Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh bằng vectơ.

1) MN song song với (SCD):

Vì $AD=3AM$ nên $AM=\frac{1}{3}AD$. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$; vì $N$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $N$ thuộc trung tuyến $AO$ với $AN=\frac{2}{3}AO$.

Ta có:
$$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}.$$
Do đó:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$$
Suy ra $MN\parallel AB$. Mà $AB\parallel DC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành) nên $MN\parallel DC$.

Vì $DC\subset (SCD)$ và $M\notin (SCD)$ (do $M$ thuộc $AD$ với $M\ne D$), theo định lý đường thẳng song song với mặt phẳng ta có:
$$MN\parallel (SCD).$$

2) NG song song với (SAC):

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên:
$$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}\right).$$
Do đó:
$$\overrightarrow{NG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).$$
Vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ nên:
$$\overrightarrow{NG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{CS}.$$
Suy ra $NG\parallel CS$.

Vì $CS\subset (SAC)$ và $N\notin (SAC)$ (vì $N$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không nằm trên $AC$), nên:
$$NG\parallel (SAC).$$

Vậy hai đường thẳng $MN,NG$ lần lượt song song với các mặt phẳng $(SCD),(SAC)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ tam giác nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$; do đó $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác bằng tam giác $ABC$ dịch chuyển theo vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Gọi $u=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Khi đó $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=u$.

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }N}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AM}$.

Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }N}=\overrightarrow{AM}$, suy ra tứ giác $AMN{A}^{\prime }$ là hình bình hành, do đó $AM\parallel A^{\prime }N$.

Mà $A^{\prime }N\subset (A^{\prime }NC)$, nên $AM\parallel (A^{\prime }NC)$ hoặc $AM\subset (A^{\prime }NC)$.

Xét mặt phẳng $(A^{\prime }NC)$: nó chứa $A^{\prime },C$ và $N$ với $N$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Nếu $A\in (A^{\prime }NC)$ thì $(A^{\prime }NC)=(A{A}^{\prime }C)$, tức là mặt phẳng chứa mặt bên $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$; khi đó $N$ phải nằm trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, điều này vô lý vì $N\in B^{\prime }{C}^{\prime }$ mà $B^{\prime }\notin (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ (tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ chỉ có $A^{\prime },C^{\prime }$ thuộc mặt phẳng đó). Vậy $A\notin (A^{\prime }NC)$.

Kết hợp $AM\parallel A^{\prime }N$, $A^{\prime }N\subset (A^{\prime }NC)$ và $A\notin (A^{\prime }NC)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta kết luận $AM\parallel (A^{\prime }NC)$. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Xét các mệnh đề với giả thiết $a//(P)$:
- (1) SAI: $a$ chỉ song song (hoặc chéo) với các đường thẳng trong $(P)$; $a$ có thể chéo với nhiều đường thẳng nằm trong $(P)$.
- (2) ĐÚNG: Theo định lý, qua một điểm bất kỳ của $(P)$ ta vẽ được đường thẳng $d\subset (P)$ sao cho $d//a$ (lấy điểm $M\in (P)$, trong $(P)$ vẽ đường thẳng qua $M$ song song với hình chiếu của $a$; khi đó $d//a$).
- (3) ĐÚNG: Trong $(P)$ có vô số đường thẳng song song với $d$ nói trên, và tất cả đều song song với $a$.
- (4) ĐÚNG: Đường thẳng $d$ ở mệnh đề (2) cùng với $a$ tạo thành một mặt phẳng, tức $a$ và $d$ đồng phẳng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, vì $\frac{SP}{SA}=\frac{SQ}{SB}=\frac{1}{3}$ nên theo định lý Thales $PQ\parallel AB$.
Vì $AB\subset (ABCD)$, $AB\subset (SAB)$, $PQ\subset (SAB)$ và $PQ\not\subset (ABCD)$ (do $P\in SA$, $Q\in SB$ là các điểm trên cạnh bên, không thuộc mặt đáy), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $PQ\parallel (ABCD)$.
Do đó A sai (vì $PQ$ song song với $(ABCD)$ nên không cắt mặt phẳng này), B sai (vì $PQ$ không nằm trong mặt đáy).
Xét D: vì $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB\parallel CD$, mà $PQ\parallel AB$ nên $PQ\parallel CD$; hai đường thẳng song song không thể chéo nhau, do đó D sai.
Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{G_{1}M}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$; tương tự $\overrightarrow{G_{2}M}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{G_{2}M}-\overrightarrow{G_{1}M}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$. Vậy $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AC$ và $G_1{G}_2\parallel AC$. Do đó $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ (vì $AC$ cắt mặt $(ABD)$ tại $A$... xét kỹ: $G_1{G}_2\parallel AC$, mà $AC$ nằm trong $(ABC)$ nên $G_1{G}_2\parallel (ABC)$; tương tự $G_1{G}_2$ không song song $(ABD)$? Kiểm tra lại: $G_1{G}_2\parallel AC$, $AC\subset (ABC)$ và $AC\cap (ABD)=A$, nên $G_1{G}_2\parallel (ABC)$ đúng; với $(ABD)$: $G_1{G}_2\parallel AC$ và $AC$ không nằm trong $(ABD)$, $G_1$ không thuộc $(ABD)$ nên $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ cũng đúng vì đường thẳng song song với một đường trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó — thực tế $AC$ không song song với $(ABD)$ nhưng $G_1{G}_2$ vẫn có thể song song $(ABD)$ nếu $G_1{G}_2$ song song một đường nào đó trong $(ABD)$. Tính lại bằng tọa độ: đặt $A,B,C,D$ tùy ý, $G_1=\frac{B+C+D}{3}$, $G_2=\frac{A+C+D}{3}$, nên $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}(\vec{A}-\vec{B})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$. Vậy $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB$ và $G_1{G}_2\parallel AB$. Suy ra $G_1{G}_2\parallel (ABD)$ và $G_1{G}_2\parallel (ABC)$ (vì $AB$ nằm trong cả hai mặt phẳng, còn $G_1,G_2$ không thuộc các mặt phẳng đó), nên A, B đúng. Hai trung tuyến $B{G}_1$ (của tam giác $BCD$) và $A{G}_2$ (của tam giác $ACD$) cùng đi qua trung điểm $M$ của $CD$, nên ba đường thẳng $B{G}_1$, $A{G}_2$, $CD$ đồng quy tại $M$, tức C đúng. Khẳng định D sai vì $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB\ne \frac{2}{3}AB$.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Vì $M\in BC$ với $MB=2MC$ nên $\vec{M}=\frac{\vec{B}+2\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}-\vec{B}-2\vec{C}}{3}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}\right)$. Vậy $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CD}$ (hai vectơ không cùng phương cùng xuất phát từ $C$), tức $MG\parallel (ACD)$. Mặt khác $MG$ không nằm trong $(ACD)$ vì $M\notin (ACD)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{c}$, $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\frac{\vec{b}}{2}$ (vì $M$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$). Ta có phân tích $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=-(\vec{a}+\vec{c})+2\left(\vec{a}+\frac{\vec{b}}{2}\right)=-\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{AM}$, tức $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(A{C}^{\prime }M)$, nên $C{B}^{\prime }\parallel (A{C}^{\prime }M)$ hoặc $C{B}^{\prime }\subset (A{C}^{\prime }M)$. Vì $C\notin (A{C}^{\prime }M)$ (nếu $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{AM}$ thì so sánh hệ số theo $\vec{b}$ cho $\beta =0$, theo $\vec{c}$ cho $\alpha =1$, nhưng khi đó hệ số theo $\vec{a}$ là $1\ne 0$, vô lý) nên $C{B}^{\prime }\parallel (A{C}^{\prime }M)$. Kiểm tra các đáp án khác: với $\vec{a}=(0,0,1),\vec{b}=(1,0,0),\vec{c}=(0,1,0)$ thì $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(1,-1,1)$; $(B{C}^{\prime }M)$ có pháp tuyến $(1,0.5,0.5)$ và $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}\cdot \vec{n}=1\ne 0$ nên $C{B}^{\prime }$ cắt $(B{C}^{\prime }M)$; $\overrightarrow{A^{\prime }N}=\vec{c}-\frac{\vec{a}}{2}=(0,1,-0.5)$ và $\overrightarrow{AM}=(0.5,0,1)$ đều không cùng phương với $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$. Vậy đáp án A đúng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: hai mặt phẳng cùng cắt đường thẳng $a$ vẫn có thể cắt nhau, chẳng hạn hai mặt phẳng cùng đi qua $a$ (khi đó giao tuyến của chúng là $a$).
- B sai: hai mặt phẳng cùng song song với $a$ vẫn có thể cắt nhau theo một giao tuyến song song với $a$.
- C đúng: nếu $(P)\parallel (Q)$ thì $(P)\cap (Q)=\varnothing$. Vì $a\subset (P)$ nên $a$ không có điểm chung với $(Q)$, do đó $a\parallel (Q)$.
- D sai: nếu $(P)\parallel (Q)$ và $a$ cắt $(P)$ tại một điểm thì $a$ cũng cắt $(Q)$ (đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng kia), nên $a$ không thể song song với $(Q)$.
Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,CD,SD,SA$.
- A: Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $AB$, $Q$ là trung điểm $SA$ nên $MQ\parallel SB$. Vì $SB\subset (SBC)$ và $MQ\not\subset (SBC)$ nên $MQ\parallel (SBC)$. Đúng.
- B: $P$ là trung điểm $SD$, $Q$ là trung điểm $SA$ nên cả $P,Q$ đều thuộc mặt phẳng $(SAD)$, tức $PQ\subset (SAD)$. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng không được coi là song song với mặt phẳng đó, nên khẳng định $PQ\parallel (SAD)$ là sai (thực tế $PQ\parallel AD$).
- C: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B})=\frac{1}{2}[(\vec{C}-\vec{B})+(\vec{D}-\vec{A})]=\overrightarrow{AD}$, suy ra $MN\parallel AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$, nên $MN\parallel (SAD)$. Đúng.
- D: Trong tam giác $SDC$, $P$ trung điểm $SD$, $N$ trung điểm $CD$ nên $PN\parallel SC\subset (SBC)$, $PN\not\subset (SBC)$, suy ra $PN\parallel (SBC)$. Đúng.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Trong tam giác ABC, I trung điểm AB, J trung điểm BC nên IJ là đường trung bình, do đó IJ ∥ AC. Vì IJ ⊂ (SIJ) và AC ⊄ (SIJ) nên AC ∥ (SIJ).
b) Sai. IJ ⊂ (ABC), SB cắt mặt phẳng (ABC) tại B, mà B ∉ IJ (IJ là đoạn nối hai trung điểm không qua B), nên IJ không cắt SB; thực tế IJ ∥ AC và AC chéo với SB.
c) Đúng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. H là trọng tâm tam giác SAB nên SH = (2/3)SM; K là trọng tâm tam giác SBC nên SK = (2/3)SN. Trong tam giác SMN, ta có HK ∥ MN. Mà MN là đường trung bình tam giác ABC nên MN ∥ AC, và IJ ∥ AC. Vậy HK ∥ IJ.
d) Đúng. HK ∥ AC (theo ý c), HK ⊂ (BHK), AC ⊂ (ABC). Hai mặt phẳng (BHK) và (ABC) có điểm chung B, nên giao tuyến là đường thẳng qua B và song song với AC (vì đường thẳng qua B trong (ABC) song song với HK chính là đường qua B song song AC).
a) (AI giải đề cho tôi)
IJ là đường trung bình tam giác ABC nên IJ ∥ AC; IJ ⊂ (SIJ), AC ⊄ (SIJ) suy ra AC ∥ (SIJ).
b) (AI giải đề cho tôi)
IJ ⊂ (ABC) và SB cắt (ABC) tại B, nhưng B ∉ IJ nên IJ không cắt SB.
c) (AI giải đề cho tôi)
Gọi M, N trung điểm AB, BC. SH = (2/3)SM, SK = (2/3)SN nên HK ∥ MN ∥ AC; cũng có IJ ∥ AC, vậy HK ∥ IJ.
d) (AI giải đề cho tôi)
HK ∥ AC, HK ⊂ (BHK), AC ⊂ (ABC), hai mặt phẳng chung điểm B nên giao tuyến là đường thẳng qua B song song với AC.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$. Vì $MG\parallel (ACD)$ và giao tuyến của $(ABD)$ và $(ACD)$ là $AD$, đường thẳng qua $G$ song song với $(ACD)$ trong mặt phẳng $(ABD)$ phải song song với $AD$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng qua $G$ song song với $AD$ với $BD$. Trong tam giác $ABD$, vì $G$ là trọng tâm (nằm trên trung tuyến từ $A$, cách $A$ bằng $2/3$ trung tuyến), ta có $N$ thuộc $BD$ với $BN=2\cdot ND$ (tỉ số phân đoạn $2/3$ từ $B$). Mặt phẳng qua $G$ song song với $(ACD)$ cắt mặt phẳng $(BCD)$ theo giao tuyến qua $N$ song song với $CD$, cắt $BC$ tại $M$. Trong tam giác $BCD$, vì $NM\parallel CD$ theo định lý Thales: $BM/MC=BN/ND=2$. Vậy $MB=2\cdot MC$ nên $x=2$. Kiểm tra: với $x=2$, $M$ chia $BC$ theo tỉ số $BM:MC=2:1$, đường $MG$ nằm trong mặt phẳng qua $N$ song song $CD$ và qua $G$ song song $AD$, mặt phẳng này song song với $(ACD)$, do đó $MG\parallel (ACD)$. Thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $DBA$, $M$ là trung điểm $DB$, $N$ là trung điểm $DA$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BA$. Vì $BA\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$. Các mặt phẳng $(DAB)$, $(DAC)$ đều chứa $MN$ (không song song), còn $(DBC)$ chứa $M$ nên không thể song song. Vậy đáp án là $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ ba vectơ không đồng phẳng: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $AD//BC$ và $AD=xBC$ nên $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{x}\vec{d}$, suy ra $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\frac{1}{x}\vec{d}$.

Vì $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{d}}{3}$. Vì $\frac{SN}{SD}=\frac{1}{3}$ nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}=\vec{s}+\frac{1}{3}(\vec{d}-\vec{s})=\frac{2\vec{s}+\vec{d}}{3}$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{s}}{3}$, do đó $MN//AS$ nên $MN//(SAB)$ luôn đúng với mọi $x$.

Xét $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{d}}{3}-\vec{b}-\frac{\vec{d}}{x}=-\vec{b}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}\right)\vec{d}$.

Để $CM//(SAB)$, vì $\vec{b}$ nằm trong $(SAB)$ còn $\vec{d}$ không nằm trong $(SAB)$, cần hệ số của $\vec{d}$ bằng 0: $\frac{1}{3}-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x=3$.

Khi đó $MN//(SAB)$, $CM//(SAB)$ với $MN$ và $CM$ cắt nhau tại $M$ nên $(CMN)//(SAB)$. Vậy $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $SA$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$. $N$ thuộc $SB$ nên $N$ cũng thuộc $(SAB)$, do đó $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$. Để $MN$ song song với $(ABCD)$, theo định lí về giao tuyến, $MN$ phải song song với giao tuyến $AB$ của $(SAB)$ và $(ABCD)$. Trong tam giác $SAB$, đường thẳng qua $M$ (trung điểm $SA$) song song với $AB$ cắt $SB$ tại trung điểm của $SB$. Vậy $N$ phải là trung điểm $SB$, tức $\frac{SN}{SB}=\frac{1}{2}$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, $MN\parallel AB\parallel (ABCD)$ (vì $MN$ không nằm trong $(ABCD)$). Đáp án: $x=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, vì $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $EF\parallel BC$. Mà $BC\subset (BCD)$ và $EF\not\subset (BCD)$ (vì $E\in AB$, $F\in AC$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $EF\parallel (BCD)$. Vậy đáp án A. Các phương án khác sai: B sai vì $EF$ song song với $(BCD)$ nên không thể cắt; C sai vì $EF$ cắt mặt phẳng $(ABD)$ tại $E$; D sai vì $EF\subset (ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $AC$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $EF\not\subset (BCD)$ (vì $E\in AB$, mà $AB$ chỉ cắt $(BCD)$ tại $B$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $EF\parallel (BCD)$. Vậy đáp án A. Các phương án khác sai: B sai vì $EF$ song song với $(BCD)$; C sai vì $EF$ cắt $(ABD)$ tại $E$ nên không song song; D sai vì $EF\subset (ABC)$ nên không thể song song với $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SMC$: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G\in CM$ với $CG=\frac{2}{3}CM$; $H$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $H\in SM$ với $SH=\frac{2}{3}SM$. Suy ra $\frac{HG}{GC}$... xét theo $M$: $\frac{MH}{MS}=\frac{1}{3}=\frac{MG}{MC}$, do đó $GH\parallel SC$ (định lí Thales trong tam giác $SMC$). Vì $SC\subset (SAC)$, $SC\subset (SBC)$, $G\notin (SAC)$, $G\notin (SBC)$ nên $GH\parallel (SAC)$ và $GH\parallel (SBC)$. Lưu ý $H\in (SAB)$ nên $GH$ không song song $(SAB)$, loại D. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Vì $MB=2MC$ nên $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ lệ $\vec{M}=\frac{\vec{B}+2\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{D}-2\vec{C}}{3}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD})$. Vậy $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}$ cùng phương với mặt phẳng $(ACD)$, mà $M\notin (ACD)$ (vì $M\in BC$, $B\notin (ACD)$). Do đó $MG\parallel (ACD)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $c$ là giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$. Vì $d\parallel (\alpha )$ nên $d$ không có điểm chung với $(\alpha )$, do đó $d$ không thể trùng hoặc cắt giao tuyến $c$ (vì $c\subset (\alpha )$). Tương tự $d$ không nằm trong $(\beta )$. Mặt khác, nếu $d$ cắt $c$ tại một điểm thì điểm đó thuộc cả hai mặt phẳng, mâu thuẫn với $d\parallel (\alpha )$. Vậy $d$ và $c$ không có điểm chung, tức $c\parallel d$. Chọn C.