Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $n=0+6+8+14+12=40$. Lấy giá trị đại diện các nhóm: $5,5;6,5;7,5;8,5;9,5$.

a) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{6\cdot 6,5+8\cdot 7,5+14\cdot 8,5+12\cdot 9,5}{40}=\frac{39+60+119+114}{40}=\frac{332}{40}=8,3\ne 8,5$ → Sai.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (dùng giá trị đại diện) là $9,5-5,5=4\ne 5$ → Sai.

c) Số học sinh đạt từ 8 điểm trở lên: $14+12=26\ne 34$ → Sai.

d) $\sum f_i{x}_i^2=6\cdot 42,25+8\cdot 56,25+14\cdot 72,25+12\cdot 90,25=253,5+450+1011,5+1083=2798$. Phương sai $s^2=\frac{2798}{40}-(8,3{)}^2=69,95-68,89=1,06\approx 1,1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình $\bar{x}=332/40=8,3\ne 8,5$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm (giá trị đại diện) là $9,5-5,5=4\ne 5$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh đạt từ 8 điểm trở lên là $14+12=26\ne 34$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{2798}{40}-8,3^2=1,06\approx 1,1$, nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Lưu ý: các tần số 7, 6, 19, 23, 10 có tổng là $n=65$ (đề nói '60 khách hàng' là lỗi đánh máy của nguồn, cách tính chuẩn với mẫu số liệu ghép nhóm dùng tổng tần số). Giá trị đại diện các nhóm: $x_1=45,x_2=55,x_3=65,x_4=75,x_5=85$.

Số trung bình mẫu: $\bar{x}=\frac{7\cdot 45+6\cdot 55+19\cdot 65+23\cdot 75+10\cdot 85}{65}=\frac{4455}{65}\approx 68,5385$.

Tổng bình phương: $\sum f_i{x}_i^2=7\cdot 2025+6\cdot 3025+19\cdot 4225+23\cdot 5625+10\cdot 7225=14175+18150+80275+129375+72250=314225$.

Phương sai mẫu: $s_x^2=\frac{314225}{65}-{\left(\frac{4455}{65}\right)}^2\approx 4834,2308-4697,5207=136,71$.

Độ lệch chuẩn: $s_x=\sqrt{136,71}\approx 11,69$.

Vậy đáp án A đúng ($s_x=11,69$); phương sai $136,71$ ở phương án D là giá trị $s_x^2$, không phải độ lệch chuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=8+16+11+8+2=45$. Dùng giá trị đại diện các nhóm $5,5;6,5;7,5;8,5;9,5$.

a) Sai. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{8\cdot 5,5+16\cdot 6,5+11\cdot 7,5+8\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{45}=\frac{317,5}{45}\approx 7,06\ne 7,27$.

b) Đúng. Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=10-5=5$.

c) Sai. Số học sinh đạt từ 7 điểm trở lên là $11+8+2=21$, không phải 20.

d) Sai. $\sum n_i{x}_i^2=8\cdot 30,25+16\cdot 42,25+11\cdot 56,25+8\cdot 72,25+2\cdot 90,25=2295,25$, nên $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{n}\approx 51,0056$ và $s^2\approx 51,0056-7,0556^2\approx 1,23\ne 1,11$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình $\bar{x}=317,5/45\approx 7,06$, không phải 7,27.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=10-5=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh đạt từ 7 điểm trở lên là $11+8+2=21$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai $s^2\approx 51,0056-7,0556^2\approx 1,23$, không phải 1,11.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=152,5;x_2=157,5;x_3=162,5;x_4=167,5;x_5=172,5;x_6=177,5$ với tần số $1;4;10;9;4;2$, cỡ mẫu $n=30$.

Số trung bình mẫu:
$$\bar{x}=\frac{152,5\cdot 1+157,5\cdot 4+162,5\cdot 10+167,5\cdot 9+172,5\cdot 4+177,5\cdot 2}{30}=\frac{4960}{30}\approx 165,333.$$

Phương sai mẫu:
$$s^2=\frac{1}{30}\sum n_i(x_i-\bar{x}{)}^2$$
$$=\frac{1}{30}\left[1(-12,833{)}^2+4(-7,833{)}^2+10(-2,833{)}^2+9(2,167{)}^2+4(7,167{)}^2+2(12,167{)}^2\right]$$
$$\approx \frac{1034,17}{30}\approx 34,47\approx 34,5.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 34,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=35$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{35}{4}=8,75$ thuộc nhóm $[45;50)$ nên $Q_1=45+\frac{8,75-4}{8}\cdot 5=47,96875$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 35}{4}=26,25$ thuộc nhóm $[55;60)$ (tần số tích lũy đến 55 là 25) nên $Q_3=55+\frac{26,25-25}{6}\cdot 5\approx 56,0417$. Khoảng tứ phân vị $Q_3-Q_1\approx 8,07$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+12+23+31+29=100$. Tần số tích lũy: $5;17;40;71;100$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=25$ thuộc nhóm $[40;60)$ (vì $17<25\le 40$):
$$Q_1=40+\frac{20(25-17)}{23}=40+\frac{160}{23}\approx 46,9565.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[80;100)$ (vì $71<75\le 100$):
$$Q_3=80+\frac{20(75-71)}{29}=80+\frac{80}{29}\approx 82,7586.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 82,7586-46,9565=35,8021\approx 35,8.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn $35,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+12+23+31+29=100$. Nhóm chứa tứ phân vị: vị trí $\frac{n}{4}=25$; tần số tích lũy: $5;17;40;71;100$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[40;60)$: $Q_1=40+\frac{25-17}{23}\cdot 20=\frac{1080}{23}\approx 46,96$. Vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[80;100)$ (vì $71<75\le 100$): $Q_3=80+\frac{75-71}{29}\cdot 20=\frac{2400}{29}\approx 82,76$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 82,76-46,96=35,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu giữa hai đầu mút của mẫu số liệu. Giá trị nhỏ nhất thuộc nhóm đầu tiên $[90;120)$ nên $x_{\min }=90$; giá trị lớn nhất thuộc nhóm cuối cùng $[210;240)$ nên $x_{\max }=240$. Khoảng biến thiên: $R=x_{\max }-x_{\min }=240-90=150$ (phút). Vậy thời gian sử dụng mạng xã hội hằng ngày của các nhân viên được điều tra chênh lệch nhau nhiều nhất là $150$ phút, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=24+62+34+21+9=150$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=37,5$ nằm trong nhóm $[250;300)$ (lũy tích $24$, $86$), nên $Q_1=250+\frac{50(37,5-24)}{62}=250+\frac{675}{62}\approx 260,89$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=112,5$ nằm trong nhóm $[300;350)$ (lũy tích $86$, $120$), nên $Q_3=300+\frac{50(112,5-86)}{34}=300+\frac{1325}{34}\approx 338,97$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 338,97-260,89=78,08\approx 78,1$ (triệu đồng), khớp với đáp án nguồn 78.1.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+10+16+8+2+2=40$. Tần số tích lũy: $2;12;28;36;38;40$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=10$, thuộc nhóm $[40;50)$ (tần số tích lũy trước là 2, tần số nhóm là 10):
$$Q_1=40+\frac{10\left(10-2\right)}{10}=48.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=30$, vì tần số tích lũy đến nhóm $[50;60)$ là $28<30$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[60;70)$ (tần số tích lũy trước là 28, tần số nhóm là 8):
$$Q_3=60+\frac{10\left(30-28\right)}{8}=\mathrm{62.5.}$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=62.5-48=14.5\text{ (phuˊt)}.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn 14.5.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 5; 17; 42; 86; 100 (n=100). Tứ phân vị thứ nhất: vị trí 25 nằm trong nhóm [8,8; 9,0): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí 75 nằm trong nhóm [9,0; 9,2): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,3$. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=20-0=20$ (phút). Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 2025, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh: $n=3+5+5+25+2=40$. Giá trị đại diện các nhóm: $1;3;5;7;9$.
a) $\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$ → Đúng.
b) $\frac{\sum n_i{x}_i^2}{n}=\frac{3\cdot 1^2+5\cdot 3^2+5\cdot 5^2+25\cdot 7^2+2\cdot 9^2}{40}=\frac{3+45+125+1225+162}{40}=\frac{1560}{40}=39$; $s^2=39-5,9^2=4,19$, $s=\sqrt{4,19}\approx 2,05<2,13$ nên lớp 12A ít phân tán hơn lớp 12B → Đúng.
c) Giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$; $25$ là tần số của nhóm → Sai.
d) $s=\sqrt{4,19}\approx 2,05\ne 2,04$ → Sai. (Lưu ý: $\sum n_i{x}_i^2=1560$, không phải $1563$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{236}{40}=5,9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{\sum n_i{x}_i^2}{n}=\frac{1560}{40}=39$, $s^2=39-5,9^2=4,19$, $s\approx 2,05<2,13$ nên 12A ít phân tán hơn 12B.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$; $25$ là tần số của nhóm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{4,19}\approx 2,05$, không phải $2,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [2;4): 12, [4;6): 20, [6;8): 37, [8;10): 21, [10;12): 10, nên $n=100$. Tần số tích lũy: 12, 32, 69, 90, 100. $Q_1$: vị trí 25 thuộc nhóm [4;6): $Q_1=4+\frac{2(25-12)}{20}=5,3$. $Q_3$: vị trí 75 thuộc nhóm [8;10): $Q_3=8+\frac{2(75-69)}{21}=8+\frac{12}{21}\approx 8,5714$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 3,27$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 3,27.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: 20,5; 23,5; 26,5; 29,5; 32,5; 35,5 với $n=55$. Tổng: $\sum x_i{n}_i=5(20,5)+7(23,5)+8(26,5)+16(29,5)+12(32,5)+7(35,5)=1589,5$, nên $\bar{x}=1589,5/55=28,9$. Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=5(420,25)+7(552,25)+8(702,25)+16(870,25)+12(1056,25)+7(1260,25)=47005,75$. Phương sai $s^2=\frac{47005,75}{55}-28,9^2=854,65-835,21=19,44\approx 19,4$, nằm trong khoảng $(19;20)$. Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 3, 5, 5, 25, 2 nên $n=40$. Giá trị đại diện các nhóm: 1, 3, 5, 7, 9.

d) Trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 1+5\cdot 3+5\cdot 5+25\cdot 7+2\cdot 9}{40}=\frac{3+15+25+175+18}{40}=\frac{236}{40}=5,9$. Đúng.

a) $\sum n_i{x}_i^2=3\cdot 1+5\cdot 9+5\cdot 25+25\cdot 49+2\cdot 81=3+45+125+1225+162=1560$. Phương sai $s^2=\frac{1560}{40}-(5,9{)}^2=39-34,81=4,19$, nên $s=\sqrt{4,19}\approx 2,05\ne 2,04$. Sai.

b) Giá trị đại diện của nhóm $[6;8)$ là $\frac{6+8}{2}=7$, không phải 25 (25 là tần số của nhóm). Sai.

c) Độ lệch chuẩn lớp 12A $\approx 2,05<2,13$ (lớp 12B) nên điểm của 12A ít phân tán hơn 12B. Đúng.

Đối chiếu đáp án chính thức (mã đề 1025, cột 4a–4d trên trang đáp án): 4a = S, 4b = S, 4c = D, 4d = D — hoàn toàn khớp với kết quả trên (4d = D ứng với khẳng định 'Trung bình điểm là 5,9' đúng, không phải khẳng định về độ lệch chuẩn 2,04).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
s² = 1560/40 − 5,9² = 4,19 nên s ≈ 2,05 ≠ 2,04, sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm [6;8) là 7; 25 là tần số, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
2,05 < 2,13 nên 12A ít phân tán hơn 12B, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
x̄ = 236/40 = 5,9, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi lớp bằng giá trị đại diện: 20,5; 23,5; 26,5; 29,5; 32,5; 35,5 với tần số 5; 7; 8; 16; 12; 7 (n = 55). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 20,5+7\cdot 23,5+8\cdot 26,5+16\cdot 29,5+12\cdot 32,5+7\cdot 35,5}{55}=\frac{1589,5}{55}=28,9$. Tổng $n_i{x}_i^2=2101,25+3865,75+5618+13924+12675+8821,75=47005,75$. Phương sai: $s^2=\frac{47005,75}{55}-(28,9{)}^2\approx 854,65-835,21=19,44\in (19;20)$. Khớp đáp án C.

$\overline{x}=3,39$ (0,25 điểm)
$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(x_1^2.m_1+x_2^2.m_2+x_3^2.m_3+x_4^2.m_4+x_5^2.m_5\right)-{\overline{x}}^2}=0,36$ (0,5 điểm)

$\overline{x}=3,39$ (0,25 điểm)
$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(x_1^2.m_1+x_2^2.m_2+x_3^2.m_3+x_4^2.m_4+x_5^2.m_5\right)-{\overline{x}}^2}$ (0,25 điểm)
$=0,36$ (0,25 điểm)