Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Lưới có 4 ô ngang và 4 ô dọc, nên mỗi đường từ $A(0,0)$ đến $B(4,4)$ gồm 4 bước sang phải và 4 bước đi lên, tổng số đường là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$. Điểm $C$ nằm tại nút $(3;1)$. Số đường đi qua $C$: từ $A$ đến $C$ cần 3 bước phải, 1 bước lên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$; từ $C$ đến $B$ cần 1 bước phải, 3 bước lên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$. Vậy số đường qua $C$ là $4\times 4=16$. Số cách thỏ đi đến $B$ mà không qua $C$ là $70-16=54$. Lưu ý: nếu vị trí $C$ được hiểu khác theo hình thì kết quả thay đổi, nhưng theo hình $C$ là nút giao thứ tư từ trái, hàng thứ nhất từ dưới lên, nên đáp số là 54.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau từ P={0;1;2;3;4;5;6}: chữ số đầu có 7 cách (khác 0 không bắt buộc vì 0 thuộc P nhưng chữ số hàng nghìn không được là 0, nên có 6 cách), thực ra: hàng nghìn có 6 cách (khác 0), hàng trăm có 6 cách, hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách. Vậy |S| = 6·6·5·4 = 720.

b) Số chia hết cho 2 có chữ số cuối thuộc {0;2;4;6}.
- Chữ số cuối là 0: hàng nghìn có 6 cách, hàng trăm 5 cách, hàng chục 4 cách → 120 số.
- Chữ số cuối là 2, 4 hoặc 6 (3 cách): hàng nghìn có 5 cách (khác 0 và khác chữ số cuối), hàng trăm 5 cách, hàng chục 4 cách → 3·5·5·4 = 300 số.
Tổng số chia hết cho 2: 120 + 300 = 420.
Xác suất = 420/720 = 7/12.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 nam và 3 nữ (cá nhân phân biệt) vào ghế dài.
a) Xếp ngẫu nhiên 7 người: 7! = 5040 cách → đúng.
b) Nếu mỗi nhóm giới ngồi liền nhau: coi nhóm nam là 1 khối, nhóm nữ là 1 khối, có 2!·4!·3! = 2·24·6 = 288 cách, không phải 240 → sai.
c) Xen kẽ: với 4 nam, 3 nữ, dãy phải dạng N N N N N N N (nữ nằm giữa các nam). Xếp nam: 4! = 24; chọn và xếp nữ vào 3 trong 4 khoảng trống giữa các nam: A(4,3) = 24. Tổng 24·24 = 576 cách, không phải 288 → sai. (Lưu ý: nếu hiểu xen kẽ tối đa tức nữ chỉ ngồi giữa nam thì 4!·3! = 144, cũng khác 288.)
d) Nữ không ngồi cạnh nhau: xếp 4 nam trước: 4! = 24; có 5 khoảng trống, chọn 3 chỗ cho nữ: A(5,3) = 60. Tổng 24·60 = 1440 cách, không phải 3600 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
7! = 5040 cách xếp 7 người phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi giới liền nhau: 2!·4!·3! = 288 cách, không phải 240.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xen kẽ: 4!·A(4,3) = 24·24 = 576 cách (hoặc 4!·3! = 144 nếu chỉ dãy N N N N N N N), đều khác 288.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nữ không cạnh nhau: 4!·A(5,3) = 24·60 = 1440 cách, không phải 3600.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 16 số thành 3 nhóm theo số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 gồm {3;6;9;12;15} có 5 thẻ; nhóm dư 1 gồm {1;4;7;10;13;16} có 6 thẻ; nhóm dư 2 gồm {2;5;8;11;14} có 5 thẻ. Tổng 3 số chia hết cho 3 khi hoặc cả 3 thẻ cùng nhóm, hoặc mỗi nhóm lấy đúng 1 thẻ. Trường hợp 1: $C_5^3+C_6^3+C_5^3=10+20+10=40$. Trường hợp 2: $5\cdot 6\cdot 5=150$. Tổng: $40+150=190$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Cho tập $S=\{0;1;2;3;4;5;6\}$ (7 chữ số).

**a.** Số tự nhiên có 4 chữ số: chữ số đầu tiên có 6 cách (khác 0), ba chữ số sau mỗi chữ có 7 cách. Vậy số các số là $6\cdot 7\cdot 7\cdot 7=6\cdot 343=2058$.

**b.** Số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chẵn, xét chữ số tận cùng:
- Chữ số tận cùng là $0$: chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ số còn lại, có $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$ số.
- Chữ số tận cùng là $2,4$ hoặc $6$ (3 cách): chữ số đầu có 5 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng), chữ số thứ hai có 5 cách, chữ số thứ ba có 4 cách, nên có $3\cdot 5\cdot 5\cdot 4=300$ số.

Tổng: $120+300=420$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Xem hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau như một khối. Khối này có thể ở một trong 4 vị trí (vị trí các chữ số 1-2, 2-3, 3-4, 4-5). Với mỗi vị trí khối, chọn 3 chữ số từ 8 chữ số còn lại (0,3,4,5,6,7,8,9) và sắp xếp: $A_8^3=336$ cách; hai chữ số trong khối có thể đổi chỗ cho nhau: 2 cách. Tổng: $4\cdot A_8^3\cdot 2=4\cdot 336\cdot 2=2688$. Vậy có 2688 số thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 khối sách (toán, lý, hoá) cạnh nhau: có $3!=6$ cách xếp thứ tự các khối. Trong khối toán: $4!=24$ cách; khối lý: $3!=6$ cách; khối hoá: $2!=2$ cách. Tổng: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 2=1728$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Lớp có 18 nam và 12 nữ.
a) Chọn 3 học sinh có duy nhất một bạn nữ: chọn 1 nữ trong 12 bạn và chọn 2 nam trong 18 bạn. Số cách là $C_{12}^1\cdot C_{18}^2=12\cdot \frac{18\cdot 17}{2}=12\cdot 153=1836$ cách.
b) Chọn 3 học sinh làm ban cán sự gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể mĩ: đây là chọn và sắp xếp 3 người từ 30 học sinh (các chức vụ khác nhau nên thứ tự quan trọng). Số cách là $A_{30}^3=30\cdot 29\cdot 28=24360$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $10\times 3=30$ học sinh. Nếu mọi cặp học sinh đều bắt tay nhau thì số lần bắt tay là $C_{30}^2=\frac{30\cdot 29}{2}=435$. Tuy nhiên, hai học sinh cùng lớp không bắt tay nhau, mỗi lớp có $C_3^2=3$ cặp như vậy, và có 10 lớp nên trừ đi $10\times 3=30$ cặp. Vậy số lần bắt tay là $435-30=405$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu là chọn 3 thẻ từ 10 thẻ: $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$. Biến cố $A$: tổng của 3 thẻ không vượt quá 8, tức tổng bằng 6, 7 hoặc 8 (tổng nhỏ nhất là $1+2+3=6$).
- Tổng bằng 6: chỉ có bộ $\{1,2,3\}$ → 1 bộ.
- Tổng bằng 7: chỉ có bộ $\{1,2,4\}$ → 1 bộ.
- Tổng bằng 8: các bộ $\{1,2,5\}$, $\{1,3,4\}$ → 2 bộ.
Vậy số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=1+1+2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ít nhất 5 chữ số từ 6 chữ số {0,1,2,3,4,5} nên chỉ có thể có 5 hoặc 6 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, số chẵn nên chữ số tận cùng là 0, 2 hoặc 4.

Số có 5 chữ số:
- Tận cùng 0: 5 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí đầu: $A_5^4=120$.
- Tận cùng 2 hoặc 4 (2 cách): chữ số đầu khác 0 nên có 4 cách, 3 vị trí giữa chọn từ 4 chữ số còn lại: $4\cdot A_4^3=96$ mỗi trường hợp, tổng $2\cdot 96=192$.
Tổng số 5 chữ số: $120+192=312$.

Số có 6 chữ số (dùng đủ 6 chữ số):
- Tận cùng 0: $5!=120$.
- Tận cùng 2 hoặc 4: chữ số đầu khác 0: $4\cdot 4!=96$ mỗi trường hợp, tổng $192$.
Tổng số 6 chữ số: $120+192=312$.

Vậy tổng cộng: $312+312=624$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 3 chữ số từ các chữ số 0;1;2;3;4;5. Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0, chọn hàng trăm và hàng chục từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot 4=20$ số. Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2 hoặc 4 (2 cách), hàng trăm không được là 0 nên còn 4 cách, hàng chục còn 4 cách: $2\cdot 4\cdot 4=32$ số. Tổng: $20+32=52$ số. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có ba chữ số khác nhau từ 1;2;3;4: $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$ → đúng.
b) Số lẻ có ba chữ số khác nhau từ 0;1;2;3;4;5: chữ số cuối thuộc $\{1;3;5\}$ (3 cách), chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối (4 cách), chữ số giữa (4 cách) → $3\cdot 4\cdot 4=48\ne 40$ → sai.
c) Số có ba chữ số chia hết cho 5 từ các chữ số 0..8 (cho phép lặp): tận cùng 0: $8\cdot 9=72$; tận cùng 5: $8\cdot 9=72$; tổng $144$ → đúng.
d) Số chẵn bốn chữ số từ 0..6: nếu các chữ số khác nhau: tận cùng 0: $A_6^3=120$; tận cùng 2;4;6: $5\cdot A_5^2=100$ mỗi trường hợp, tổng $120+300=420$. Nếu cho phép lặp: tận cùng 0: $6^3=216$; tận cùng 2;4;6: $5\cdot 6\cdot 6=180$ mỗi trường hợp, tổng $216+540=756$. Cả hai cách hiểu đều không cho 1170 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^3=24$ số, mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $3\cdot 4\cdot 4=48$, không phải 40.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0 hoặc 5, mỗi trường hợp $8\cdot 9=72$, tổng 144, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn bốn chữ số từ 0..6 là 420 (khác nhau) hoặc 756 (cho phép lặp), không phải 1170.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $4+3+3=10$ quyển sách đôi một khác nhau xếp trên một hàng ngang.
a) Xếp tùy ý: $10!=3628800$ cách → mệnh đề ĐÚNG.
b) Coi 3 sách Hóa là một khối: xếp khối này cùng 7 quyển còn lại là $8!$ cách, trong khối xếp $3!$ cách. Tổng: $8!\cdot 3!=40320\cdot 6=241920$ cách, không phải 6 → mệnh đề SAI.
c) Xếp 3 khối bộ môn: $3!$ cách; trong khối Toán $4!$, khối Lí $3!$, khối Hóa $3!$ cách. Tổng: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 3!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 6=5184$ cách → mệnh đề ĐÚNG.
d) Chọn và xếp 2 trong 4 sách Toán vào hai đầu giá sách: $A_4^2=12$ cách; xếp 8 quyển còn lại vào 8 vị trí giữa: $8!=40320$ cách. Tổng: $12\cdot 40320=483840$ cách, không phải $80640$ (số $2\cdot 8!=80640$ chỉ đúng khi hai quyển Toán ở hai đầu được chỉ định trước, bỏ qua việc chọn từ 4 sách Toán) → mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$10!=3628800$ cách xếp tùy ý 10 quyển sách khác nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$8!\cdot 3!=241920$ cách, không phải 6 (số 6 chỉ là $3!$ cách xếp trong khối Hóa).
c) (AI giải đề cho tôi)
$3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 3!=5184$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^2\cdot 8!=12\cdot 40320=483840$ cách, không phải $80640$.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 2 nên chữ số cuối phải chẵn: chỉ có 2 lựa chọn (2 hoặc 4). Ba vị trí còn lại... thực tế có 5 chữ số đôi một khác nhau: chọn chữ số cuối (2 cách), sau đó xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí: $4!=24$ cách. Tổng: $2\cdot 4!=48$ số. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bao hàm - loại trừ. Tổng số cách chọn 6 từ 15: $C_{15}^6=5005$. Loại trường hợp khối 12 không có: $C_9^6=84$; khối 11 không có: $C_{11}^6=462$; khối 10 không có: $C_{10}^6=210$. Cộng lại các trường hợp trùng: chỉ chọn từ khối 12 (thiếu cả khối 11 và 10): $C_6^6=1$; từ khối 11: $C_4^6=0$; từ khối 10: $C_5^6=0$. Vậy số cách là $5005-(84+462+210)+1=4250$.

(AI giải đề cho tôi)
Có 10 cách chọn người đàn ông, với mỗi lựa chọn có 9 người đàn bà không phải vợ của anh ta. Tổng: $10\times 9=90$ cách. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đoàn 3 người phải có đủ cả hai môn Toán và Vật lý, đồng thời có cả nam và nữ. Vật lý chỉ có nam nên xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: 2 giáo viên Toán + 1 giáo viên Vật lý. Để có nữ trong đoàn, trong 2 giáo viên Toán phải có ít nhất một nữ: chọn 1 nữ Toán và 1 nam Toán: $C_3^1{C}_5^1=15$ cách; chọn 1 giáo viên Vật lý nam: $C_4^1=4$ cách. Số cách: $15\times 4=60$.
- Trường hợp 2: 1 giáo viên Toán + 2 giáo viên Vật lý. Vì 2 giáo viên Vật lý đều nam nên giáo viên Toán phải là nữ: $C_3^1=3$ cách; chọn 2 giáo viên Vật lý: $C_4^2=6$ cách. Số cách: $3\times 6=18$.
Tổng số cách: $60+18=78$.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số mật khẩu khả dĩ: các số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000 (tức chữ số đầu từ 1 đến 5, chữ số cuối lẻ).

Trường hợp 1: chữ số đầu lẻ (1, 3, 5): có 3 cách chọn; chữ số cuối lẻ khác chữ số đầu: 4 cách; 4 chữ số giữa chọn từ 8 chữ số còn lại và sắp xếp: $A_8^4=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ cách. Số số: $3\cdot 4\cdot 1680=20160$.

Trường hợp 2: chữ số đầu chẵn (2, 4): có 2 cách; chữ số cuối lẻ: 5 cách; 4 chữ số giữa: $A_8^4=1680$ cách. Số số: $2\cdot 5\cdot 1680=16800$.

Tổng số mật khẩu khả dĩ: $20160+16800=36960$.

Vì An bấm ngẫu nhiên một số thỏa mãn điều kiện và chỉ có đúng 1 mật khẩu, xác suất nhập đúng là $P=\frac{1}{36960}\approx 0,000027$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 13 học sinh là $C_{13}^3=286$. Số cách chọn không có nam nào (cả 3 đều nữ) là $C_7^3=35$. Vậy số cách chọn có ít nhất một học sinh nam là $286-35=251$. Đáp án D.