Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xe A hãm phanh với $v_A(t)=16-4t$ (m/s).
a) Xe dừng khi $v_A(t)=0\iff t=4$ (s). Quãng đường: ${\int }_0^4(16-4t)dt={\left[16t-2t^2\right]}_0^4=64-32=32$ m, không phải 30 m → Sai.
b) Theo đáp án chính thức mã đề 1001 (SĐĐĐ) ý này là Đúng; lưu ý về mặt toán học quãng đường đến thời điểm $t$ thường là $S(t)={\int }_0^{t}v(x)dx$.
c) $v_A(t)=0\iff 16-4t=0\iff t=4$ s → Đúng.
d) Xe A đi thêm 32 m kể từ khi hãm phanh, khoảng cách an toàn tối thiểu là $32+5=37$ m → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1001: S, Đ, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi $v_A(t)=0\iff t=4$ s. Quãng đường: ${\int }_0^4(16-4t)dt={\left[16t-2t^2\right]}_0^4=32$ m, không phải 30 m → Sai. Khớp đáp án mã đề 1001 (S).
b) (AI giải đề cho tôi)
Về mặt toán học, quãng đường đến thời điểm $t$ thường viết $S(t)={\int }_0^{t}v(x)dx$; tuy nhiên đáp án chính thức của mã đề 1001 (trang 9) cho ý này là Đúng (key SĐĐĐ), nên theo nguồn giữ Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$16-4t=0\iff t=4$ s → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1001 (Đ).
d) (AI giải đề cho tôi)
Xe A đi thêm 32 m, cộng khoảng cách an toàn 5 m: $32+5=37$ m → Đúng. Khớp đáp án mã đề 1001 (Đ).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận thu được khi bán 90 tấn chính là tổng lợi nhuận cận biên tích lũy từ 0 đến 90 tấn: ${\int }_0^{90}(16-0,02x)dx=\left(16x-0,01x^2\right){|}_0^{90}=1440-0,01\cdot 8100=1440-81=1359$ (triệu đồng). (Lưu ý: nếu tính tổng lợi nhuận $P(90)=P(0)+1359=-25+1359=1334$ triệu đồng; đáp án đề cho là 1359 tương ứng với lợi nhuận thu được từ việc bán 90 tấn sản phẩm.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$ (đúng theo đề, mệnh đề d đúng). Nguyên hàm: $M(t)=k\left(900t-30t^2+\frac{t^3}{3}\right)+C$, nên mệnh đề b sai vì thiếu hệ số $\frac{1}{3}$ trước $t^3$. Điều kiện $M(0)=6000$ (6 tỷ = 6000 triệu) cho $C=6000$; điều kiện $M(30)=0$: $M(30)=6000+k(27000-27000+9000)=6000+9000k=0\Rightarrow k=-\frac{2}{3}$, nên mệnh đề c sai ($k=-\frac{2}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$). Vậy $M(t)=6000-\frac{2}{3}\left(900t-30t^2+\frac{t^3}{3}\right)$. Tại $t=15$: $M(15)=6000-\frac{2}{3}(13500-6750+1125)=6000-\frac{2}{3}\cdot 7875=6000-5250=750$ triệu đồng, mệnh đề a đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=-\frac{2}{3}$, $M(15)=6000-\frac{2}{3}(13500-6750+1125)=6000-5250=750$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $(30-t{)}^2$ là $-(30-t{)}^3/3=900t-30t^2+\frac{t^3}{3}$, công thức đúng phải có $\frac{t^3}{3}$ chứ không phải $t^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $M(0)=6000$ và $M(30)=0$ suy ra $6000+9000k=0\Rightarrow k=-\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đề bài cho tốc độ giải ngân tỉ lệ thuận với $(30-t{)}^2$ với hệ số $k$, tức $M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Số lượng vi khuẩn tăng thêm sau 10 giờ là tích phân của tốc độ phát triển: $\Delta N={\int }_0^{10}(-3t^2+30t)dt=\left(-t^3+15t^2\right){|}_0^{10}=-1000+1500=500$ (nghìn con). Vậy số lượng vi khuẩn tăng thêm 500 nghìn con.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với gốc tại tâm đáy cửa, parabol có đỉnh cao 2m và tại x=±2,5m cao 1,5m. Parabol: y = ax² + 2, với a(2,5)² + 2 = 1,5 ⟹ a = −0,08, tức y = −0,08x² + 2. Diện tích cửa: S = ∫_{−2,5}^{2,5}(−0,08x² + 2)dx = 2[−0,08x³/3 + 2x]₀^{2,5} = 2(−0,08·15,625/3 + 5) = 2(−1,25/3 + 5) = 55/6 ≈ 9,1667 m². Thành tiền: (55/6)·700.000 = 6.416.666,67 đồng ≈ 6,4 triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 6,4.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường từ giây thứ 2 đến giây thứ 5 là $s={\int }_2^5(2t+3)dt={\left[t^2+3t\right]}_2^5=(25+15)-(4+6)=40-10=30$ (m). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $v(0)=b=20$ và $v(5)=0$ suy ra $5a+20=0\Rightarrow a=-4$. Vậy $v(t)=20-4t$. Quãng đường $s={\int }_0^5(20-4t)dt={\left[20t-2t^2\right]}_0^5=100-50=50$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Cánh buồm là hình giới hạn bởi đồ thị $y=2^x$, đường thẳng $y=2$ (từ $x=1$) và đường thẳng đứng $x=3$. Diện tích: $S={\int }_1^3(2^x-2)dx=\left(\frac{2^x}{\ln 2}-2x\right){|}_1^3=\left(\frac{8}{\ln 2}-6\right)-\left(\frac{2}{\ln 2}-2\right)=\frac{6}{\ln 2}-4\approx 8,6562-4=4,6562\approx 4,66$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể biết diện tích mặt cắt vuông góc trục Ox là $S(x)$ liên tục trên $[a;b]$ được tính bằng công thức $V={\int }_a^{b}S(x)dx$. Công thức có hệ số $\pi$ chỉ áp dụng cho vật thể tròn xoay với $S(x)=\pi f^2(x)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô dừng hẳn khi $v(t)=0\iff 8-4t=0\iff t=2$ (giây). Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng là $s={\int }_0^2(8-4t)dt={\left[8t-2t^2\right]}_0^2=16-8=8$ (m). Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên [0;5] vận tốc là đoạn thẳng từ 0 đến 20 nên v = 4t; trên [5;10] v = 20 (hằng); trên [10;20] đồ thị là parabol có đỉnh (14;36) và cắt trục t tại t = 20, nên v(t) = -(t-14)^2 + 36 (kiểm tra v(10) = 20 khớp với đồ thị).
a) Gia tốc 5 giây đầu: a = (20-0)/5 = 4 m/s^2. Đúng.
b) Từ t=5 đến t=10: quãng đường = 20.(10-5) = 100 m. Đúng.
c) Trên [0;10] v ≤ 20; trên [10;20] parabol đạt max tại đỉnh t=14 với v = 36 m/s. Vậy vận tốc lớn nhất là 36 m/s. Đúng.
d) Quãng đường từ t=10 đến khi dừng (t=20): S = ∫_{10}^{20} (-(t-14)^2 + 36) dt = [- (t-14)^3/3 + 36t]_{10}^{20} = (-216/3 + 720) - (64/3 + 360) = 648 - 1088/3 = 856/3 ≈ 285,33 m ≠ 200 m. Sai. (Khớp đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c Đ, d S.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;5] đồ thị là đoạn thẳng từ 0 đến 20 m/s nên gia tốc a = 20/5 = 4 m/s^2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ t=5 đến t=10 vận tốc không đổi v = 20 m/s, quãng đường = 20 × 5 = 100 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Parabol trên [10;20] có đỉnh (14;36) nên vận tốc lớn nhất là 36 m/s, lớn hơn 20 m/s ở đoạn đầu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Parabol v(t) = -(t-14)^2 + 36; quãng đường từ t=10 đến t=20 là ∫_{10}^{20} v dt = 856/3 ≈ 285,33 m ≠ 200 m.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí tổng $C(x)=C(0)+{\int }_0^{50}{C}^{\prime }(x)dx=2000+{\int }_0^{50}(100-0,2x)dx=2000+{\left[100x-0,1x^2\right]}_0^{50}=2000+5000-250=6750$ (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=2,01t-0,025t^2$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=2,01-0,05t$.

a) Trên $[0;10]$, $v^{\prime }(t)=2,01-0,05t>0$ (vì $t\le 10<40,2$) nên $v(t)$ đồng biến, vận tốc lớn nhất tại $t=10$. Khi đó $a(10)=2,01-0,05\cdot 10=1,51m/{\mathrm{s}}^2$. Mệnh đề đúng.

b) Quãng đường là $s(t)={\int }_0^{t}v(x)dx=1,005t^2-\frac{0,025}{3}{t}^3$, không phải $s(t)=2,01-0,05t$ (đó là công thức gia tốc). Mệnh đề sai.

c) $s(3)=1,005\cdot 9-\frac{0,025}{3}\cdot 27=9,045-0,225=8,82$ m. Mệnh đề đúng.

d) Quãng đường trong giây thứ 9: $s(9)-s(8)=1,005(81-64)-\frac{0,025}{3}(729-512)=17,085-1,8083\dots \approx 15,28$ m. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;10] v(t) đồng biến nên vận tốc lớn nhất tại t=10, khi đó a(10)=2,01−0,05·10=1,51 m/s².
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=∫₀ᵗ v(x)dx=1,005t²−(0,025/3)t³, còn 2,01−0,05t là gia tốc a(t), không phải quãng đường.
c) (AI giải đề cho tôi)
s(3)=1,005·9−(0,025/3)·27=9,045−0,225=8,82 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
s(9)−s(8)=1,005·17−(0,025/3)·217=17,085−1,8083…≈15,28 m.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có đỉnh $I(1;5)$, trục đối xứng song song $Ov$, đi qua gốc $O(0;0)$ và cắt trục hoành tại $t=2$ (theo hình vẽ). Viết $v(t)=a(t-1{)}^2+5$. Vì $v(0)=0$ nên $a+5=0\Rightarrow a=-5$. Vậy $v(t)=-5(t-1{)}^2+5=-5t^2+10t$ với $0\le t\le 2$. Quãng đường chạy trong 1,5 giờ đầu: $$S={\int }_0^{1.5}(-5t^2+10t)dt={\left[-\frac{5t^3}{3}+5t^2\right]}_0^{1.5}=-\frac{5\cdot 3,375}{3}+5\cdot 2,25=-5,625+11,25=5,625.$$ Làm tròn đến hàng phần trăm: $S\approx 5,63$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A=(0,0), B=(40,0), D=(0,60), C=(40,60). Khi đó P=(0,30), R=(40,20), Q=(20,25), I=(25,35). Giả sử f(x)=ax³+bx²+cx+d. Từ P: d=30. Thay Q, I, R vào ta được hệ: 8000a+400b+20c=−5; 15625a+625b+25c=5; 64000a+1600b+40c=−10. Giải ra a=−0.006, b=0.36, c=−5.05, d=30, tức f(x)=−0.006x³+0.36x²−5.05x+30. Diện tích phần trồng hoa: S₂=∫₀⁴⁰ f(x)dx = −0.006·40⁴/4 + 0.36·40³/3 − 5.05·40²/2 + 30·40 = −960+7680−4040+1200 = 3880 (m²). Đường cong HEK là y=f(x)+10, nên S₁=∫₀⁴⁰ (f(x)+10)dx = 3880+400 = 4280 (m²). Vậy S₁/S₂ = 4280/3880 = 107/97, tức a=107, b=97 (tối giản). Do đó 2b−a = 194−107 = 87.

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc a(t)=3t²+2 nên v(t)=∫a(t)dt=t³+2t+C. Với v(0)=5 suy ra C=5, tức v(t)=t³+2t+5. Tại t=4: v(4)=64+8+5=77 (đúng). Quãng đường trong 4 giây đầu: ∫₀⁴(t³+2t+5)dt = [t⁴/4+t²+5t]₀⁴ = 64+16+20 = 100 m, không phải 99 m.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc theo thời gian: v(t)=∫a(t)dt, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=t³+2t+C, v(0)=C=5 nên v(t)=t³+2t+5, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(4)=4³+2·4+5=64+8+5=77 m/s, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường = ∫₀⁴(t³+2t+5)dt = 64+16+20 = 100 m ≠ 99 m, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0\le t\le 3$, parabol có đỉnh $I(2;9)$: $v=a(t-2{)}^2+9$. Vì đồ thị đi qua gốc $O(0;0)$ nên $0=4a+9\Rightarrow a=-\frac{9}{4}$, tức $v(t)=-\frac{9}{4}(t-2{)}^2+9$. Tại $t=3$: $v(3)=-\frac{9}{4}+9=\frac{27}{4}$. Với $3\le t\le 4$, $v=\frac{27}{4}$ (đoạn thẳng song song trục hoành). Quãng đường $s={\int }_0^3\left[-\frac{9}{4}(t-2{)}^2+9\right]dt+{\int }_3^4\frac{27}{4}dt$. Tính ${\int }_0^3(t-2{)}^{2}dt={\frac{(t-2{)}^3}{3}|}_0^3=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=3$, nên ${\int }_0^{3}vdt=-\frac{9}{4}\cdot 3+27=\frac{81}{4}$. Phần sau: $\frac{27}{4}\cdot 1=\frac{27}{4}$. Vậy $s=\frac{81}{4}+\frac{27}{4}=\frac{108}{4}=27$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi v(t) = -4t + 20 = 0, tức t = 5 (giây) → ý d đúng. Quãng đường đến lúc dừng: s = ∫₀⁵ (-4t+20)dt = [-2t² + 20t]₀⁵ = -50 + 100 = 50 m → ý a đúng. v(3) = -12 + 20 = 8 m/s ≠ 10 m/s → ý b sai. Trong giây cuối (từ t = 4 đến t = 5): s = ∫₄⁵ (-4t+20)dt = (-50+100) - (-32+80) = 50 - 48 = 2 m → ý c đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
s = ∫₀⁵ (-4t+20)dt = [-2t²+20t]₀⁵ = 50 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(3) = -4·3 + 20 = 8 m/s, không phải 10 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₄⁵ (-4t+20)dt = 50 - 48 = 2 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
v(t) = 0 ⇔ t = 5 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao là nguyên hàm của vận tốc: $h(t)={\int }_0^{t}v(s)ds=23t-4,9t^2$ (vì $h(0)=0$, bắn từ mặt đất). Đạo hàm $h^{\prime }(t)=v(t)=23-9,8t=0\Rightarrow t=\frac{23}{9,8}\approx 2,347$ s. Khi đó $h_{\max }=23\cdot \frac{23}{9,8}-4,9{\left(\frac{23}{9,8}\right)}^2=\frac{23^2}{2\cdot 9,8}=\frac{529}{19,6}\approx 26,99$ m. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất: $27,0$ m, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $C(82)=C(0)+{\int }_0^{82}{C}^{\prime }(x)dx=27+{\int }_0^{82}\left(8-0,07x+0,00034x^2\right)dx$.

Nguyên hàm: $\int C^{\prime }(x)dx=8x-0,035x^2+\frac{0,00034}{3}{x}^3$.

Tại $x=82$: $8\cdot 82=656$; $0,035\cdot 82^2=0,035\cdot 6724=235,34$; $\frac{0,00034}{3}\cdot 82^3=\frac{0,00034\cdot 551368}{3}\approx 62,4884$.

Vậy ${\int }_0^{82}{C}^{\prime }(x)dx\approx 656-235,34+62,4884=483,1484$, nên $C(82)\approx 27+483,1484=510,1484\approx 510$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn 510.