Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm trùng phương dạng W: đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$, cực đại tại $x=0$ (giá trị $-3$). Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có $(-2;-1)\subset (-\infty ;-1)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này. Các khoảng $(0;2)$, $(-2;0)$, $(1;2)$ đều chứa điểm cực trị nên hàm không nghịch biến trên đó.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 7, hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị $-4$) và điểm cực đại tại $x=1$. Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ thấp đến cao nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ hàm số nghịch biến; khoảng $(-2;1)$ chứa điểm cực tiểu $x=-1$ nên hàm không đồng biến trên cả khoảng này. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x)>0 trên (−∞;−4) và (0;+∞), f'(x)<0 trên (−4;−2) và (−2;0). Hàm số đạt cực đại tại x=−4 với y=−6, đạt cực tiểu tại x=0 với y=2; trên hai nhánh hàm số tiến tới ±∞ nên không có GTLN, GTNN. a) Đúng: f đồng biến trên (−∞;−4) và (0;+∞). b) Sai: tại x=−4 hàm đạt cực đại (y_CĐ=−6), không phải cực tiểu; cực tiểu là y_CT=2 tại x=0. c) Sai: vì f(x)→−∞ khi x→−2⁻ và f(x)→+∞ khi x→±∞ nên hàm không có GTLN và GTNN trên tập xác định. d) Với y=(x²+2x+4)/(x+2): y'=[(2x+2)(x+2)−(x²+2x+4)]/(x+2)²=(x²+4x)/(x+2)²=x(x+4)/(x+2)²; y'=0 tại x=−4, x=0; y'>0 trên (−∞;−4)∪(0;+∞), y'<0 trên (−4;−2)∪(−2;0); f(−4)=(16−8+4)/(−2)=−6, f(0)=4/2=2 — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Vậy d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, f'(x)>0 trên (−∞;−4) và (0;+∞) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=−4 hàm số đi từ tăng sang giảm nên đạt cực đại với y_CĐ=−6. Cực tiểu của hàm là y_CT=2 tại x=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng (−∞;−2) hàm số đạt cực đại −6 nhưng tiến tới −∞ khi x→−2⁻; trên (−2;+∞) hàm tiến tới +∞ khi x→±∞. Do đó hàm không có GTLN bằng 2 và GTNN bằng −6 (2 chỉ là cực tiểu, −6 chỉ là cực đại).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với y=(x²+2x+4)/(x+2) ta có y'=x(x+4)/(x+2)², đồng biến trên (−∞;−4) và (0;+∞), nghịch biến trên (−4;−2) và (−2;0); f(−4)=−6 (cực đại), f(0)=2 (cực tiểu) — hoàn toàn khớp bảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=6x^2-18x-24=6(x^2-3x-4)=6(x-4)(x+1)$. $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<4$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;4)$. Vậy đáp án B.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1202 (trang 9), Phần II Câu 3: SDDD, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Mệnh đề d đúng vì trên $(-1;1)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $f(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^4-2x^2-3$, $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=-x^3-3x+4$, $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3+3x^2+7x+5$, $y^{\prime }=3x^2+6x+7$ có $\Delta =36-84<0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=\frac{3x-1}{x-2}$, $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nhưng hàm không xác định tại $x=2$ nên chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2+2$, ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. a) Với $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, mệnh đề Sai. b) $f^{\prime }(0)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$, Đúng. c) Trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, Đúng. d) Trên $(-1;1)$, hàm đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$ với $f(0)=2$, Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1201: SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)<0$ khi $x<-1$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(0)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$, nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ (cực đại $f(0)=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;1)$, $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;1)$, hàm đồng biến trên $(-1;0)$ và nghịch biến trên $(0;1)$, nên GTLN đạt tại $x=0$: $f(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;2)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1201: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{3x-1}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=2$, nên không nghịch biến trên toàn $\mathbb{R}$. B) $y=-x^3-3x+4$ có $y^{\prime }=-3x^2-3=-3(x^2+1)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3+3x^2+7x+5$ có $y^{\prime }=3x^2+6x+7$ với $\Delta =36-84<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^4-2x^2-3$ có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ đổi dấu, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1201: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;2)$ và trên $(2;+\infty )$, hàm số giảm từ 1 xuống $-\infty$ trên $(-\infty ;2)$ và giảm từ $+\infty$ xuống 1 trên $(2;+\infty )$; tại $x=2$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng). Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Xét các đáp án: A $(1;3)$ chứa $x=2$ nên sai; B $(-\infty ;2)$ đúng; C $(-\infty ;+\infty )$ sai vì hàm không liên tục tại $x=2$; D $(1;+\infty )$ chứa $x=2$ nên sai. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=-x^3-2x-3$ có $y^{\prime }=-3x^2-2<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{x+4}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-5}{(x-1{)}^2}<0$ nhưng hàm không xác định tại $x=1$, nên chỉ nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=-x^3-3x^2+3$ có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$ đổi dấu nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=-x^4-2x^2+3$ có $y^{\prime }=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$ nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có cực đại tại $x=-1$ (giá trị $y=3$) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $y=-1$). Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(-1;1)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4-8x^2+2025$ có đạo hàm $y^{\prime }=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$; $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có khoảng $(-2;0)$ (phương án C) thỏa mãn. Lưu ý: trên $(0;+\infty )$ hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (2;5)$ nên $f$ đồng biến trên mọi khoảng con của $(2;5)$. Trong các đáp án, chỉ có $(3;4)\subset (2;5)$, nên hàm số luôn đồng biến trên $(3;4)$. Các khoảng $\mathbb{R}$, $(0;+\infty )$, $(2;6)$ đều chứa điểm ngoài $(2;5)$ nên không thể khẳng định đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-27=3(x-3)(x+3)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $-3<x<3$. Khoảng nghịch biến là $(-3;3)$, chứa các số nguyên $-2,-1,0,1,2$ — tất cả 5 số nguyên này đều thuộc khoảng. Vậy khoảng nghịch biến có nhiều nhất 5 số nguyên. Kết quả trùng với đáp án nguồn (5).

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3$; $y^{\prime }=0\iff -3x^2+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=1\end{array}\right]$. (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $y=2x^3-3x^2+3$

(0,25 điểm)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$; $(1;+\infty )$; đồng biến trên khoảng $(-1;1)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3+12x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+12$. Hàm đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff -3x^2+12>0\iff x^2<4\iff -2<x<2$. Vậy khoảng đồng biến là $(-2;2)$, chứa các số nguyên $-1,0,1$ — nhiều nhất 3 số nguyên. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3).

Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=6x^2-6$; $y^{\prime }=0\iff 6x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$. (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $y=2x^3-3x^2+3$

(0,5 điểm)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$; $(1;+\infty )$; nghịch biến trên khoảng $(0;1)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-3,x=-1,x=1$. Từ hình vẽ, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(1;+\infty )$, còn $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;1)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến khi $f^{\prime }(x)>0$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-3;-1)$ thỏa mãn (khoảng $(1;+\infty )$ không có trong các lựa chọn; đáp án B là $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ không thỏa vì trên $(\frac{1}{2};1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$). Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.