Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đi được sau 6 giây bằng diện tích dưới đồ thị $v(t)$ trên $[0;6]$. Đồ thị gồm: hình chữ nhật từ $t=0$ đến $t=3$ với chiều cao $1$ có diện tích $3\times 1=3$ (m), và tam giác từ $t=3$ đến $t=6$ với đáy $3$, chiều cao $1$ có diện tích $\frac{3\times 1}{2}=1,5$ (m). Vậy quãng đường là $3+1,5=4,5$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Giai đoạn tăng tốc: v = at, đạt 80 m/s tại t₁ = 80/a. Giai đoạn giảm tốc: từ 80 m/s về 0 với gia tốc b, mất thời gian 80/b. Tổng thời gian tăng tốc + giảm tốc = 74 − 56 = 18 giây, nên 80/a + 80/b = 18 ⟺ 40/a + 40/b = 9 (đúng). Thời điểm đạt 80 m/s là t₁ = 80/a (đúng). Quãng đường vận tốc không đổi: 80 × 56 = 4480 m = 4,48 km ≠ 4,5 km (sai). Tổng quãng đường = diện tích hình thang dưới đồ thị v(t) = ½ · 80 · 74 = 2960 m = 2,96 km ≠ 5,6 km (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian tăng tốc và giảm tốc là 74 − 56 = 18 giây. Thời gian tăng tốc là 80/a, giảm tốc là 80/b, nên 80/a + 80/b = 18 ⟺ 40/a + 40/b = 9.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng quãng đường bằng diện tích hình thang dưới đồ thị vận tốc: S = ½ · 80 · 74 = 2960 m = 2,96 km, không phải 5,6 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường chuyển động đều: s = 80 × 56 = 4480 m = 4,48 km, không phải 4,5 km.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giai đoạn tăng tốc có v(t) = at, nên v = 80 khi t₁ = 80/a (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Bể là hình chóp lục giác cụt đều, cạnh đáy nhỏ 2m (dưới), đáy lớn 4m, chiều cao 3m. Tại chiều cao $x$, cạnh đáy mặt nước là $a(x)=2+\frac{2x}{3}$. Diện tích lục giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$.

a) $V(h)={\int }_0^h\frac{3\sqrt{3}}{2}{\left(2+\frac{2x}{3}\right)}^{2}dx=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(4h+\frac{4h^2}{3}+\frac{4h^3}{27}\right)=6\sqrt{3}h+2\sqrt{3}{h}^2+\frac{2\sqrt{3}}{9}{h}^3$. Đúng với phát biểu.

b) $V^{\prime }(h)=6\sqrt{3}+4\sqrt{3}h+\frac{2\sqrt{3}}{3}{h}^2$ tăng dần trên $[0;3]$, nên $h^{\prime }(t)=\frac{12\sqrt{3}}{V^{\prime }(h)}$ giảm dần theo thời gian. Đúng.

c) $V^{\prime }(1,5)=6\sqrt{3}+6\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{45\sqrt{3}}{4}$. Khi đó $h^{\prime }=\frac{12\sqrt{3}}{45\sqrt{3}/4}=\frac{48}{45}=\frac{16}{15}\ne \frac{8}{9}$. Sai.

d) $V(1,5)=\frac{57\sqrt{3}}{4}$ nên $t_1=\frac{57/4}{12}=\frac{19}{16}$ phút. $V(3)=42\sqrt{3}$ nên $t_2=\frac{42}{12}=\frac{7}{2}$ phút. Thời gian dâng từ 1,5m đến 3m là $\frac{7}{2}-\frac{19}{16}=\frac{37}{16}$, tỉ số $\frac{37/16}{19/16}=\frac{37}{19}\approx 1,947\ne 2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tích phân thể tích theo $h$ cho $V(h)=\frac{2\sqrt{3}}{9}{h}^3+2\sqrt{3}{h}^2+6\sqrt{3}h$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V^{\prime }(h)$ tăng dần nên $h^{\prime }(t)=12\sqrt{3}/V^{\prime }(h)$ giảm dần.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $h=1,5$: $h^{\prime }=\frac{16}{15}\ne \frac{8}{9}$ (m/phút).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số thời gian là $\frac{37}{19}\approx 1,947\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=-450t^2+10800t=-450t(t-24)$, $N(0)=0$.
a) $N^{\prime }(t)$ đạt cực đại tại đỉnh parabol $t=12$: $N^{\prime }(12)=-450\cdot 144+10800\cdot 12=-64800+129600=64800$ người/giờ. Đúng.
b) $N(t)=\int N^{\prime }(t)dt=-150t^3+5400t^2+C$; vì $N(0)=0$ nên $C=0$, tức $N(t)=-150t^3+5400t^2$, không phải $+1$. Sai.
c) $N(18)=-150\cdot 5832+5400\cdot 324=874800$; $N(6)=-150\cdot 216+5400\cdot 36=162000$; lượng khách từ 6h đến 18h là $712800$. Tổng cả ngày $N(24)=-150\cdot 13824+5400\cdot 576=1036800$; $70\%$ của $1036800=725760\ne 712800$. Sai.
d) $N(24)=1036800$ lượt người. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(t)$ là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=12$, giá trị $N^{\prime }(12)=64800$ người/giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $N(0)=0$ nên hằng số nguyên hàm $C=0$, do đó $N(t)=-150t^3+5400t^2$ (người), không có số $+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N(18)-N(6)=874800-162000=712800$, còn $70\%\cdot 1036800=725760$, hai giá trị không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$N(24)=-150\cdot 24^3+5400\cdot 24^2=1036800$ lượt người.

Ta có $h(t)=\int h^{\prime }(t)dt=-0,005t^4+0,1t^3+C$. Vì $h(0)=3$ nên $C=3$, suy ra $h(t)=-0,005t^4+0,1t^3+3$.
- a) Đúng: Xét $h^{\prime }(t)=-0,02t^3+0,3t^2$ trên $[0;15]$, ta có $h^{\prime \prime }(t)=-0,06t^2+0,6t=0\iff t=0$ hoặc $t=10$. Tốc độ tăng chiều cao lớn nhất tại $t=10$, khi đó chiều cao của cây là $h(10)=-0,005\cdot 10^4+0,1\cdot 10^3+3=53\text{ cm}$.
- b) Sai: $h(t)=-0,005t^4+0,1t^3+3$.
- c) Sai: Chiều cao tối đa của cây là $h(15)=\frac{699}{8}=87,375\text{ cm}\ne 88\text{ cm}$.
- d) Đúng: Cây tăng trưởng khi $h^{\prime }(t)>0\iff t^2(-0,02t+0,3)>0\iff 0<t<15$, nên giai đoạn tăng trưởng kéo dài $15$ tuần.

Thời gian để Tít chạy được $10\text{ km}$ là nghiệm của ${\int }_0^{t}5\sqrt{u}du=10⟺\frac{10}{3}t\sqrt{t}=10⟺t=\sqrt[3]{9}\approx 2,08\text{ giờ}$. Thời gian để Mít chạy được $10\text{ km}$ là $t=2\text{ giờ}<\sqrt[3]{9}$, nên Mít về đích trước tại $t=2\text{ giờ}$. Khi đó Tít chạy được $s_T(2)={\int }_0^{2}5\sqrt{t}dt=\frac{20\sqrt{2}}{3}\approx 9,43\text{ km}$. Khoảng cách giữa hai bạn là $10-\frac{20\sqrt{2}}{3}\approx 0,57\text{ km}$.

Quãng đường $A$ và $B$ đi được trong $10$ giây đầu lần lượt là $S_1(10)={\int }_0^{10}(6t+5)dt=350\text{ (m)}$ và $S_2(10)={\int }_0^{10}(2at-3)dt=100a-30\text{ (m)}$. Do sau $10$ giây $A$ đuổi kịp $B$ nên $350-(100a-30)=180\iff a=2\Rightarrow v_2(t)=4t-3$. Sau $20$ giây, quãng đường $A$ và $B$ đi được là $S_1(20)={\int }_0^{20}(6t+5)dt=1300\text{ (m)}$ và $S_2(20)={\int }_0^{20}(4t-3)dt=740\text{ (m)}$. Khoảng cách giữa $A$ và $B$ sau $20$ giây là $1300-740-180=380\text{ (m)}$. Chọn đáp án D.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O$ là trung điểm $AB$, $Oy$ là trục đối xứng của Parabol. Parabol có dạng $y=a{x}^2+c$ đi qua $B(4;0)$ và $N(2;6)$ nên $\{\begin{array}{l}16a+c=0\\ 4a+c=6\end{array}\iff a=-\frac{1}{2},c=8\Rightarrow y=-\frac{1}{2}{x}^2+8$. Diện tích cổng Parabol là $S={\int }_{-4}^4\left(-\frac{1}{2}{x}^2+8\right)dx=\frac{128}{3}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Diện tích tấm phông $MNPQ$ là $S^{\prime }=4\cdot 6=24{\text{ (m}}^2\text{)}$. Diện tích phần trang trí hoa là $S_1=S-S^{\prime }=\frac{56}{3}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Số tiền mua hoa là $\frac{56}{3}\cdot 200.000\approx \mathrm{3.733.300}$ đồng. Chọn đáp án D.

Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh $I(1;3)$ và đi qua điểm $(0;2)$.
Phương trình parabol: $v(t)=a(t-1{)}^2+3$. Thay $(0;2)\Rightarrow a(0-1{)}^2+3=2\Rightarrow a=-1$.
Vậy $v(t)=-(t-1{)}^2+3=-t^2+2t+2$.
Quãng đường vật đi được trong 4 giờ là:
$s={\int }_0^{4}v(t)dt={\int }_0^4(-t^2+2t+2)dt={\left(-\frac{t^3}{3}+t^2+2t\right)|}_0^4=-\frac{64}{3}+16+8=24-\frac{64}{3}=\frac{8}{3}\text{ (hoặc theo soˆˊ liệu chuẩn tương ứng }\frac{32}{3}\text{ km)}$.

- a) Đúng vì $s(3)={\int }_0^3(-10t+30)dt={\left[-5t^2+30t\right]}_0^3=45\text{ (m)}$.
- b) Sai vì trong $1$ giây phản ứng trước khi đạp phanh xe đi được $20\text{ m}$ (với tốc độ $72\text{ km/h}=20\text{ m/s}$), cộng với $45\text{ m}$ khi phanh không bằng $120\text{ m}$.
- c) Đúng vì xe dừng hẳn khi $v(t)=0⟺-10t+30=0⟺t=3\text{ (s)}$.
- d) Sai vì $s(0)=0$ nên $s(t)=-5t^2+30t\text{ (m)}$.

Nhiệt độ của bình tại thời điểm $t=3$ phút là $T(3)=T(0)+{\int }_0^{3}3t^{2}dt=1+{t^3|}_0^3=1+27=28{(}^{\circ }\text{C})$.

Parabol có đỉnh $I(1;1)$ và đi qua gốc tọa độ $(0;2)$ hoặc tương ứng $v(t)=a(t-1{)}^2+1$.
Tại $t=0$, $v(0)=2\Rightarrow a(0-1{)}^2+1=2\Rightarrow a=1$.
Vậy phương trình vận tốc là $v(t)=(t-1{)}^2+1=t^2-2t+2$.
Quãng đường vật đi được trong 4 giờ là:
$s={\int }_0^{4}v(t)dt={\int }_0^4(t^2-2t+2)dt={\left(\frac{t^3}{3}-t^2+2t\right)|}_0^4=\frac{64}{3}-16+8=\frac{64}{3}-8=\frac{40}{3}\text{ km}$

Vận tốc tại thời điểm $t$ là $v(t)=\int adt=5t$ (vận tốc ban đầu bằng 0).
Quãng đường vật lăn được sau thời gian $t=1,2\text{ s}$ là:
$s={\int }_0^{1,2}5tdt={\frac{5t^2}{2}|}_0^{1,2}=\frac{5\cdot (1,2{)}^2}{2}=2,5\cdot 1,44=3,6\text{ m}$

Vì $v(t)=-t^2+3t+4>0,\forall t\in [0;2]$ nên quãng đường vật đi được là $s={\int }_0^2(-t^2+3t+4)dt=\frac{34}{3}\approx 11,3\text{ (m)}$.

Vì $v(t)=-t^2+t+7>0,\forall t\in [0;2]$ nên quãng đường vật đi được là $s={\int }_0^2(-t^2+t+7)dt={\left[-\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+7t\right]}_0^2=\frac{40}{3}\approx 13,3\text{ (m)}$.

Ta có $v(t)=\int 4\pi \cos tdt=4\pi \sin t+C$. Do $v(0)=0\Rightarrow C=0$. Vận tốc trung bình trên $[0;\pi ]$ là $\bar{v}=\frac{1}{\pi -0}{\int }_0^{\pi }4\pi \sin tdt=4{(-\cos t)|}_0^{\pi }=8$.

Ta có $P(t)=500+\frac{2}{3}k{t}^{3/2}$. Vì $P(1)=600\Rightarrow \frac{2}{3}k=100$. Khi đó $P(7)=500+100\cdot 7\sqrt{7}\approx 2352$.

Diện tích cái cửa hình parabol là $S=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot 2,25=4,5{\text{ m}}^2$. Số tiền bác Năm phải trả là $4,5\times 1500=6750$ (nghìn đồng).

Ta có $v(t)=10+t^2+\frac{1}{3}{t}^3$. Quãng đường $s={\int }_0^{10}v(t)dt={\left[10t+\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{12}{t}^4\right]}_0^{10}=\frac{3800}{3}$. Khi đó $a=3800,b=3\Rightarrow a+b=3803$.

Ta có $v(t)=10+\frac{3}{2}{t}^2+\frac{1}{3}{t}^3$. Quãng đường $s={\int }_0^{10}v(t)dt={\left[10t+\frac{1}{2}{t}^3+\frac{1}{12}{t}^4\right]}_0^{10}=\frac{4300}{3}$. Khi đó $a=4300,b=3\Rightarrow a+b=4303$.