Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol có bề lõm hướng xuống, cắt trục hoành tại hai điểm $x=1$ và $x=3$ (đỉnh tại $x=2$). Do đó $f(x)>0$ khi và chỉ khi $x\in (1;3)$. Vậy khẳng định đúng là A: $f(x)>0,\forall x\in (1;3)$. Các phương án B, C, D đều sai vì trên $(-\infty ;3)$ và $(1;+\infty )$ hàm số có cả giá trị dương lẫn âm, còn trên $(1;3)$ thì $f(x)>0$ chứ không phải $f(x)<0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2-5x+14$ có hai nghiệm $x=2$ và $x=-7$ (vì $-x^2-5x+14=0\iff x^2+5x-14=0\iff x=2$ hoặc $x=-7$). Vì hệ số $a=-1<0$ nên $f(x)<0\iff x<-7$ hoặc $x>2$. Với $x\in [-10;10]$, các giá trị nguyên thỏa mãn là: $x\in \{-10;-9;-8\}$ (3 giá trị) và $x\in \{3;4;5;6;7;8;9;10\}$ (8 giá trị). Tổng cộng $3+8=11$ giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 11).

(AI giải đề cho tôi)
Khi $\Delta <0$, tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ không có nghiệm thực nên $f(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ và luôn cùng dấu với hệ số $a$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)$ có dấu của $a$). Do đó phát biểu C đúng. A sai (trái dấu với C). B sai vì khi $\Delta >0$ tam thức đổi dấu hai lần ngoài hai nghiệm. D sai vì khi $\Delta =0$, $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$ nên tại $x=-\frac{b}{2a}$ ta có $f(x)=0$; tuy phát biểu D loại điểm $x=-\frac{b}{a}$ (không phải nghiệm kép) nhưng đây là đáp án chuẩn của đề là C. Đáp án khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2+x-2$ có $a=3>0$. Giải $3x^2+x-2=0$: $\Delta =1+24=25$, $x=\frac{-1\pm 5}{6}$, tức $x=-1$ hoặc $x=\frac{2}{3}$. Vì $a>0$, tam thức âm khi và chỉ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm: $x\in \left(-1;\frac{2}{3}\right)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2-5x+4\le 0$. Phương trình $x^2-5x+4=0$ có nghiệm $x=1$ và $x=4$ (vì $1+4=5$, $1\cdot 4=4$). Parabol hướng lên nên $f(x)\le 0$ khi $x\in [1;4]$. Điều này khớp với đồ thị: phần đồ thị nằm dưới trục hoành giữa hai giao điểm $x=1$ và $x=4$. Vậy tập nghiệm là $[1;4]$, trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 0112, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $x^2-5x+4\le 0$. Phương trình $x^2-5x+4=0$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=4$ (vì $1+4=5$, $1\cdot 4=4$). Parabol hướng lên nên $f(x)\le 0$ khi và chỉ khi $x\in [1;4]$. Điều này khớp với đồ thị: phần đồ thị nằm dưới hoặc trên trục hoành đúng trên đoạn từ $x=1$ đến $x=4$. Vậy tập nghiệm là $[1;4]$, trùng với đáp án A và đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng là $x$ (m), chiều dài là $x+10$ (m). Diện tích không nhỏ hơn $200m^2$ nên $x(x+10)\ge 200\iff x^2+10x-200\ge 0\iff (x-10)(x+20)\ge 0$. Vì $x>0$ nên $x\ge 10$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $x$ là $10$ (mét).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2-5x+4<0$ có nghiệm $x=1$ và $x=4$ (vì $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$), nên tập nghiệm là $1<x<4$. Trong các đáp án, chỉ có $x=2$ thuộc khoảng $(1;4)$: $2^2-5\cdot 2+4=-2<0$. Kiểm tra các phương án khác: $x=1$ cho $0<0$ sai; $x=0$ cho $4<0$ sai; $x=5$ cho $4<0$ sai. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2-2(m+3)x-4m+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol (có hệ số $a=1>0$) không cắt trục hoành, tức phương trình $x^2-2(m+3)x-4m+2=0$ vô nghiệm: ${\Delta }^{\prime }<0$ với ${\Delta }^{\prime }=(m+3{)}^2-(-4m+2)=m^2+6m+9+4m-2=m^2+10m+7$. Giải $m^2+10m+7<0$: $m\in \left(-5-3\sqrt{2};-5+3\sqrt{2}\right)\approx (-9,243;-0,757)$. Các giá trị nguyên của $m$: $m\in \{-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1\}$, gồm 9 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (9).

(AI giải đề cho tôi)
Cửa hàng không bị lỗ khi $F(x)\ge 0$, tức $-x^2+125x-3150\ge 0\iff x^2-125x+3150\le 0$. Phương trình $x^2-125x+3150=0$ có $\Delta =125^2-4\cdot 3150=15625-12600=3025=55^2$, nên hai nghiệm $x=\frac{125-55}{2}=35$ và $x=\frac{125+55}{2}=90$. Vậy đoạn cần tìm là $[a;b]=[35;90]$, suy ra $a+b=35+90=125$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (125).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2+3x-4>0$. Phân tích: $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$. Hai nghiệm của tam thức là $x=1$ và $x=-4$, hệ số $a=1>0$ nên tam thức dương khi $x<-4$ hoặc $x>1$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$, trùng với đáp án D (khớp đáp án nguồn mã đề 1002, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=2$, âm ngoài khoảng $(1;2)$ và dương trong khoảng $(1;2)$, nên hệ số $a<0$ và $f(x)=a(x-1)(x-2)$. Với $a=-1$: $f(x)=-(x-1)(x-2)=-x^2+3x-2$. Kiểm tra: $f(0)=-2<0$, $f(1,5)=2,25-4,5+2=-0,25$... thực tế $f(1,5)=-2,25+4,5-2=0,25>0$, $f(3)=-9+9-2=-2<0$, khớp bảng xét dấu. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $2x^2-5x+2<0$. Tam thức có hai nghiệm: $2x^2-5x+2=0\iff x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=2$ (vì $\Delta =25-16=9$). Vì hệ số $a=2>0$ nên tam thức âm giữa hai nghiệm, do đó nghiệm của bất phương trình là $\frac{1}{2}<x<2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^2-2(m+2)x-5m+9$ là tam thức bậc hai với hệ số $a=1>0$. Để $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ thì điều kiện cần và đủ là $\Delta <0$.

$\Delta =4(m+2{)}^2-4(-5m+9)=4\left[(m+2{)}^2+5m-9\right]=4(m^2+9m-5)$.

$\Delta <0\iff m^2+9m-5<0\iff \frac{-9-\sqrt{101}}{2}<m<\frac{-9+\sqrt{101}}{2}$.

Vì $\sqrt{101}\approx 10,05$ nên $m\in (-9,52;0,52)$. Các giá trị nguyên của $m$: $-9,-8,\dots ,0$, tức là 10 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (10).

(AI giải đề cho tôi)
Cửa hàng không bị lỗ khi $F(x)\ge 0$, tức $-x^2+135x-3800\ge 0\iff x^2-135x+3800\le 0$. Xét phương trình $x^2-135x+3800=0$ có $\Delta =135^2-4\cdot 3800=18225-15200=3025=55^2$, nên hai nghiệm là $x=\frac{135-55}{2}=40$ và $x=\frac{135+55}{2}=95$. Vậy đoạn cần tìm là $[a,b]=[40;95]$, suy ra $b-a=95-40=55$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (55).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-x^2+5x-6>0\iff x^2-5x+6<0\iff (x-2)(x-3)<0\iff 2<x<3$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm $x=-2$ và $x=3$, âm ngoài khoảng nghiệm và dương trong khoảng $(-2;3)$, nên hệ số $a<0$. Khi đó $f(x)=a(x+2)(x-3)$ với $a<0$, chọn $a=-1$: $f(x)=-(x+2)(x-3)=-x^2+x+6$. Kiểm tra: $f(0)=6>0$ (dùng trong $(-2;3)$), $f(4)=-16+4+6=-6<0$, phù hợp bảng. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+2x-5>0$. Giải $3x^2+2x-5=0$: $\Delta =4+60=64$, $x=\frac{-2\pm 8}{6}$, được $x=1$ và $x=-\frac{5}{3}$. Vì hệ số $a=3>0$, tam thức dương khi $x<-\frac{5}{3}$ hoặc $x>1$. Vậy tập nghiệm là $\left(-\infty ;-\frac{5}{3}\right)\cup (1;+\infty )$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 1001, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số khách ($x>80$). Giá vé mỗi người là $500000-5000(x-80)=900000-5000x$ (đồng). Doanh thu: $x(900000-5000x)$. Công ty không lỗ khi $x(900000-5000x)\ge 40480000$, tức $5000x^2-900000x+40480000\le 0\iff x^2-180x+8096\le 0$. Phân biệt $\Delta =180^2-4\cdot 8096=32400-32384=16$, nghiệm $x=\frac{180\pm 4}{2}=88$ hoặc $92$. Vậy $88\le x\le 92$, số khách nhiều nhất là $92$. Kiểm tra: $92\cdot (900000-460000)=92\cdot 440000=40480000$ đồng, đúng bằng chi phí.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)>0$ khi $x<-\frac{4}{3}$ hoặc $x>2$; $f(x)=0$ tại $x=-\frac{4}{3}$ và $x=2$; $f(x)<0$ khi $x\in \left(-\frac{4}{3};2\right)$. Xét các phương án: A sai vì $f(x)>0$ chỉ khi $x\in \left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)\cup (2;+\infty )$ (khoảng mở, không gồm hai nghiệm); B sai vì trên $\left(-\frac{4}{3};2\right)$ thì $f(x)<0$; C sai vì $f(x)\le 0$ khi $x\in \left[-\frac{4}{3};2\right]$; D đúng vì $f(x)<0$ trên $\left(-\frac{4}{3};2\right)$.