Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

a) Xét $f(x)=0$ có ${\Delta }^{\prime }=1>0$. Hai nghiệm $x_1=m$, $x_2=m+2$. Tập nghiệm của BPT là $S=[m;m+2]$. Để $S\subset [0;3]\iff \{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m+2\le 3\end{array}\iff 0\le m\le 1$. Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1\}$.
b) Điểm cố định của $\Delta$ là $B(-2;-1)$. Khoảng cách $d(O,\Delta )\le OB$. Dấu “=” khi $OB\perp \Delta$. $\overrightarrow{OB}=(-2;-1)$. VTCP của $\Delta$ là $\vec{u}=(2-m;m+1)$. $\overrightarrow{OB}.\vec{u}=0\iff -2(2-m)-1(m+1)=0\iff m=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c$ luôn dương khi $a>0$ và $\Delta <0$. A: $x^2-4x+3$ có $\Delta =16-12=4>0$ nên có hai nghiệm, không luôn dương. B: $x^2-2x+5$ có $a=1>0$, $\Delta =4-20=-16<0$ nên luôn dương với mọi $x$. C: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2\ge 0$ nhưng bằng $0$ tại $x=3$, không luôn dương. D: $-x^2+2x+5$ có $a=-1<0$ nên không thể luôn dương. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 6: B).

$f(x)=x^2-2026x+2025$ có $\Delta >0$, $a=1>0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$; $x_2=2025$.
Bảng xét dấu $f(x)$: $f(x)>0$ với $x\in (-\infty ;1)$, $f(x)=0$ tại $x=1$, $f(x)<0$ với $x\in (1;2025)$, $f(x)=0$ tại $x=2025$, $f(x)>0$ với $x\in (2025;+\infty )$.
Suy ra $f(x)<0$ với mọi $x\in (1;2025)$.
và $f(x)>0$ với mọi $x\in (-\infty ;1)\cup (2025;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A. $f(x)=x^2-2x+1$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=1\ne 0$, $b=-2$, $c=1$ nên là tam thức bậc hai. B. $f(x)=\frac{x-1}{2x+3}$ là phân thức hữu tỉ, không phải tam thức bậc hai. C. $f(x)=-x^3-x+3$ có bậc 3, không phải tam thức bậc hai. D. $f(x)=\sqrt{x^2-x+3}$ chứa dấu căn, không phải tam thức bậc hai. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, câu 5: A).

$f(x)=-x^2+2026x-2025$ có $\Delta >0$, $a=-1<0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$; $x_2=2025$.
Bảng xét dấu $f(x)$: $f(x)<0$ với $x\in (-\infty ;1)$, $f(x)=0$ tại $x=1$, $f(x)>0$ với $x\in (1;2025)$, $f(x)=0$ tại $x=2025$, $f(x)<0$ với $x\in (2025;+\infty )$.
Suy ra $f(x)>0$ với mọi $x\in (1;2025)$.
và $f(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;1)\cup (2025;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. A có bậc 4; B là phân thức; D chứa căn. Chỉ có $f(x)=-x^2-x+3$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=-1\ne 0$, nên là tam thức bậc hai. Khớp đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $h(x)\ge 0$: $-x^2+14x-40\ge 0\iff x^2-14x+40\le 0\iff 4\le x\le 10$. Vậy $a=4,b=10$ và $P=a\cdot b=40$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $4x^2-5x+1=0$: $\Delta =25-16=9$, $x=\frac{5\pm 3}{8}$ nên $x=\frac{1}{4}$ hoặc $x=1$. Vì hệ số $a=4>0$, tập nghiệm là $\left[\frac{1}{4};1\right]$. Vậy $a=1,b=4,c=1$, suy ra $a^2+b^2-c=1+16-1=16$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A có bậc 4, B có bậc 4, D có bậc 3, chỉ có $f(x)=4x^2+3x+1$ (C) có bậc 2 với hệ số $a=4\ne 0$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $m=1$: $f(x)=0\cdot x^2-0\cdot x+4=4$, không phải tam thức bậc hai → SAI.
b) Với $m=0$: $f(x)=-x^2+2x+3=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$ → ĐÚNG.
c) Điều kiện: $-x^2+2x+3\ge 0\iff x\in [-1;3]$ và $x+1\ge 0\iff x\ge -1$. Bình phương: $-x^2+2x+3=x^2+2x+1\iff 2x^2=2\iff x=\pm 1$. Thử $x=-1$: $\sqrt{0}=0=x+1$ thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\pm 1$, không phải nghiệm duy nhất $x=1$ → SAI.
d) Với $m=1$: $f(x)=4>0$ với mọi $x$. Với $m>1$: $a=m-1>0$ và $\Delta =4(m-1{)}^2-4(m-1)(m+3)=4(m-1)(m-1-m-3)=-16(m-1)<0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$ thì $f(x)=4$, hằng số, không phải tam thức bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$: $-x^2+2x+3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế với điều kiện $x\ge -1$: $2x^2=2\iff x=\pm 1$; cả hai đều thỏa nên phương trình có hai nghiệm $x=\pm 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $f(x)=4>0$; với $m>1$: $a>0$ và $\Delta =-16(m-1)<0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2+2x+3$ có $\Delta =2^2-4(-1)(3)=16>0$ nên có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ (a đúng). Vì hệ số $a=-1<0$, $f(x)$ âm ngoài hai nghiệm, dương giữa hai nghiệm, đúng như bảng xét dấu (b đúng). $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm (c đúng). Với d: $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$. Yêu cầu $g(x)-f(x)<0\forall x$ tương đương $x^2-(m+1)x+2m-1>0\forall x$, tức $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2,3,4\}$ — chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 5 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =16>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1,x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a=-1<0$, nghiệm $-1$ và $3$: $f(x)$ âm trên $(-\infty ,-1)$ và $(3,+\infty )$, dương trên $(-1,3)$ — khớp bảng xét dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff x\in (-1,3)$, nghiệm nguyên: $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$ âm với mọi $x$ khi $x^2-(m+1)x+2m-1>0\forall x$, tức $m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2,3,4\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-4x+3<0$. Tam thức có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$ (vì $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$), hệ số $a=1>0$ nên tam thức âm giữa hai nghiệm. Vậy tập nghiệm là $(1;3)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ đòi hỏi parabol có bề lõm hướng xuống nên $a<0$, và đồ thị không nằm phía trên trục hoành nên phương trình $f(x)=0$ không có hai nghiệm phân biệt, tức $\Delta =b^2-4ac\le 0$ (nếu $\Delta >0$ thì $f(x)>0$ ngoài khoảng hai nghiệm, mâu thuẫn; nếu $a>0$ thì $f(x)\to +\infty$ khi $|x|\to \infty$, mâu thuẫn). Vậy điều kiện đúng là $a<0$ và $\Delta \le 0$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\Delta =2^2-4(-1)(3)=16>0$, hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ — đúng. b) $f(x)=-(x+1)(x-3)$, hệ số $a=-1<0$ nên $f(x)$ âm ngoài khoảng $(-1;3)$, dương trong khoảng; bảng xét dấu với $-$, $0$, $+$, $0$, $-$ tại $-1$ và $3$ khớp — đúng. c) $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0;1;2$ — đúng 3 nghiệm nguyên. d) $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$ âm với mọi $x\iff x^2-(m+1)x+2m-1>0$ với mọi $x\iff \Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, nên $m\in \{2;3;4\}$ — chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5 — sai. Kết quả ĐĐĐS khớp bảng đáp án mã đề 3267, Phần II câu 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =16>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$, $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-(x+1)(x-3)$ với $a=-1<0$: âm ngoài khoảng $(-1;3)$, dương trong khoảng, khớp bảng xét dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff -1<x<3$, nghiệm nguyên: $0;1;2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$ âm với mọi $x\iff m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2;3;4\}$ — chỉ 3 giá trị, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-4x+3<0$. Tam thức có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$ (vì $1+3=4$, $1\cdot 3=3$), hệ số $a=1>0$ nên tam thức âm giữa hai nghiệm. Vậy tập nghiệm là $(1;3)$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 3267, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $f(x)\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì đồ thị parabol phải nằm dưới hoặc tiếp xúc trục hoành, tức là bề lõ hướng xuống ($a<0$) và phương trình $f(x)=0$ không có hai nghiệm phân biệt ($\Delta \le 0$). Nếu $a>0$ thì $f(x)\to +\infty$ khi $|x|\to \infty$, mâu thuẫn. Vậy khẳng định đúng là $\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$, trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 3267).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$ đòi hỏi parabol hướng xuống ($a<0$) và không có khoảng giá trị dương, tức $\Delta =b^2-4ac\le 0$ (nếu $\Delta >0$ thì $f(x)>0$ trên khoảng ngoài hai nghiệm, mâu thuẫn). Vậy điều kiện là $\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$, tương ứng phương án D. Khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1354: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-4x+3<0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1$ và $x=3$ (vì $1+3=4$, $1\cdot 3=3$). Vì hệ số $a=1>0$, parabol hướng lên nên $x^2-4x+3<0$ khi và chỉ khi $1<x<3$. Vậy tập nghiệm là $(1;3)$, trùng với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 1354, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x^2+2x+3$, ${\Delta }^{\prime }=1+3=4>0$ nên hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ (ý a đúng). Vì $a=-1<0$, tam thức dương trên $(-1;3)$ và âm ngoài khoảng, đúng như bảng xét dấu (ý b đúng). $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm (ý c đúng). Với ý d: $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$. Để $g(x)-f(x)<0\forall x\in \mathbb{R}$ cần $\Delta <0$: $(m+1{)}^2-4(2m-1)<0\iff m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, tức $m\in \{2;3;4\}$ — chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 5 (ý d sai). Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }=1+3=4>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$, $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=-1<0$, $f(x)$ âm khi $x<-1$ hoặc $x>3$, dương trên $(-1;3)$, bằng 0 tại $x=-1$ và $x=3$ — đúng như bảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff -1<x<3$, nghiệm nguyên: $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1<0\forall x$ khi $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2;3;4\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng khu đất là $x$ (m), $x>0$, khi đó chiều dài là $x+4$ (m). Diện tích không nhỏ hơn $96m^2$: $x(x+4)\ge 96\iff x^2+4x-96\ge 0\iff (x-8)(x+12)\ge 0$. Vì $x>0$ nên $x\ge 8$. Chu vi khu đất (số mét lưới cần mua) là $P=2(x+x+4)=4x+8\ge 4\cdot 8+8=40$. Vậy Bác Hùng phải mua ít nhất $a=40$ (m) lưới, khớp với đáp án nguồn (Mã chẵn, Câu 4: 40).