\sqrt{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,798.$$ Làm tròn đến hàng phần mười: $a=9,8(d{m}^2)$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2: 9,8).

V(t) là một parabol qua các điểm (0;2), (1;1), (4;10).

$v(t)=t^2-2t+2$ (0.25 điểm, có lập luận).

Quãng đường đi được: $s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(t^2-2t+2\right)dt$ (0.25 điểm).

$s={\left(\frac{t^3}{3}-t^2+2t\right)|}_0^4$ (0.25 điểm).

$=\frac{40}{3}(km)$ (0.25 điểm).

Chú ý: Học sinh bỏ ý nào thì trừ điểm ý đó.

V(t) là một parabol qua các điểm (0;2), (1;1), (4;10).

$v(t)=t^2-2t+2$ (0.25 điểm, có lập luận).

Quãng đường đi được: $s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(t^2-2t+2\right)dt$ (0.25 điểm).

$s={\left(\frac{t^3}{3}-t^2+2t\right)|}_0^4$ (0.25 điểm).

$=\frac{40}{3}(km)$ (0.25 điểm).

Chú ý: Học sinh bỏ ý nào thì trừ điểm ý đó.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân lợi nhuận biên: P(x)=∫(-0,04x+10)dx=-0,02x²+10x+C, với P(0)=0 nên C=0, do đó P(x)=-0,02x²+10x. a) Sai vì đề đưa -0,04x². b) P(100)=-0,02·10000+1000=800 triệu đồng, đúng. c) P(150)-P(100)=(-450+1500)-800=250 triệu đồng, đúng. d) P(a)-P(100)=-0,02a²+10a-800>112 ⟺ a²-500a+45600<0, nghiệm 120<a<380, a nguyên dương nhỏ nhất là 121, đúng. Khớp đáp án nguồn: 1a S, 1b D, 1c D, 1d D.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(x)=-0,02x²+10x (tích phân P'(x) với P(0)=0), không phải -0,04x²+10x.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(100)=-0,02·100²+10·100=-200+1000=800 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(150)-P(100)=(-0,02·22500+1500)-800=1050-800=250 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
-0,02a²+10a-800>112 ⟺ a²-500a+45600<0 ⟺ 120<a<380, nên a nhỏ nhất là 121.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân lợi nhuận biên: P(x)=∫(-0,04x+10)dx=-0,02x²+10x+C, với P(0)=0 nên C=0, tức P(x)=-0,02x²+10x. a) Sai vì đề đưa -0,04x²+10x. b) P(100)=-0,02·10000+1000=800 triệu đồng, đúng. c) P(150)-P(100)=(-450+1500)-800=250 triệu đồng, đúng. d) P(a)-P(100)=-0,02a²+10a-800>112 ⟺ a²-500a+45600<0, nghiệm 120<a<380, nên a nhỏ nhất là 121, đúng. Khớp đáp án nguồn (3a: S, 3b: D, 3c: D, 3d: D).
a) (AI giải đề cho tôi)
P(x)=-0,02x²+10x (tích phân P'(x) với P(0)=0), không phải -0,04x²+10x.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(100)=-0,02·100²+10·100=-200+1000=800 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(150)-P(100)=(-0,02·22500+1500)-800=1050-800=250 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
-0,02a²+10a-800>112 ⟺ a²-500a+45600<0 ⟺ 120<a<380, nên giá trị nhỏ nhất của a nguyên là 121.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô dừng khi $v(t)=0\Rightarrow 8-4t=0\Rightarrow t=2$ (giây). Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là $s={\int }_0^2(8-4t)dt={\left[8t-2t^2\right]}_0^2=16-8=8$ (m). Vậy ô tô còn di chuyển $8,0$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục sao cho đáy lều là hình chữ nhật dài 4m (trục Ox) và rộng 3m (trục Oy). Mặt cắt vuông góc với chiều dài tại vị trí x là một parabol có đáy rộng 3m và chiều cao h(x). Vì các cạnh bên là các parabol giao nhau tại đỉnh, chiều cao h(x) biến thiên theo parabol: đạt cực đại 1,2m tại giữa lều (x = 2) và bằng 0 tại hai đầu (x = 0 và x = 4), tức h(x) = 1,2(1 − (x−2)²/4). Diện tích mặt cắt parabol có đáy b và chiều cao h là S(x) = (2/3)·b·h = (2/3)·3·h(x) = 2h(x). Thể tích: V = ∫₀⁴ 2h(x)dx = 2·(2/3)·4·1,2 = 6,4 (m³). Vậy thể tích phần không gian bên trong lều bằng 6,4 mét khối.