Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Xe dừng nên $v(t)=0\Rightarrow t=0,5$. Quãng đường ô tô đi được là $S={\int }_0^{0,5}(-34t+17)dt=4,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao là nguyên hàm của vận tốc: $h(t)={\int }_0^t(25-9,8s)ds=25t-4,9t^2$. Độ cao lớn nhất khi $v(t)=0\Rightarrow t=\frac{25}{9,8}\approx 2,551$ s. Khi đó $h_{\max }=25\cdot \frac{25}{9,8}-4,9{\left(\frac{25}{9,8}\right)}^2=\frac{625}{19,6}\approx 31,\mathrm{887...}\approx 31,9$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn 31,9.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $C(82)=C(0)+{\int }_0^{82}{C}^{\prime }(x)dx=27+{\int }_0^{82}\left(7-0,08x+0,00034x^2\right)dx$. Nguyên hàm: $7x-0,04x^2+\frac{0,00034x^3}{3}$. Tại $x=82$: $7\cdot 82=574$; $0,04\cdot 82^2=0,04\cdot 6724=268,96$; $\frac{0,00034\cdot 551368}{3}=\frac{187,46512}{3}\approx 62,4884$. Vậy ${\int }_0^{82}{C}^{\prime }(x)dx\approx 574-268,96+62,4884=367,5284$, nên $C(82)\approx 27+367,5284=394,53\approx 395$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (395).

Xe dừng nên $v(t)=0\Rightarrow t=0,5$. Quãng đường ô tô đi được là $S={\int }_0^{0,5}(-36t+18)dt=4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc ban đầu 36 km/h = 10 m/s. Trong 3 giây đầu xe đi được 3·10 = 30 m, còn lại 80 − 30 = 50 m cho pha giảm tốc. Khi bắt đầu giảm tốc v1(0)=b=10 nên b = 10, không phải 36 (ý b sai). Gọi T là thời gian giảm tốc: v1(T)=0 ⇒ aT = −10; quãng đường ∫0^T (at+10)dt = aT²/2 + 10T = −5T + 10T = 5T = 50 ⇒ T = 10 giây. Vậy quãng đường pha giảm tốc là 50 m (ý c đúng) và xe dừng tại đèn sau 10 giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc (ý d đúng). Pha hai: v2(t)=mt²+nt, xe dừng sau 20 s: v2(20)=400m+20n=0 ⇒ n=−20m. Vận tốc lớn nhất đạt tại t=−n/(2m)=10 với giá trị v2(10)=100m+10n=−100m=15 m/s (54 km/h) ⇒ m=−0,15; n=3. Quãng đường từ đèn đến cửa hàng: ∫0^20 (−0,15t²+3t)dt = −0,15·8000/3 + 3·200 = −400+600 = 200 m (ý a đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
n=−20m; max v2 = −100m = 15 ⇒ m=−0,15, n=3. Quãng đường = ∫0^20(−0,15t²+3t)dt = −400+600 = 200 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại lúc bắt đầu giảm tốc vận tốc vẫn là 10 m/s nên v1(0)=b=10, không phải 36.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường pha giảm tốc = 5T với T thời gian dừng; 5T=50 ⇒ quãng đường 50 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ 5T=50 suy ra T=10 giây.

a) Đúng. Quãng đường từ vị trí ô tô bắt đầu giảm tốc đến trạm thu phí là $500m$. Từ đầu đến khi ô tô bắt đầu giảm tốc, quãng đường đi được là $90\cdot \frac{20}{3600}=0,5km$. Sau 20s quãng đường từ vị trí ô tô bắt đầu giảm tốc đến trạm thu phí là $1000-500=500(m)$.
b) Sai. Vận tốc lúc giảm phanh là $90km/h=25m/s$. Giá trị của $b$ là $25$.
c) Đúng. Quãng đường đi được sau 30s lúc giảm phanh là $s=\underset{0}{\overset{30}{\int }}(at+25)dt=\frac{a}{2}30^2+750$. Theo đề bài ta được $\frac{a}{2}30^2+750=500\iff a=-\frac{5}{9}$.
d) Đúng. Vận tốc sau 30s là $v(30)=-\frac{5}{9}\cdot 30+25=\frac{25}{3}(m/s)$, suy ra vận tốc khi qua trạm thu phí là 30 km/h. Tốc độ tối đa cho phép của phương tiện khi qua trạm thu phí là $30km/h$. Người điều khiển ô tô đó đã tuân thủ đúng tốc độ quy định khi đi qua trạm thu phí.
a) Đúng. Từ đầu đến khi ô tô bắt đầu giảm tốc, quãng đường đi được là $90\cdot \frac{20}{3600}=0,5km$. Sau 20s quãng đường từ vị trí ô tô bắt đầu giảm tốc đến trạm thu phí là $1000-500=500(m)$.
b) Sai. Vận tốc lúc giảm phanh là $90km/h=25m/s$. Giá trị của $b$ là $25$.
c) Đúng. Quãng đường đi được sau 30s lúc giảm phanh là $s=\underset{0}{\overset{30}{\int }}(at+25)dt=\frac{a}{2}30^2+750$. Theo đề bài ta được $\frac{a}{2}30^2+750=500\iff a=-\frac{5}{9}$.
d) Đúng. Vận tốc sau 30s là $v(30)=-\frac{5}{9}\cdot 30+25=\frac{25}{3}(m/s)$, suy ra vận tốc khi qua trạm thu phí là 30 km/h. Tốc độ tối đa cho phép của phương tiện khi qua trạm thu phí là $30km/h$. Người điều khiển ô tô đó đã tuân thủ đúng tốc độ quy định khi đi qua trạm thu phí.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc ban đầu v(0)=20 m/s = 72 km/h khớp đề bài. a) Đúng: quãng đường s(t) thỏa s'(t)=v(t), s(0)=0, nên s(t) là một nguyên hàm của v(t). b) Đúng: s(t)=∫v(t)dt=-10t²/2+20t+C=-5t²+20t+C, với s(0)=0 nên C=0, suy ra s(t)=-5t²+20t. c) Sai: xe dừng khi v(t)=0 ⇔ -20t+20=0 ⇔ t=1 giây (không phải 2 giây). d) Sai: trong 1 giây phản ứng xe đi 20·1=20 m; quãng đường phanh là s(1)=-5(1)²+20(1)=15 m; tổng quãng đường = 20+15=35 m < 110 m nên xe không va vào chướng ngại vật.
a) (AI giải đề cho tôi)
s'(t)=v(t) và s(0)=0, nên s(t) là một nguyên hàm của v(t).
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=∫(-20t+20)dt=-5t²+20t+C, s(0)=0 ⇒ C=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=0 ⇔ t=1 giây, xe dừng sau 1 giây kể từ lúc đạp phanh.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường phản ứng 20 m + quãng đường phanh s(1)=15 m = 35 m < 110 m, xe không va chạm.

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi $v(t)=-2t+10=0\iff t=5$ (giây). Vậy xe chỉ chuyển động trong 5 giây, nên '8 giây cuối cùng' chính là toàn bộ thời gian chuyển động của xe. Quãng đường: $s={\int }_0^5(-2t+10)dt=\left(-t^2+10t\right){|}_0^5=-25+50=25$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: H là gốc, parabol có đỉnh $G(0;4)$ và đi qua $A(-2;0)$, $B(2;0)$ nên $y=4-x^2$. Vì $AC=BD=0,9$ nên $C(-1,1;0)$, $D(1,1;0)$; $F,E$ nằm trên parabol nên $y_F=y_E=4-(1,1{)}^2=2,79$. Diện tích hình chữ nhật $CDEF$: $2,2\times 2,79=6,138m^2$, tiền cánh cổng: $6,138\times 1,2=7,3656$ triệu đồng. Diện tích dưới parabol: ${\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=\frac{32}{3}$. Diện tích phần để trống: $\frac{32}{3}-6,138\approx 4,5287m^2$, tiền xiên hoa: $4,5287\times 0,9\approx 4,0758$ triệu đồng. Tổng: $7,3656+4,0758\approx 11,4414\approx 11,4$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $y=f(x)$ là phương trình đường cong $AB$ trên đoạn $[0;10]$ (chiều dài con đường $10m$). Đường cong $DC$ nhận được từ $AB$ bằng cách tịnh tiến lên trên $2m$ nên có phương trình $y=f(x)+2$. Diện tích phần tô màu là khoảng cách thẳng đứng giữa hai đường cong: $$S={\int }_0^{10}[(f(x)+2)-f(x)]dx={\int }_0^{10}2dx=20(m^2).$$ Lớp bê tông dày $15cm=0,15m$ nên thể tích bê tông: $$V=S\cdot h=20\cdot 0,15=3(m^3).$$ Giá $1m^3$ bê tông là $1080000$ đồng nên số tiền cần dùng: $$3\cdot 1080000=3240000\text{ đoˆˋng}=3,24\text{ triệu đoˆˋng}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí của X: $s(t)=\int vdt=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t$ (với $s(0)=0$). $v(t)=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$, nên $v\ge 0$ trên $[0,1]\cup [2,+\infty )$, $v<0$ trên $(1,2)$.

a) Trên $[0,1]$ vật đi tới: quãng đường $=s(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}$ (m). Đúng.

b) $s(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$ (m), khoảng cách tới $O$ là $\frac{2}{3}$ m $\ne 1$ m. Sai.

c) Vị trí $Y$: $\frac{t}{3}$. Gặp nhau: $\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t=\frac{t}{3}\iff t\left(2t^2-9t+10\right)=0\iff t=0$ hoặc $t=\frac{9}{4},t=\frac{5}{2}$. Hai lần gặp (không tính $O$): $t=2,25$ và $t=2,5$. Đúng.

d) $Z$: vị trí $0,75(t-t_0)$ với $t\ge t_0$. Gặp nhau: $f(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+\frac{5}{4}t+\frac{3t_0}{4}=0$. $f^{\prime }(t)=t^2-3t+\frac{5}{4}=0\iff t=0,5$ hoặc $t=2,5$. Với $t_0>0$: $f(0)>0$, $f(0,5)=\frac{7}{24}+\frac{3t_0}{4}>0$ (cực đại). Để có đúng 1 nghiệm (nghiệm kép tại $t=2,5$): $f(2,5)=-\frac{25}{24}+\frac{3t_0}{4}=0\iff t_0=\frac{25}{18}\approx 1,3889\approx 1,39$ giây. Nếu $f(2,5)<0$ thì có 2 nghiệm (và nghiệm thứ nhất luôn $\ge t_0$), nếu $f(2,5)>0$ thì không gặp. Vậy $t_0=1,39$, không phải $1,38$. Sai.

Kết luận: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0,1]$, $v(t)\ge 0$ nên quãng đường $=s(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}$ (m).
b) (AI giải đề cho tôi)
$s(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$ (m) $\ne 1$ (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $s(t)=\frac{t}{3}$: $t\left(2t^2-9t+10\right)=0\Rightarrow t=\frac{9}{4}$ hoặc $t=\frac{5}{2}$: hai lần gặp nhau (không tính $O$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Để $Z$ gặp $X$ đúng 1 lần cần nghiệm kép tại $t=2,5$: $-\frac{25}{24}+\frac{3t_0}{4}=0\Rightarrow t_0=\frac{25}{18}\approx 1,39$ giây, không phải $1,38$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung AB: $s=R\theta =6000\cdot \frac{\pi }{3}=2000\pi \approx 6283,185$ m.

Gia tốc tiếp tuyến $a(t)=10-0,5t$, với $v(0)=200$:
$$v(t)=200+10t-0,25t^2\text{(m/s)}.$$

Quãng đường đi được:
$$x(t)={\int }_0^{t}v(u)du=200t+5t^2-\frac{t^3}{12}.$$

Giải $200t+5t^2-\frac{t^3}{12}=2000\pi$:
- $t=23,17$: $x\approx 4634+2684,25-1036,56\approx 6281,69$ (thiếu)
- $t=23,18$: $x\approx 4636+2686,56-1037,94\approx 6284,62$ (thừa)

Nội suy được $t\approx 23,175$ s.

Vận tốc tại $B$:
$$v_B=200+10(23,175)-0,25(23,175{)}^2\approx 200+231,75-134,27\approx 297,48\approx 297\text{m/s}.$$

Khớp với đáp án nguồn $297$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=2,01t-0,025t^2$, quãng đường $s(t)={\int }_0^{t}v(u)du=1,005t^2-\frac{0,025}{3}{t}^3$. a) Sai: biểu thức $2,01-0,05t$ là gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)$, không phải quãng đường. b) $s(3)=1,005\cdot 9-\frac{0,025}{3}\cdot 27=9,045-0,225=8,82$ m → đúng. c) Quãng đường giây thứ 9: ${\int }_8^{9}v(t)dt=1,005(81-64)-\frac{0,025}{3}(729-512)=17,085-1,\mathrm{8083...}\approx 15,277$ m → đúng. d) $v(t)$ là parabol có đỉnh tại $t=\frac{2,01}{0,05}=40,2>10$, nên trên $[0;10]$ vận tốc tăng và đạt max tại $t=10$; khi đó gia tốc $a(10)=2,01-0,05\cdot 10=1,51$ m/s² → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$s(t)={\int }_0^{t}v(u)du=1,005t^2-\frac{0,025}{3}{t}^3$, còn $2,01-0,05t$ là gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s(3)=1,005\cdot 9-\frac{0,025}{3}\cdot 27=9,045-0,225=8,82$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_8^{9}v(t)dt=1,005\cdot 17-\frac{0,025}{3}\cdot 217=17,085-1,\mathrm{8083...}\approx 15,277$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;10]$, $v(t)$ tăng (đỉnh parabol tại $t=40,2$), max tại $t=10$; gia tốc lúc đó $a(10)=2,01-0,5=1,51$ m/s².

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh (15;60) và đi qua gốc O(0;0). Viết v(t)=at^2+bt+c. Vì v(0)=0 nên c=0. Đỉnh tại t=15: v'(15)=30a+b=0 ⇒ b=−30a. Kết hợp v(15)=60: 225a+15b=225a−450a=−225a=60 ⇒ a=−4/15, b=8. Vậy v(t)=−(4/15)t^2+8t. Quãng đường từ lúc bắt đầu đến t=15s là S=∫₀¹⁵ v(t)dt = −(4/15)·(15³/3)+8·(15²/2) = −300+900 = 600 (m).

(AI giải đề cho tôi)
v(t)=2,01t−0,025t². Nguyên hàm: s(t)=∫v dt=1,005t²−(0,025/3)t³+C, với s(0)=0 nên C=0.
a) Sai: biểu thức 2,01−0,05t là v'(t) (gia tốc), không phải quãng đường. Quãng đường là s(t)=1,005t²−(0,025/3)t³.
b) Đúng: s(3)=1,005·9−0,025·27/3=9,045−0,225=8,82 m.
c) Đúng: quãng đường trong giây thứ 9 là ∫₈⁹ v dt = s(9)−s(8). s(9)=1,005·81−0,025·729/3=81,405−6,075=75,33; s(8)=1,005·64−0,025·512/3=64,32−4,2667≈60,0533. Hiệu ≈15,2767≈15,277 m.
d) Đúng: v'(t)=2,01−0,05t>0 trên [0;10] nên v tăng, đạt max tại t=10; gia tốc lúc đó v'(10)=2,01−0,5=1,51 m/s².
a) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=1,005t²−(0,025/3)t³; biểu thức 2,01−0,05t là gia tốc v'(t).
b) (AI giải đề cho tôi)
s(3)=1,005·9−0,025·27/3=8,82 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
s(9)−s(8)=75,33−60,0533≈15,277 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
v tăng trên [0;10], max tại t=10, v'(10)=1,51 m/s².

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh $(15,60)$ và đi qua gốc $O(0,0)$, nên $v(t)=60-\frac{60}{15^2}(t-15{)}^2=60-\frac{4}{15}(t-15{)}^2$ (kiểm tra: $v(0)=60-60=0$ đúng theo hình vẽ). Quãng đường từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất là $s={\int }_0^{15}v(t)dt={\int }_0^{15}\left[60-\frac{4}{15}(t-15{)}^2\right]dt=60\cdot 15-\frac{4}{15}\cdot \frac{15^3}{3}=900-300=600$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục như hình vẽ: bảng gỗ là hình chữ nhật $x\in [-5;4]$, $y\in [-3;2]$, diện tích $9\cdot 5=45d{m}^2$. Hai parabol: $y=f(x)=2-\frac{x^2}{8}$ (đỉnh $(0;2)$, qua $(\pm 4;0)$) và $y=g(x)=\frac{3x^2}{16}-3$ (đỉnh $(0;-3)$, qua $(\pm 4;0)$). Hai parabol cắt nhau tại $(\pm 4;0)$; trên $[-4;4]$ có $f\ge g$, trên $[-5;-4]$ (đuôi cá) có $g\ge f$.

Diện tích thân cá:
$$S_1={\int }_{-4}^4\left(5-\frac{5x^2}{16}\right)dx=40-\frac{5}{16}\cdot \frac{128}{3}=\frac{80}{3}d{m}^2.$$

Diện tích đuôi cá:
$$S_2={\int }_{-5}^{-4}\left(\frac{5x^2}{16}-5\right)dx={\left[\frac{5x^3}{48}-5x\right]}_{-5}^{-4}=\frac{40}{3}-\frac{575}{48}=\frac{65}{48}d{m}^2.$$

Diện tích logo: $S=\frac{80}{3}+\frac{65}{48}=\frac{1345}{48}d{m}^2$.

Chi phí (nghìn đồng): xanh $20S$, trắng $10(45-S)$:
$$T=450+10\cdot \frac{1345}{48}=450+\frac{6725}{24}=\frac{17525}{24}\approx 730,21.$$

Làm tròn đến hàng nghìn đồng: $T\approx 730$ nghìn đồng, khớp với đáp án 730.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tại hoành độ $x$ là tam giác đều cạnh $a=\sqrt{x^2+x+1}$: $$S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2+x+1).$$ Thể tích: $$V={\int }_{-1}^{3}S(x)dx=\frac{\sqrt{3}}{4}{\int }_{-1}^3(x^2+x+1)dx.$$ Tính nguyên hàm: $${\int }_{-1}^3(x^2+x+1)dx={\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right]}_{-1}^3=\left(9+\frac{9}{2}+3\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1\right)=\frac{33}{2}-\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{52}{3}.$$ Vậy $$V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{52}{3}=\frac{13\sqrt{3}}{3}\approx 7,5056\approx 7,51.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có N(6) - N(1) = ∫₁⁶ N'(t)dt = ∫₁⁶ 8000/t dt = 8000 ln t |₁⁶ = 8000 ln 6. Vậy N(6) = 250000 + 8000 ln 6 ≈ 250000 + 8000·1,7918 ≈ 264341 con (chính xác: 250000 + 8000 ln 6 ≈ 264 341 con).

(AI giải đề cho tôi)
Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ $a$ đến $b$ đơn vị là $\Delta P={\int }_a^b{P}^{\prime }(x)dx$ với $P^{\prime }(x)=-0,0005x+12,2$.

Nguyên hàm: $P(x)=-0,00025x^2+12,2x+C$.

a) $\Delta P={\int }_{100}^{101}(-0,0005x+12,2)dx={\left[-0,00025x^2+12,2x\right]}_{100}^{101}$
$=-0,00025(101^2-100^2)+12,2(101-100)=-0,00025\cdot 201+12,2=-0,05025+12,2=12,14975$.
Vậy lợi nhuận tăng khoảng $12,1498$ triệu đồng (khoảng $12149,75$ đồng).

b) $\Delta P={\int }_{100}^{110}(-0,0005x+12,2)dx=-0,00025(110^2-100^2)+12,2\cdot 10$
$=-0,00025\cdot 2100+122=-0,525+122=121,475$.
Vậy lợi nhuận tăng $121,475$ triệu đồng.