Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Quả bóng đạt độ cao trên 4 m khi $h(t)>4$ với $t\ge 0$.

$$-\frac{1}{2}{t}^2+10t+3>4\iff -\frac{1}{2}{t}^2+10t-1>0\iff t^2-20t+2<0$$

Tam thức có hai nghiệm $t=10\pm \sqrt{98}=10\pm 7\sqrt{2}$ (đều dương, thỏa mãn $t\ge 0$).

Vậy $h(t)>4$ khi $10-7\sqrt{2}<t<10+7\sqrt{2}$.

Khoảng thời gian quả bóng ở độ cao trên 4 m là:
$$\Delta t=(10+7\sqrt{2})-(10-7\sqrt{2})=14\sqrt{2}\approx 19,\mathrm{7989...}\approx 19,8\text{ (giaˆy)}$$

Vậy quả bóng đạt độ cao trên 4 m trong khoảng khoảng $19,8$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2+2x-48\le 0$. Phương trình $x^2+2x-48=0$ có nghiệm $x=-8$ và $x=6$ (vì $\Delta =4+192=196$, $\sqrt{\Delta }=14$). Vì hệ số $a=1>0$ nên bất phương trình nghiệm trên đoạn $-8\le x\le 6$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{-8,-7,\dots ,5,6\}$, gồm 15 số. Tổng của dãy số cách đều: $S=\frac{(-8+6)\cdot 15}{2}=\frac{-2\cdot 15}{2}=-15$. Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là $-15$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+2x-m+10$ có $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ cần và đủ $\Delta <0$: $\Delta =4-4(10-m)=4m-36<0\iff m<9$. Các giá trị nguyên dương của $m$ là $m\in \{1,2,\dots ,8\}$, tức có 8 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng tam thức: A) $-x^2-4x+2$ có ${\Delta }^{\prime }=4+2=6>0$ nên đổi dấu, không luôn âm. B) $x^2-3x+14$ có $\Delta =9-56=-47<0$ và $a=1>0$ nên luôn dương. C) $3x^2-x-5$ có $\Delta =1+60=61>0$ nên đổi dấu. D) $-x^2+2x-3=-(x^2-2x+3)$, với $x^2-2x+3$ có $\Delta =4-12=-8<0$ và $a=1>0$ nên luôn dương, do đó $-x^2+2x-3$ luôn âm với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-2(2m-3)x+4m-3$ có hệ số $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ cần và đủ $\Delta <0$: $$\Delta =4(2m-3{)}^2-4(4m-3)<0\iff (2m-3{)}^2<4m-3$$ $$\iff 4m^2-12m+9<4m-3\iff 4m^2-16m+12<0\iff m^2-4m+3<0\iff 1<m<3.$$ Vậy $1<m<3$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(-x^2+3x)(2x^2+1)$. Vì $2x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (do $2x^2\ge 0$), nên dấu của $f(x)$ hoàn toàn do dấu của $-x^2+3x=x(3-x)$. Nghiệm của $f(x)=0$: $x(3-x)=0\iff x=0$ hoặc $x=3$ (vì $2x^2+1\ne 0$). Xét dấu $x(3-x)$: với $x<0$ thì $x<0,3-x>0$ nên $f(x)<0$; với $0<x<3$ thì $x>0,3-x>0$ nên $f(x)>0$; với $x>3$ thì $x>0,3-x<0$ nên $f(x)<0$.
a) $f(x)=0\iff x=0\vee x=3$: Đúng.
b) $2x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$: Đúng.
c) $f(x)>0$ trên $(-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$: Sai, vì trên hai khoảng này $f(x)<0$ (ví dụ $f(-1)=(-4)(3)=-12<0$).
d) $f(x)<0$ trên $(0;3)$: Sai, vì trên $(0;3)$ ta có $f(x)>0$ (ví dụ $f(1)=2\cdot 3=6>0$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x^2+1>0$ với mọi $x$, nên $f(x)=0\iff -x^2+3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2x^2\ge 0$ nên $2x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$, $x(3-x)<0$ nên $f(x)<0$, không phải $>0$. Ví dụ $f(-1)=-12<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;3)$, $x>0$ và $3-x>0$ nên $f(x)>0$. Ví dụ $f(1)=6>0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $x^2-7x+12=0\iff x=3$ hoặc $x=4$, hệ số $a=1>0$ nên bất phương trình $<0$ đúng khi $x\in (3;4)$. Mệnh đề đúng.
b) $x^2-6x+5=0\iff x=1$ hoặc $x=5$, $a=1>0$ nên $\ge 0$ khi $x\le 1$ hoặc $x\ge 5$, tức $S=(-\infty ;1]\cup [5;+\infty )$, không phải $(1;5)$. Mệnh đề sai.
c) $-2x^2+7x-9<0$: $\Delta =49-4\cdot (-2)\cdot (-9)=49-72=-23<0$ và $a=-2<0$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$, tập nghiệm là $\mathbb{R}$. Mệnh đề đúng.
d) $x^2-6x+9=(x-3{)}^2\le 0\iff x=3$, tập nghiệm $S=\{3\}$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)<0\iff 3<x<4$, nên $S=(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 5$, tập nghiệm là $(-\infty ;1]\cup [5;+\infty )$, không phải $(1;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =49-72=-23<0$, $a=-2<0$ nên $-2x^2+7x-9<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-6x+9=(x-3{)}^2\le 0\iff (x-3{)}^2=0\iff x=3$, tập nghiệm $S=\{3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Giải các bất phương trình:

a) $x^2-6x+9>0\iff (x-3{)}^2>0$. Biểu thức $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ và bằng 0 khi $x=3$. Vậy tập nghiệm là $S=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

b) $-12x^2+3x+1<0\iff 12x^2-3x-1>0$. Xét $f(x)=12x^2-3x-1$, có $\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 12\cdot (-1)=9+48=57>0$, với hai nghiệm $x_1=\frac{3-\sqrt{57}}{24}$, $x_2=\frac{3+\sqrt{57}}{24}$. Vì $a=12>0$ nên $f(x)>0$ khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$. Vậy $S=\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{57}}{24}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{57}}{24};+\infty \right)$.

c) $x^2-4x+3>2x-8\iff x^2-6x+11>0$. Xét $g(x)=x^2-6x+11$, có ${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-11=-2<0$ và $a=1>0$ nên $g(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy $S=\mathbb{R}$.

Kiểm tra lại: c) tại $x=3$: $9-18+11=2>0$ ✓; b) tại $x=0$: $-12(0)+0+1=1>0$, không thuộc nghiệm (đúng vì $0$ nằm giữa hai nghiệm) ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-x^2+7x-12>0\iff x^2-7x+12<0\iff (x-3)(x-4)<0\iff 3<x<4$. Vậy tam thức nhận giá trị dương khi $x\in (3;4)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=-3$ và $x=2$, và $f(x)<0$ khi $x<-3$ hoặc $x>2$, $f(x)>0$ khi $-3<x<2$, nên hệ số $a<0$. Xét đáp án C: $f(x)=-x^2-x+6=-(x+3)(x-2)$ có nghiệm $x=-3$, $x=2$ và $a=-1<0$, đúng bảng xét dấu. Các đáp án A, B, D có $a>0$ nên dương ngoài khoảng nghiệm, không phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol có bề lõm hướng xuống ($a<0$) và không cắt trục hoành ($\Delta <0$). Do đó điều kiện là $\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta <0\end{array}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x^2-2mx+1)$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2mx+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tam thức $x^2-2mx+1$ có hệ số $a=1>0$, nên điều kiện là $\Delta <0$: $\Delta =4m^2-4<0\iff m^2<1\iff -1<m<1$. Vậy $m\in (-1;1)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm $x=-2$ và $x=3$, âm ngoài khoảng $(-2;3)$ và dương trong khoảng $(-2;3)$, nên hệ số $a<0$ và $f(x)=a(x+2)(x-3)$. Với $a=-1$: $f(x)=-(x+2)(x-3)=-x^2+x+6$. Kiểm tra: $f(0)=6>0$ (dùng trong khoảng), $f(4)=-16+4+6=-6<0$ (ngoài khoảng). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+12x+36=(x+6{)}^2$ có $a=1>0$ và nghiệm kép $x=-6$, nên $f(x)\ge 0$ với mọi $x$, chỉ bằng $0$ tại $x=-6$. Bảng xét dấu đúng là $+$, $0$, $+$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+4x+m-5$ có $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x$ cần và đủ $\Delta <0$: $\Delta =16-4(m-5)=36-4m<0\iff m>9$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình bậc hai $(m+2)x^2-3x+2m-3=0$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $a\cdot c<0$ (điều này cũng bao gồm $\Delta >0$) và $a\ne 0$. Ta có $(m+2)(2m-3)<0\iff -2<m<\frac{3}{2}$. Khi đó $m+2>0$ nên phương trình là bậc hai, hai nghiệm phân biệt trái dấu. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Giải các bất phương trình:

a) $2x^2-5x+2<0$. Xét $2x^2-5x+2=0$: $\Delta =25-16=9$, $x=\frac{5\pm 3}{4}$, tức $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=2$. Vì $a=2>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm: $\frac{1}{2}<x<2$. Tập nghiệm $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$.

b) $-2x^2+3x-7\ge 0\iff 2x^2-3x+7\le 0$. Xét $2x^2-3x+7$: $\Delta =9-56=-47<0$ và $a=2>0$ nên tam thức dương với mọi $x$. Bất phương trình vô nghiệm: $S=\varnothing$.

c) $3x^2-4x+4\ge 0$. $\Delta =16-48=-32<0$ và $a=3>0$ nên $3x^2-4x+4>0$ với mọi $x$. Bất phương trình luôn đúng: $S=\mathbb{R}$.

d) $(2x-7)(5-x)\ge 0\iff (2x-7)(x-5)\le 0$. Hai nghiệm $x=\frac{7}{2}$ và $x=5$, hệ số của $x$ trong tích là $-2<0$ nên tích $\le 0$ khi $x$ giữa hai nghiệm: $S=\left[\frac{7}{2};5\right]$.

e) $x^2-x-20-2(x-11)>0\iff x^2-x-20-2x+22>0\iff x^2-3x+2>0$. Xét $x^2-3x+2=0$: $x=1$ hoặc $x=2$. Vì $a=1>0$, tam thức dương ngoài hai nghiệm: $S=(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

f) $\frac{1}{x^2-x+1}<1$. Ta có $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x$ nên nhân hai vế với mẫu dương: $1<x^2-x+1\iff x^2-x>0\iff x(x-1)>0\iff x<0$ hoặc $x>1$. Tập nghiệm $S=(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
f(x) luôn cùng dấu với a với mọi x nghĩa là f(x) không có nghiệm thực (đồ thị parabol không cắt trục hoành), do đó phương trình ax²+bx+c=0 vô nghiệm, tức Δ = b²−4ac < 0. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $2x^2-3x-15\le 0$. Delta $=9+120=129$, hai nghiệm $x=\frac{3\pm \sqrt{129}}{4}$, tức $x_1\approx -2,09$ và $x_2\approx 3,59$. Vậy tập nghiệm là $\left[\frac{3-\sqrt{129}}{4};\frac{3+\sqrt{129}}{4}\right]$. Các số nguyên trong khoảng này: $-2,-1,0,1,2,3$ — tổng cộng 6 nghiệm nguyên. Đáp án A.

a. (2,0 điểm) Cho hàm số $y=x^2-4x+1$, có đồ thị (P) và đường thẳng $(d):y=x+7$, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (P).

- (0,5 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-4x+1=x+7\iff x^2-5x-6=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=6\end{array}$.

- (0,5 điểm). Với $x=-1$ thay vào (d) ta được $y=6$, ta có giao điểm $(-1;6)$.

- (0,5 điểm). Với $x=6$ thay vào (d) ta được $y=13$, ta có giao điểm $(6;13)$.

- (0,5 điểm). Vậy đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ là $(-1;6)$ và $(6;13)$.

b. (3,0 điểm). Tìm giá trị thực $m$ để bất phương trình $(m+1)x^2-2mx-m+3<0$ vô nghiệm.

- (0,5 điểm). Đặt $f(x)=(m+1)x^2-2mx-m+3$, để BPT (1) vô nghiệm $\iff f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.

- (0,5 điểm). Với $m=-1\Rightarrow f(x)=2x+4\ge 0\iff x\ge -2$ không thỏa mãn $\Rightarrow m=-1$ loại.

- (0,5 điểm). Với $m\ne -1$, $f(x)=0$, có ${\Delta }^{\prime }=2m^2-2m-3$.

- (0,5 điểm). Để $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}m+1>0\\ {\Delta }^{\prime }\le 0\end{array}$.

- (0,5 điểm). $\iff \{\begin{array}{l}m>-1\\ 2m^2-2m-3\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>-1\\ \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2}\end{array}\iff \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2}$.

- (0,5 điểm). Vậy $m\in \left[\frac{1-\sqrt{7}}{2};\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right]$ thì BPT (1) vô nghiệm.