Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11:

a) Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m{x}^2-2mx+5>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $m=0$: biểu thức bằng $5>0$, thỏa mãn.
- Nếu $m\ne 0$: cần $a=m>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =4m^2-20m<0\iff 0<m<4$.
Kết hợp: $0\le m<4$.

b) Tam thức $y=-x^2+mx-1$ có $a=-1<0$ nên luôn âm với mọi $x$ khi $\Delta \le 0$: $\Delta =m^2-4\le 0\iff -2\le m\le 2$. Khi đó dấu của tam thức không phụ thuộc vào $x$ (luôn âm). Vậy $-2\le m\le 2$.

c) Tập xác định của $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$ là tập nghiệm của $-2x^2+mx-m-6\ge 0$. Để tập này chỉ gồm một phần tử, phương trình $-2x^2+mx-m-6=0$ phải có nghiệm kép: $\Delta =m^2-4(-2)(-m-6)=m^2-8m-48=0\iff m=12$ hoặc $m=-4$.
- Với $m=12$: $-2x^2+12x-18=-2(x-3{)}^2\ge 0$ chỉ tại $x=3$.
- Với $m=-4$: $-2x^2-4x-2=-2(x+1{)}^2\ge 0$ chỉ tại $x=-1$.
Vậy $m\in \{-4;12\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm $x=-2$ và $x=3$, âm ngoài khoảng $(-2;3)$ và dương trong khoảng $(-2;3)$, nên hệ số $a<0$ và $f(x)=a(x+2)(x-3)$. Với $a=-1$: $f(x)=-(x+2)(x-3)=-x^2+x+6$. Kiểm tra: $f(0)=6>0$ (dùng trong khoảng), $f(4)=-16+4+6=-6<0$ (ngoài khoảng). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+12x+36=(x+6{)}^2$ có $a=1>0$ và nghiệm kép $x=-6$, nên $f(x)\ge 0$ với mọi $x$, chỉ bằng $0$ tại $x=-6$. Bảng xét dấu đúng là $+$, $0$, $+$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $x^2-4x+3$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$ (vì $1+3=4$, $1\cdot 3=3$), hệ số $a=1>0$ nên parabol hướng lên. Do đó $x^2-4x+3<0$ khi và chỉ khi $1<x<3$, tức tập nghiệm là $(1;3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+4x+m-5$ có $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x$ cần và đủ $\Delta <0$: $\Delta =16-4(m-5)=36-4m<0\iff m>9$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình bậc hai $(m+2)x^2-3x+2m-3=0$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $a\cdot c<0$ (điều này cũng bao gồm $\Delta >0$) và $a\ne 0$. Ta có $(m+2)(2m-3)<0\iff -2<m<\frac{3}{2}$. Khi đó $m+2>0$ nên phương trình là bậc hai, hai nghiệm phân biệt trái dấu. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2-(2m-1)x+m+1$. Bất phương trình $f(x)<0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f(x)\ge 0$ với mọi $x$.
- Nếu $m=0$: bất phương trình trở thành $-x+1<0$, có nghiệm $x>1$, loại.
- Với $m\ne 0$: cần $m>0$ và $\Delta \le 0$ với $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m$.
$\Delta \le 0\iff 1-8m\le 0\iff m\ge \frac{1}{8}$ (thỏa mãn $m>0$).
Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $m\ge \frac{1}{8}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Giải các bất phương trình:

a) $2x^2-5x+2<0$. Xét $2x^2-5x+2=0$: $\Delta =25-16=9$, $x=\frac{5\pm 3}{4}$, tức $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=2$. Vì $a=2>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm: $\frac{1}{2}<x<2$. Tập nghiệm $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$.

b) $-2x^2+3x-7\ge 0\iff 2x^2-3x+7\le 0$. Xét $2x^2-3x+7$: $\Delta =9-56=-47<0$ và $a=2>0$ nên tam thức dương với mọi $x$. Bất phương trình vô nghiệm: $S=\varnothing$.

c) $3x^2-4x+4\ge 0$. $\Delta =16-48=-32<0$ và $a=3>0$ nên $3x^2-4x+4>0$ với mọi $x$. Bất phương trình luôn đúng: $S=\mathbb{R}$.

d) $(2x-7)(5-x)\ge 0\iff (2x-7)(x-5)\le 0$. Hai nghiệm $x=\frac{7}{2}$ và $x=5$, hệ số của $x$ trong tích là $-2<0$ nên tích $\le 0$ khi $x$ giữa hai nghiệm: $S=\left[\frac{7}{2};5\right]$.

e) $x^2-x-20-2(x-11)>0\iff x^2-x-20-2x+22>0\iff x^2-3x+2>0$. Xét $x^2-3x+2=0$: $x=1$ hoặc $x=2$. Vì $a=1>0$, tam thức dương ngoài hai nghiệm: $S=(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

f) $\frac{1}{x^2-x+1}<1$. Ta có $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x$ nên nhân hai vế với mẫu dương: $1<x^2-x+1\iff x^2-x>0\iff x(x-1)>0\iff x<0$ hoặc $x>1$. Tập nghiệm $S=(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
f(x) luôn cùng dấu với a với mọi x nghĩa là f(x) không có nghiệm thực (đồ thị parabol không cắt trục hoành), do đó phương trình ax²+bx+c=0 vô nghiệm, tức Δ = b²−4ac < 0. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $x^2-x-6$ có hai nghiệm $x=-3$ và $x=2$ (vì $x^2-x-6=(x+3)(x-2)$). Hệ số $a=1>0$ nên parabol hướng lên, do đó $x^2-x-6\le 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức $S=[-3;2]$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-4x+4=(x-2{)}^2>0$ với mọi $x\ne 2$; tại $x=2$ biểu thức bằng $0$ (không thỏa). Vậy $S=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $2x^2-3x-15\le 0$. Delta $=9+120=129$, hai nghiệm $x=\frac{3\pm \sqrt{129}}{4}$, tức $x_1\approx -2,09$ và $x_2\approx 3,59$. Vậy tập nghiệm là $\left[\frac{3-\sqrt{129}}{4};\frac{3+\sqrt{129}}{4}\right]$. Các số nguyên trong khoảng này: $-2,-1,0,1,2,3$ — tổng cộng 6 nghiệm nguyên. Đáp án A.

a. (2,0 điểm) Cho hàm số $y=x^2-4x+1$, có đồ thị (P) và đường thẳng $(d):y=x+7$, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (P).

- (0,5 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-4x+1=x+7\iff x^2-5x-6=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=6\end{array}$.

- (0,5 điểm). Với $x=-1$ thay vào (d) ta được $y=6$, ta có giao điểm $(-1;6)$.

- (0,5 điểm). Với $x=6$ thay vào (d) ta được $y=13$, ta có giao điểm $(6;13)$.

- (0,5 điểm). Vậy đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ là $(-1;6)$ và $(6;13)$.

b. (3,0 điểm). Tìm giá trị thực $m$ để bất phương trình $(m+1)x^2-2mx-m+3<0$ vô nghiệm.

- (0,5 điểm). Đặt $f(x)=(m+1)x^2-2mx-m+3$, để BPT (1) vô nghiệm $\iff f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.

- (0,5 điểm). Với $m=-1\Rightarrow f(x)=2x+4\ge 0\iff x\ge -2$ không thỏa mãn $\Rightarrow m=-1$ loại.

- (0,5 điểm). Với $m\ne -1$, $f(x)=0$, có ${\Delta }^{\prime }=2m^2-2m-3$.

- (0,5 điểm). Để $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}m+1>0\\ {\Delta }^{\prime }\le 0\end{array}$.

- (0,5 điểm). $\iff \{\begin{array}{l}m>-1\\ 2m^2-2m-3\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>-1\\ \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2}\end{array}\iff \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2}$.

- (0,5 điểm). Vậy $m\in \left[\frac{1-\sqrt{7}}{2};\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right]$ thì BPT (1) vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: Tìm số nguyên $x$ sao cho $(x+3)⋮(x^2+1)$.

Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, nếu $(x+3)⋮(x^2+1)$ thì $|x+3|\ge x^2+1$ (trừ trường hợp $x+3=0$).

Xét $x+3=0$, tức $x=-3$: khi đó $x+3=0$ chia hết cho mọi số khác 0, nên $x=-3$ thỏa mãn.

Với $x\ne -3$, cần $|x+3|\ge x^2+1$.
- Nếu $x\ge -3$: cần $x+3\ge x^2+1$, tức $x^2-x-2\le 0$, suy ra $-1\le x\le 2$. Kiểm tra: $x=-1$: $2⋮2$ ✓; $x=0$: $3⋮1$ ✓; $x=1$: $4⋮2$ ✓; $x=2$: $5⋮5$ ✓.
- Nếu $x<-3$: cần $-(x+3)\ge x^2+1$, tức $x^2+x+4\ge 0$ luôn đúng, nhưng phải kiểm tra chia hết trực tiếp. Với $x\le -4$ thì $x^2+1\ge 17>|x+3|=-(x+3)$, mà $x+3\ne 0$ nên không thể chia hết. Không có nghiệm nào.

Vậy tập nghiệm là $x\in \{-3;-1;0;1;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=-x^2-2x+3=-(x+3)(x-1)$ có hai nghiệm $x=-3$, $x=1$, đỉnh $I(-1;4)$, hệ số $a=-1<0$ nên parabol hướng xuống: $f(x)>0$ trên $(-3;1)$ và $f(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$.
a) Trên $(-3;1)$ thì $f(x)>0$, không phải $f(x)<0$ → SAI.
b) Trên $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$ thì $f(x)<0$, không phải $f(x)>0$ → SAI.
c) Trên $[-3;1]$ thì $f(x)\ge 0$ (bằng 0 tại hai đầu mút) → ĐÚNG.
d) Đỉnh parabol $I(-1;4)$, giao điểm với trục hoành $(-3;0)$ và $(1;0)$, đáy $=4$, chiều cao $=4$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt) → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-3;1)$ parabol nằm trên trục hoành nên $f(x)>0$, không phải $f(x)<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$ parabol nằm dưới trục hoành nên $f(x)<0$, không phải $f(x)>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $a=-1<0$ và hai nghiệm $-3,1$, ta có $f(x)\ge 0$ trên $[-3;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh $I(-1;4)$, chân $(-3;0)$ và $(1;0)$: $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ (đvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)$ âm trên $(1;5)$ và dương ngoài khoảng đó, với nghiệm $x=1$ và $x=5$. Vậy $f(x)=a(x-1)(x-5)$ với $a<0$. Xét đáp án A: $f(x)=-x^2+6x-5=-(x^2-6x+5)=-(x-1)(x-5)$, có nghiệm $1,5$ và $a=-1<0$, đúng bảng xét dấu. Đáp án B có $a=1>0$ (dương trong $(1;5)$), sai. Đáp án C có nghiệm $1$ và $-5$, sai. Đáp án D có nghiệm $-1$ và $6$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c$ luôn dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi $a>0$ và $\Delta <0$. A: $x^2-2x+1=(x-1{)}^2\ge 0$ nhưng bằng 0 tại $x=1$, không luôn dương. B: $x^2-8x+192$ có $a=1>0$, $\Delta =64-768=-704<0$ nên luôn dương. C: $x^2-3x+2$ có $\Delta =9-8=1>0$, có nghiệm. D: $-5x^2+2x-229$ có $a=-5<0$ nên không thể luôn dương. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+(m+1)x-2m+1\le 0\forall x\in \mathbb{R}$ đúng khi và chỉ khi parabol (hệ số $a=-1<0$) nằm dưới hoặc tiếp xúc trục hoành, tức phương trình $-x^2+(m+1)x-2m+1=0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép, nghĩa là $\Delta \le 0$.

Tính biệt thức: $\Delta =(m+1{)}^2-4(-1)(-2m+1)=m^2+2m+1-8m+4=m^2-6m+5$.

Yêu cầu $m^2-6m+5\le 0\iff (m-1)(m-5)\le 0\iff 1\le m\le 5$.

Các giá trị nguyên của $m$: $1,2,3,4,5$ — có 5 giá trị.