Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$ có $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$) và không có nghiệm phân biệt âm hơn 0, tức $\Delta =b^2-4ac\le 0$ (cho phép $\Delta =0$ vì khi đó $f(x)\ge 0$ vẫn đúng với mọi $x$, đẳng thức xảy ra tại nghiệm kép). Vậy điều kiện là $\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}$. Phương án B sai vì yêu cầu $\Delta <0$ là điều kiện đủ nhưng không cần (thiếu trường hợp $\Delta =0$).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2-mx-4$ có $a=-1<0$. Để $f(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, parabol phải nằm hoàn toàn dưới trục hoành, tức là $\Delta <0$. Ta có $\Delta =b^2-4ac=(-m{)}^2-4(-1)(-4)=m^2-16$. Điều kiện $\Delta <0\iff m^2<16\iff -4<m<4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Để không bị lỗ: doanh thu $170x\ge P=x^2+30x+3300$, tức $x^2-140x+3300\le 0$. Biệt thức $\Delta =140^2-4\cdot 3300=19600-13200=6400$, $\sqrt{\Delta }=80$. Nghiệm: $x=\frac{140\pm 80}{2}$, tức $x=30$ hoặc $x=110$. Vậy $30\le x\le 110$, do đó $a=30$, $b=110$ và $S=a+b=140$.

(AI giải đề cho tôi)
Không bị lỗ khi doanh thu ≥ chi phí: $1200Q\ge Q^2+300Q+200000$, tức $Q^2-900Q+200000\le 0$. Biệt thức $\Delta =900^2-4\cdot 200000=810000-800000=10000$, $\sqrt{\Delta }=100$. Nghiệm: $Q=\frac{900\pm 100}{2}$, tức $Q=400$ hoặc $Q=500$. Vậy $a=400$, $b=500$ và $S=a+b=900$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-3x+2\le 0$. Phương trình $x^2-3x+2=0$ có $\Delta =9-8=1$, nên $x=\frac{3\pm 1}{2}$, tức $x=1$ hoặc $x=2$. Vì parabol $y=x^2-3x+2$ hướng lên và cắt trục hoành tại $x=1,x=2$, nên $x^2-3x+2\le 0\iff 1\le x\le 2$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=[1;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-x^2-x+2\le 0\iff x^2+x-2\ge 0\iff (x-1)(x+2)\ge 0$. Tam thức $x^2+x-2$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=-2$, hệ số $a=1>0$ nên tam thức dương khi $x\le -2$ hoặc $x\ge 1$. Vậy tập nghiệm là $S=(-\infty ;-2]\cup [1;+\infty )$. Kiểm tra: $x=0$: $-0-0+2=2>0$ (không thỏa, đúng vì $0\notin S$); $x=2$: $-4-2+2=-4\le 0$ (thỏa); $x=-3$: $-9+3+2=-4\le 0$ (thỏa).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-2x+1=(x-1{)}^2\le 0$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, bất phương trình chỉ đúng khi $(x-1{)}^2=0$, tức $x=1$. Vậy tập nghiệm là $S=\{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2-4x+8$ với ${\Delta }^{\prime }=(-2{)}^2-1\cdot 8=4-8=-4<0$. Vì hệ số của $x^2$ là $1>0$ và ${\Delta }^{\prime }<0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Cách khác: $x^2-4x+8=(x-2{)}^2+4\ge 4>0$ với mọi $x$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5 (Tự luận): Giải bất phương trình $-x^2+5x-6<0$.

Nhân hai vế với $-1$ (đổi chiều bất đẳng thức): $-x^2+5x-6<0\iff x^2-5x+6>0$.

Xét phương trình $x^2-5x+6=0$. Có $\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x=\frac{5\pm 1}{2}$, tức $x=2$ hoặc $x=3$ (kiểm tra: $2+3=5$, $2\cdot 3=6$).

Tam thức $f(x)=x^2-5x+6$ có hệ số $a=1>0$ nên $f(x)>0$ khi $x$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$.

Kết quả này trùng với lời giải AI được cung cấp (phần sai lỗi văn bản không ảnh hưởng đến đáp án).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai $f(x)=x^2+4x-5$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=1$, $b=4$, $c=-5$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2+x+6$ có $a=-1,b=1,c=6$. a) $\Delta =b^2-4ac=1+24=25\ne 5$ nên sai. b) $f(1)=-1+1+6=6>0$ nên đúng. c) $\Delta =25>0$, nghiệm $x=\frac{-1\pm 5}{-2}$ tức $x_1=3,x_2=-2$; vì $a=-1<0$ nên $f(x)>0$ trên $(-2;3)$ và $f(x)<0$ ngoài khoảng đó, đúng như bảng xét dấu, nên đúng. d) $f(x)\ge 0⟺x\in [-2;3]$ (kể cả hai đầu mút), không phải $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$, nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =1^2-4(-1)(6)=25\ne 5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=-1+1+6=6>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=-2$ và $x=3$, hệ số $a=-1<0$ nên $f$ âm ngoài khoảng, dương trong khoảng $(-2;3)$, đúng như bảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\ge 0⟺x\in [-2;3]$, không phải $(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Quả bóng đạt độ cao trên 4 m khi $h(t)>4$ với $t\ge 0$.

$$-\frac{1}{2}{t}^2+10t+3>4\iff -\frac{1}{2}{t}^2+10t-1>0\iff t^2-20t+2<0$$

Tam thức có hai nghiệm $t=10\pm \sqrt{98}=10\pm 7\sqrt{2}$ (đều dương, thỏa mãn $t\ge 0$).

Vậy $h(t)>4$ khi $10-7\sqrt{2}<t<10+7\sqrt{2}$.

Khoảng thời gian quả bóng ở độ cao trên 4 m là:
$$\Delta t=(10+7\sqrt{2})-(10-7\sqrt{2})=14\sqrt{2}\approx 19,\mathrm{7989...}\approx 19,8\text{ (giaˆy)}$$

Vậy quả bóng đạt độ cao trên 4 m trong khoảng khoảng $19,8$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2+2x-48\le 0$. Phương trình $x^2+2x-48=0$ có nghiệm $x=-8$ và $x=6$ (vì $\Delta =4+192=196$, $\sqrt{\Delta }=14$). Vì hệ số $a=1>0$ nên bất phương trình nghiệm trên đoạn $-8\le x\le 6$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{-8,-7,\dots ,5,6\}$, gồm 15 số. Tổng của dãy số cách đều: $S=\frac{(-8+6)\cdot 15}{2}=\frac{-2\cdot 15}{2}=-15$. Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là $-15$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+2x-m+10$ có $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ cần và đủ $\Delta <0$: $\Delta =4-4(10-m)=4m-36<0\iff m<9$. Các giá trị nguyên dương của $m$ là $m\in \{1,2,\dots ,8\}$, tức có 8 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét các phương án: A có $f(x)=2x^2-3x+1$ với $a=2\ne 0$ nên là tam thức bậc hai. B có bậc cao nhất là 3 (bậc ba). C chỉ có bậc nhất. D chứa $\sqrt{x}$ nên không phải đa thức bậc hai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)>0$ trên khoảng $(2;3)$, còn $f(x)<0$ trên $(-\infty ;2)$ và $(3;+\infty )$. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $x^2-5x+6=0$. Ta có $\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$, nên tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{5\pm 1}{2}$, tức $x_1=2$, $x_2=3$. Kiểm tra: $2^2-5\cdot 2+6=0$ và $3^2-5\cdot 3+6=0$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Ở đây $a=m-2$, nên cần $m-2\ne 0$, tức $m\ne 2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2025}(x^2-2x+m-2024)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2x+m-2024>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tam thức bậc hai có hệ số $a=1>0$ nên điều kiện là $\Delta <0$: $\Delta =4-4(m-2024)<0\iff 1-m+2024<0\iff m>2025$. Giá trị nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn là $m=2026$. Kiểm tra: với $m=2026$, biểu thức $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1>0$ với mọi $x$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Biệt thức của $f(x)=3x^2-2x-15$ là $\Delta =b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot (-15)=4+180=184>0$. Vậy khẳng định đúng là $\Delta >0$, chọn D.