Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-10x+16<0$. Phương trình $x^2-10x+16=0$ có $\Delta =100-64=36$, nghiệm $x=2$ và $x=8$. Vì hệ số $a=1>0$ nên tam thức âm giữa hai nghiệm, tập nghiệm là $(2;8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng tam thức: A) $-x^2-4x+2$ có ${\Delta }^{\prime }=4+2=6>0$ nên đổi dấu, không luôn âm. B) $x^2-3x+14$ có $\Delta =9-56=-47<0$ và $a=1>0$ nên luôn dương. C) $3x^2-x-5$ có $\Delta =1+60=61>0$ nên đổi dấu. D) $-x^2+2x-3=-(x^2-2x+3)$, với $x^2-2x+3$ có $\Delta =4-12=-8<0$ và $a=1>0$ nên luôn dương, do đó $-x^2+2x-3$ luôn âm với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2-5x\ge 0\iff x(x-5)\ge 0$. Với $a=1>0$, tam thức $x(x-5)$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=5$, đồng thời mang dấu dương ngoài khoảng hai nghiệm. Do đó $x(x-5)\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 5$ (bao gồm cả hai nghiệm vì dấu bằng được phép). Vậy $S=(-\infty ;0]\cup [5;+\infty )$, tương ứng với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-2(2m-3)x+4m-3$ có hệ số $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ cần và đủ $\Delta <0$: $$\Delta =4(2m-3{)}^2-4(4m-3)<0\iff (2m-3{)}^2<4m-3$$ $$\iff 4m^2-12m+9<4m-3\iff 4m^2-16m+12<0\iff m^2-4m+3<0\iff 1<m<3.$$ Vậy $1<m<3$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(-x^2+3x)(2x^2+1)$. Vì $2x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (do $2x^2\ge 0$), nên dấu của $f(x)$ hoàn toàn do dấu của $-x^2+3x=x(3-x)$. Nghiệm của $f(x)=0$: $x(3-x)=0\iff x=0$ hoặc $x=3$ (vì $2x^2+1\ne 0$). Xét dấu $x(3-x)$: với $x<0$ thì $x<0,3-x>0$ nên $f(x)<0$; với $0<x<3$ thì $x>0,3-x>0$ nên $f(x)>0$; với $x>3$ thì $x>0,3-x<0$ nên $f(x)<0$.
a) $f(x)=0\iff x=0\vee x=3$: Đúng.
b) $2x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$: Đúng.
c) $f(x)>0$ trên $(-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$: Sai, vì trên hai khoảng này $f(x)<0$ (ví dụ $f(-1)=(-4)(3)=-12<0$).
d) $f(x)<0$ trên $(0;3)$: Sai, vì trên $(0;3)$ ta có $f(x)>0$ (ví dụ $f(1)=2\cdot 3=6>0$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x^2+1>0$ với mọi $x$, nên $f(x)=0\iff -x^2+3x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2x^2\ge 0$ nên $2x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$, $x(3-x)<0$ nên $f(x)<0$, không phải $>0$. Ví dụ $f(-1)=-12<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;3)$, $x>0$ và $3-x>0$ nên $f(x)>0$. Ví dụ $f(1)=6>0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $x^2-7x+12=0\iff x=3$ hoặc $x=4$, hệ số $a=1>0$ nên bất phương trình $<0$ đúng khi $x\in (3;4)$. Mệnh đề đúng.
b) $x^2-6x+5=0\iff x=1$ hoặc $x=5$, $a=1>0$ nên $\ge 0$ khi $x\le 1$ hoặc $x\ge 5$, tức $S=(-\infty ;1]\cup [5;+\infty )$, không phải $(1;5)$. Mệnh đề sai.
c) $-2x^2+7x-9<0$: $\Delta =49-4\cdot (-2)\cdot (-9)=49-72=-23<0$ và $a=-2<0$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$, tập nghiệm là $\mathbb{R}$. Mệnh đề đúng.
d) $x^2-6x+9=(x-3{)}^2\le 0\iff x=3$, tập nghiệm $S=\{3\}$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)<0\iff 3<x<4$, nên $S=(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 5$, tập nghiệm là $(-\infty ;1]\cup [5;+\infty )$, không phải $(1;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =49-72=-23<0$, $a=-2<0$ nên $-2x^2+7x-9<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-6x+9=(x-3{)}^2\le 0\iff (x-3{)}^2=0\iff x=3$, tập nghiệm $S=\{3\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{(m+10)x^2-2(m-2)x+1}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn không âm với mọi $x$: $(m+10)x^2-2(m-2)x+1\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

TH1: $m+10=0$, tức $m=-10$: biểu thức trở thành $24x+1$, âm khi $x<-\frac{1}{24}$, không thỏa mãn.

TH2: $m+10>0$ và $\Delta \le 0$:
$$\Delta =4(m-2{)}^2-4(m+10)\le 0\iff (m-2{)}^2\le m+10\iff m^2-5m-6\le 0\iff (m-6)(m+1)\le 0\iff -1\le m\le 6.$$

Kết hợp $m+10>0$ (luôn đúng với $m\in [-1;6]$), các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-1,0,1,2,3,4,5,6\}$, gồm 8 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $m{x}^2+2(m-3)x+4\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=0$: bất phương trình trở thành $-6x+4\ge 0$, không đúng với mọi $x$, loại.
- Với $m>0$: cần $\Delta \le 0$: $\Delta =4(m-3{)}^2-16m\le 0\iff (m-3{)}^2\le 4m\iff m^2-10m+9\le 0\iff 1\le m\le 9$.
Vậy $m\in [1;9]$, tức $a=1,b=9$, nên $a^2-b^2=1-81=-80$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Giải các bất phương trình:

a) $x^2-6x+9>0\iff (x-3{)}^2>0$. Biểu thức $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$ và bằng 0 khi $x=3$. Vậy tập nghiệm là $S=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

b) $-12x^2+3x+1<0\iff 12x^2-3x-1>0$. Xét $f(x)=12x^2-3x-1$, có $\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 12\cdot (-1)=9+48=57>0$, với hai nghiệm $x_1=\frac{3-\sqrt{57}}{24}$, $x_2=\frac{3+\sqrt{57}}{24}$. Vì $a=12>0$ nên $f(x)>0$ khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$. Vậy $S=\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{57}}{24}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{57}}{24};+\infty \right)$.

c) $x^2-4x+3>2x-8\iff x^2-6x+11>0$. Xét $g(x)=x^2-6x+11$, có ${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-11=-2<0$ và $a=1>0$ nên $g(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy $S=\mathbb{R}$.

Kiểm tra lại: c) tại $x=3$: $9-18+11=2>0$ ✓; b) tại $x=0$: $-12(0)+0+1=1>0$, không thuộc nghiệm (đúng vì $0$ nằm giữa hai nghiệm) ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Tìm m để bất phương trình có tập nghiệm là R.

a) Xét $f(x)=2x^2-(m-9)x+m^2+3m+4\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vì hệ số $a=2>0$ nên parabol hướng lên. Bất phương trình $f(x)\ge 0$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $\Delta \le 0$.
$$\Delta =(m-9{)}^2-8(m^2+3m+4)=m^2-18m+81-8m^2-24m-32=-7m^2-42m+49=-7(m^2+6m-7).$$
$\Delta \le 0\iff m^2+6m-7\ge 0\iff (m+7)(m-1)\ge 0\iff m\le -7$ hoặc $m\ge 1$.
Vậy $m\in (-\infty ;-7]\cup [1;+\infty )$.

b) Xét $g(x)=(m-4)x^2-(m-6)x+m-5\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=4$: $g(x)=2x-1\le 0$ chỉ đúng khi $x\le \frac{1}{2}$, không thỏa mãn.
- Với $m\ne 4$, cần $a=m-4<0\iff m<4$ và $\Delta \le 0$:
$$\Delta =(m-6{)}^2-4(m-4)(m-5)=m^2-12m+36-4m^2+36m-80=-3m^2+24m-44.$$
$\Delta \le 0\iff 3m^2-24m+44\ge 0$. Phương trình $3m^2-24m+44=0$ có nghiệm $m=\frac{24\pm \sqrt{576-528}}{6}=4\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Suy ra $\Delta \le 0\iff m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $m\ge 4+\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Kết hợp với $m<4$: $m\le 4-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $m\in \left(-\infty ;4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$.

Kiểm tra lại: với $m=1$ ở câu a), $\Delta =-7(1+6-7)=0$, $f(x)=2x^2+8x+8=2(x+2{)}^2\ge 0$ đúng với mọi $x$. Với $m=4-\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 2,845$ ở câu b), $a<0$ và $\Delta =0$, $g(x)\le 0$ đúng với mọi $x$. Kết quả thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-2x+3>0$. Tam thức có $a=1>0$ và $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$, nên tam thức luôn dương với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập nghiệm là $\mathbb{R}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-x^2+7x-12>0\iff x^2-7x+12<0\iff (x-3)(x-4)<0\iff 3<x<4$. Vậy tam thức nhận giá trị dương khi $x\in (3;4)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=-3$ và $x=2$, và $f(x)<0$ khi $x<-3$ hoặc $x>2$, $f(x)>0$ khi $-3<x<2$, nên hệ số $a<0$. Xét đáp án C: $f(x)=-x^2-x+6=-(x+3)(x-2)$ có nghiệm $x=-3$, $x=2$ và $a=-1<0$, đúng bảng xét dấu. Các đáp án A, B, D có $a>0$ nên dương ngoài khoảng nghiệm, không phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol có bề lõm hướng xuống ($a<0$) và không cắt trục hoành ($\Delta <0$). Do đó điều kiện là $\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta <0\end{array}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x^2-2mx+1)$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2mx+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tam thức $x^2-2mx+1$ có hệ số $a=1>0$, nên điều kiện là $\Delta <0$: $\Delta =4m^2-4<0\iff m^2<1\iff -1<m<1$. Vậy $m\in (-1;1)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{0,5}(m{x}^2-mx+1)$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m{x}^2-mx+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

- Nếu $m=0$: biểu thức bằng $1>0$ với mọi $x$, thỏa mãn.
- Nếu $m\ne 0$: cần parabol hướng lên ($m>0$) và phương trình $m{x}^2-mx+1=0$ vô nghiệm, tức $\Delta =m^2-4m<0\iff 0<m<4$.

Vậy $0\le m<4$, các giá trị nguyên là $m\in \{0;1;2;3\}$. Kiểm tra: với $m=1,2,3$ đều có $\Delta <0$ và $m>0$, thỏa mãn.

Tổng cần tính: $0+1+2+3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Tìm m để tam thức bậc hai có dấu đúng với mọi x.
a) $x^2+2(m-2)x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$: hệ số $a=1>0$, cần $\Delta \le 0$: $\Delta =4(m-2{)}^2-4(2m-1)=4(m^2-6m+3)\le 0\iff m^2-6m+3\le 0$. Nghiệm: $m=3\pm \sqrt{6}$. Vậy $3-\sqrt{6}\le m\le 3+\sqrt{6}$.
b) $-x^2+(m+1)x-2m+1\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$: nhân $-1$, tương đương $x^2-(m+1)x+2m-1\ge 0$ với $a=1>0$, cần $\Delta \le 0$: $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5\le 0\iff (m-1)(m-5)\le 0$. Vậy $1\le m\le 5$.
c) $x^2-2(2m+1)x+m+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$: $a=1>0$, cần $\Delta <0$: $\Delta =4(2m+1{)}^2-4(m+2)<0\iff 4m^2+4m+1-m-2<0\iff 4m^2+3m-1<0\iff (4m-1)(m+1)<0$. Vậy $-1<m<\frac{1}{4}$.
d) $m{x}^2+2mx-3<0,\forall x\in \mathbb{R}$: nếu $m=0$ thì $-3<0$ luôn đúng. Nếu $m\ne 0$, cần $m<0$ và $\Delta <0$: $\Delta =4m^2+12m<0\iff 4m(m+3)<0\iff -3<m<0$. Kết hợp: $-3<m\le 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $f(x)=x^2-(m+2)x+8m+1$ với hệ số $a=1>0$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f(x)>0$ với mọi $x$, tức tam thức luôn dương, tương đương $\Delta <0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta =(m+2{)}^2-4(8m+1)=m^2+4m+4-32m-4=m^2-28m=m(m-28).$$

Yêu cầu $\Delta <0$:
$$m(m-28)<0⟺0<m<28.$$

Vậy $m\in (0;28)$. Kiểm tra: với $m=1$, $f(x)=x^2-3x+9$ có $\Delta =9-36=-27<0$, luôn dương, thỏa mãn. Với $m=0$, $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép nên bất phương trình có nghiệm, loại. Kết quả phù hợp.