Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là: $170x$ (nghìn đồng).
Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là
$170x\ge x^2+30x+3300\iff x^2-140x+3300\le 0$.

(0,5 điểm)

Xét $x^2-140x+3300=0\Rightarrow x=30\vee x=110$.
Bảng xét dấu:



Ta có: $x^2-140x+3300\le 0\iff x\in [30;110]$.
Vậy nếu nhà sản xuất làm ra tối thiểu 30 và tối đa 110 sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.

(0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $2x^2-5x+3$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=\frac{3}{2}$ (vì $\Delta =25-24=1$). Hệ số $a=2>0$ nên tam thức âm hoặc bằng 0 khi và chỉ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức $1\le x\le \frac{3}{2}$. Vậy tập nghiệm là $S=\left[1;\frac{3}{2}\right]$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho $f(x)$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=2$, với dấu $+$ ngoài khoảng và $-$ giữa hai nghiệm, nên $f(x)$ là tam thức bậc hai với hệ số $a>0$ và $f(x)=a(x+1)(x-2)$. Trong các đáp án: $f(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ có $a=1>0$, hai nghiệm $-1$ và $2$, thỏa bảng xét dấu. Các phương án A, C có $a<0$ (dấu ngược lại), D có nghiệm $-1$ và $3$ nên không thỏa. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay số vào phương trình quỹ đạo: $\alpha =30^{\circ }$, $v_0=8$, $y_0=0,75$, $g=9,8$:
$$y=\frac{-9,8x^2}{2\cdot 64\cdot {\cos }^{2}30^{\circ }}+\tan 30^{\circ }x+0,75=\frac{-9,8x^2}{96}+\frac{x}{\sqrt{3}}+0,75.$$
Tầm bay xa là hoành độ điểm chạm đất ($y=0$):
$$\frac{9,8}{96}{x}^2-\frac{x}{\sqrt{3}}-0,75=0\Rightarrow 9,8x^2-\frac{96}{\sqrt{3}}x-72=0.$$
Với $\frac{96}{\sqrt{3}}\approx 55,4256$, giải phương trình bậc hai (lấy nghiệm dương):
$$x=\frac{55,4256+\sqrt{55,4256^2+4\cdot 9,8\cdot 72}}{2\cdot 9,8}=\frac{55,4256+\sqrt{5894,39}}{19,6}\approx \frac{55,4256+76,775}{19,6}\approx 6,7449.$$
Vậy tầm bay xa của quả cầu xấp xỉ $6,74$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x^2-(m+3)x+2$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ tức là $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vì hệ số $a=2>0$ nên parabol hướng lên; điều kiện cần và đủ là $f^{\prime }(x)=0$ vô nghiệm, tức $\Delta <0$ với $\Delta =(m+3{)}^2-16$. Suy ra $(m+3{)}^2<16⟺-4<m+3<4⟺-7<m<1$. Vậy $m\in (-7;1)$. Kiểm tra: với $m=0$, $f^{\prime }(x)=2x^2-3x+2$ có $\Delta =9-16=-7<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x$ — thỏa mãn; với $m=8$, $f^{\prime }(x)=2x^2-11x+2$ có hai nghiệm phân biệt nên không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x^2-(m+3)x+2$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi tam thức bậc hai $2x^2-(m+3)x+2$ dương với mọi $x$, tức là $a=2>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =(m+3{)}^2-16<0\iff -4<m+3<4\iff -7<m<1$. Vậy $m\in (-7;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log \left(x^2-4x-m-3\right)$ xác định khi và chỉ khi $x^2-4x-m-3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Xét tam thức $f(x)=x^2-4x-m-3$ với hệ số $a=1>0$. Để $f(x)>0$ với mọi $x$ thì phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm, tức biệt thức $\Delta <0$: $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-m-3)=16+4m+12=4m+28<0\Rightarrow m<-7$. Vậy $m\in (-\infty ;-7)$. Kiểm tra: với $m=-7$, $f(x)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ bằng $0$ tại $x=2$, hàm không xác định tại $x=2$, nên $m=-7$ không thỏa mãn; với $m<-7$ thì $\Delta <0$ và $f(x)>0$ với mọi $x$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đỉnh parabol: x = -b/(2a) = -2/(-2) = 1, y = -1 + 2 - 5 = -4 nên I(1; -4). Đúng.
b) g(x) = 2x² + 6x - 20 có hệ số a = 2 ≠ 0 nên là tam thức bậc hai. Đúng.
c) 2x² + 6x - 20 < 0 ⟺ x² + 3x - 10 < 0 ⟺ (x+5)(x-2) < 0 ⟺ -5 < x < 2. Tập nghiệm là (-5; 2), không phải (-2; 5). Sai.
d) Diện tích trồng rau: x² (m²), diện tích hồ: x(10 - x) (m²). Tổng chi phí: 50000x² + 250000x(10 - x) ≤ 6800000 ⟺ 5x² + 25x(10 - x) ≤ 680 ⟺ -20x² + 250x - 680 ≤ 0 ⟺ 2x² - 25x + 68 ≥ 0. Phương trình 2x² - 25x + 68 = 0 có nghiệm x = (25 ± 9)/4, tức x = 4 hoặc x = 8,5. Vậy điều kiện là x ∈ (0; 4] ∪ [8,5; 10), không phải dạng [a; b] với a + 2b = 21. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh: x = -2/(2·(-1)) = 1, y = -1 + 2 - 5 = -4, nên I(1; -4). Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(x) = 2x² + 6x - 20 có a = 2 ≠ 0 nên là tam thức bậc hai. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
2x² + 6x - 20 < 0 ⟺ (x+5)(x-2) < 0 ⟺ x ∈ (-5; 2), không phải (-2; 5). Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí: 50000x² + 250000x(10-x) ≤ 6800000 ⟺ 2x² - 25x + 68 ≥ 0 ⟺ x ∈ (0; 4] ∪ [8,5; 10), không phải [a; b] với a + 2b = 21. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)\le 0$ khi $x\le -1$ hoặc $x\ge 3$ (kèm hai nghiệm $x=-1,x=3$ vì dấu bằng được phép). Tập nghiệm: $(-\infty ;-1]\cup [3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-2(m+1012)x+m^2-2024m-2025$ là parabol hướng lên, có đỉnh tại $x=m+1012$.

Nếu $2025\le m+1012\le 2026$ (tức $1013\le m\le 1014$) thì giá trị nhỏ nhất trên đoạn là $f(m+1012)=m^2-2024m-2025-(m+1012{)}^2=-4048m-1026169<0$, không thỏa mãn.

Vậy đỉnh nằm ngoài đoạn $[2025;2026]$, khi đó chỉ cần kiểm tra hai đầu mút:

$f(2025)=2025^2-2(m+1012)\cdot 2025+m^2-2024m-2025=m^2-6074m=m(m-6074)$.

$f(2026)=2026^2-2(m+1012)\cdot 2026+m^2-2024m-2025=m^2-6076m+2027$.

Điều kiện $f(2025)\ge 0$: $m\le 0$ hoặc $m\ge 6074$.

Điều kiện $f(2026)\ge 0$: $m^2-6076m+2027\ge 0$. Phương trình $m^2-6076m+2027=0$ có $\Delta =6076^2-4\cdot 2027=36909668=4\cdot 9227417$, nên hai nghiệm $m_1=3038-\sqrt{9227417}\approx 0,336$ và $m_2=3038+\sqrt{9227417}\approx 6075,66$. Do đó $m\le m_1$ hoặc $m\ge m_2$.

Kết hợp: với $m\le 0$ thì $m+1012\le 1012<2025$, hàm số tăng trên đoạn, min tại $x=2025$, thỏa mãn; với $m\ge m_2$ thì $m+1012>2026$, hàm số giảm trên đoạn, min tại $x=2026$, thỏa mãn.

Vậy $m\le 0$ hoặc $m\ge 3038+\sqrt{9227417}$ (tức $m\in (-\infty ;0]\cup \left[3038+\sqrt{9227417};+\infty \right)$).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. A là nhị thức bậc nhất; B không phải đa thức; C rút gọn được $(x+1)(x-3)-x^2=x^2-2x-3-x^2=-2x-3$ (bậc nhất); D có $a=-3\ne 0$ nên là tam thức bậc hai.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2+2x+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi tam thức bậc hai $f(x)=x^2+2x+m$ không âm với mọi $x$. Vì hệ số $a=1>0$, điều kiện là $\Delta \le 0$: $\Delta =4-4m\le 0\iff m\ge 1$. Kiểm tra: với $m=1$, $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ge 0$ đúng với mọi $x$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $6x^2-x-2>0$. Phương trình $6x^2-x-2=0$ có nghiệm $x=\frac{1\pm \sqrt{1+48}}{12}=\frac{1\pm 7}{12}$, tức $x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{2}{3}$. Vì $a=6>0$, parabol hướng lên nên $6x^2-x-2>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>\frac{2}{3}$. Vậy $S=\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3x^2+2mx-2m-3$, parabol hướng lên nên trên khoảng $(-3;1)$ giá trị lớn nhất của $f$ đạt tại một trong hai đầu mút. Điều kiện $f(x)<0$ với mọi $x\in (-3;1)$ là $f(-3)\le 0$ và $f(1)\le 0$. Ta có $f(-3)=27-6m-2m-3=24-8m\le 0\Rightarrow m\ge 3$; $f(1)=3+2m-2m-3=0\le 0$ luôn đúng. Vậy $m\ge 3$, các giá trị nguyên $m\in (-10;10)$ là $3,4,5,6,7,8,9$: tổng cộng 7 giá trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí xe vàng: $s_V(t)=2t^2+t$; vị trí xe xanh: $s_X(t)=t^2+2t+30$. Xe vàng đuổi kịp khi $2t^2+t=t^2+2t+30\iff t^2-t-30=0\iff t=6$ (nhận) hoặc $t=-5$ (loại). Vậy xe vàng đuổi kịp ở giây thứ 6, không phải giây thứ 4 (C sai). Xét $s_V-s_X=t^2-t-30=(t-6)(t+5)$: với $t>6$ thì $s_V>s_X$, tức từ giây thứ 7 trở đi xe vàng luôn phía trước (D đúng). Với $4\le t<6$, $s_V<s_X$ nên B sai; A sai vì có đuổi kịp tại $t=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol hướng xuống cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=1$, đỉnh trên trục $Oy$. Với parabol hướng xuống, $f(x)>0$ khi và chỉ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm, tức $f(x)>0\iff x\in (-1;1)$. Vậy khẳng định A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) f(1)=1-(m-1)+m+2=4≥0 với mọi m nên x=1 là nghiệm của f(x)≥0 → Đúng. b) Phương trình f(x)=0 có nghiệm khi Δ=(m-1)²-4(m+2)=m²-6m-7=(m-7)(m+1)≥0 ⟺ m≤-1 hoặc m≥7 → Đúng. c) Với m=-2: f(x)=x²+3x, f(3)=18 nên √f(3)=√18=3√2≠2 → Sai. d) f(x)≥0 ∀x∈ℝ khi Δ≤0 ⟺ -1≤m≤7, có 9 giá trị nguyên m∈{-1,0,...,7} chứ không phải 8 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(1)=1-(m-1)+m+2=4≥0 với mọi m, nên x=1 là nghiệm của f(x)≥0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ=(m-1)²-4(m+2)=m²-6m-7=(m-7)(m+1)≥0 ⟺ m≤-1 hoặc m≥7, đúng như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với m=-2, f(x)=x²+3x; f(3)=18 nên √f(3)=3√2≠2, x=3 không phải nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(x)≥0 ∀x khi Δ≤0 ⟺ -1≤m≤7, có 9 giá trị nguyên (từ -1 đến 7), không phải 8.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=2x^2-7x-9$ có $a=2>0$. Nghiệm của $2x^2-7x-9=0$: $\Delta =49+72=121$, $x=\frac{7\pm 11}{4}$, tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{9}{2}$. Tam thức nhận giá trị âm khi $-1<x<\frac{9}{2}$. Các giá trị nguyên trong khoảng này: $0,1,2,3,4$ — có 5 giá trị. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-(m-1)x+m+2$.

a) $f(1)=1-(m-1)+m+2=4>0$, nên $x=1$ thỏa $f(x)\ge 0$ với mọi $m$. Đúng.

b) $f(x)=0$ có nghiệm $\iff \Delta =(m-1{)}^2-4(m+2)=m^2-6m-7\ge 0\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 7$. Điều kiện $m\ge 7$ chỉ là một phần, thiếu $m\le -1$. Sai.

c) Với $m=-2$: $f(x)=x^2+3x$. Phương trình $\sqrt{x^2+3x}=3x-5$ cần $3x-5\ge 0$. Bình phương: $x^2+3x=9x^2-30x+25\iff 8x^2-33x+25=0\iff x=1$ hoặc $x=\frac{25}{8}$. Với $x=1$: $3x-5=-2<0$ (loại); với $x=\frac{25}{8}$: thỏa mãn. Vậy chỉ có 1 nghiệm, không phải hai nghiệm phân biệt. Sai.

d) Mẫu $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x$, nên cần $f(x)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff \Delta =m^2-6m-7\le 0\iff -1\le m\le 7$. Các giá trị nguyên: $-1,0,1,2,3,4,5,6,7$ — có 9 giá trị, không phải 8. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=1-(m-1)+m+2=4>0$, nên $x=1$ là nghiệm của $f(x)\ge 0$ với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =m^2-6m-7\ge 0\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 7$; khẳng định thiếu nhánh $m\le -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-2$: $8x^2-33x+25=0$ cho $x=1$ (loại vì $3x-5<0$) và $x=25/8$ (thỏa). Chỉ có 1 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $\Delta \le 0\iff -1\le m\le 7$, có 9 giá trị nguyên, không phải 8.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là số khách ($n>50$). Giá vé mỗi người là $300000-5000(n-50)=550000-5000n$ (đồng). Doanh thu $f(n)=n(550000-5000n)$. Yêu cầu $f(n)\ge 15080000$, chia hai vế cho 5000: $n(110-n)\ge 3016$, tức $n^2-110n+3016\le 0$. Phương trình $n^2-110n+3016=0$ có $\Delta =110^2-4\cdot 3016=12100-12064=36$, nghiệm $n=\frac{110\pm 6}{2}$, tức $n=52$ hoặc $n=58$. Vậy $52\le n\le 58$, số khách ít nhất là $52$. Kiểm tra: với $n=52$, giá vé $=300000-5000\cdot 2=290000$, doanh thu $=52\cdot 290000=15080000$ đồng, đúng bằng chi phí nên công ty không lỗ.