Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau. B đúng: theo định lý, nếu $a\parallel (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b\parallel a$; do đó luôn tồn tại đường thẳng $b$ trong $(P)$ sao cho $b\parallel a$. C sai vì $a\parallel (P)$ và $b\subset (P)$ chỉ cho $a$ và $b$ không cắt nhau, chúng có thể chéo nhau chứ chưa chắc song song. D sai vì $a\parallel (P)$ và $b$ cắt $(P)$ thì $a$ và $b$ có thể song song (ví dụ $a$ nằm trong mặt phẳng song song với $(P)$ chứa... thực tế $a$ và $b$ có thể chéo nhau hoặc song song, không nhất thiết cắt nhau). Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng vectơ: $\overrightarrow{MG}=\vec{G}-\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}-\frac{\vec{B}+2\vec{C}}{3}=\frac{(\vec{A}-\vec{C})+(\vec{D}-\vec{C})}{3}$. Hai vectơ $\overrightarrow{CA}=\vec{A}-\vec{C}$ và $\overrightarrow{CD}=\vec{D}-\vec{C}$ đều nằm trong mặt phẳng $(ACD)$ và không cùng phương, nên $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của $(ACD)$. Mặt khác $M\in BC$ không thuộc $(ACD)$, do đó $MG//(ACD)$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBD$, $M$ là trung điểm $SB$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $MN\parallel BD$. Vì $BD\subset (SBD)$ và $MN\not\subset (SBD)$ nên $MN\parallel (SBD)$. Với các mặt phẳng khác: $BD$ không nằm trong $(SAB)$, $(SAC)$, $(SCD)$ nên không kết luận được song song theo định lý nhận biết; thực tế $MN$ cắt các mặt phẳng đó (chẳng hạn $MN$ cắt $(SAC)$ vì $BD$ cắt $AC$). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng phương pháp toạ độ hoá hình. Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{c}}{2}$.

Điểm $E$ trên đường thẳng $SC$: $\overrightarrow{AE}=(1-t)\vec{s}+t\vec{c}$, khi đó $\frac{SE}{SC}=|t|$.

Vì $(\alpha )$ qua $M,N$ và song song $SP$, vectơ $\overrightarrow{ME}$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{b}}{6}+\frac{\vec{c}}{2}$ và $\overrightarrow{SP}=\vec{s}-\frac{\vec{c}}{2}$:
$$\overrightarrow{ME}=\lambda \left(\frac{\vec{b}}{6}+\frac{\vec{c}}{2}\right)+\mu \left(\vec{s}-\frac{\vec{c}}{2}\right).$$
So sánh hệ số theo $\vec{b}$: $-\frac{1}{3}=\frac{\lambda }{6}\Rightarrow \lambda =-2$.
So sánh theo $\vec{s}$: $1-t=\mu$.
So sánh theo $\vec{c}$: $t=\frac{\lambda }{2}-\frac{\mu }{2}=-1-\frac{1-t}{2}$, suy ra $\frac{t}{2}=-\frac{3}{2}\Rightarrow t=-3$.

Vậy $E$ nằm trên đường thẳng $SC$ (phía ngoài đoạn $SC$, qua phía $S$) và $\frac{SE}{SC}=|t|=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$. Ta có $AB\subset (SAB)$ và $CD\not\subset (SAB)$ (vì $CD$ nằm trong đáy, còn $(SAB)$ chỉ chứa $A,B$ của đáy). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, suy ra $CD\parallel (SAB)$. Kiểm tra các phương án khác: $CD$ cắt $(SAC)$ tại $C$, cắt $(SBC)$ tại $C$, và $CD\subset (ABC)$ nên không song song với các mặt phẳng đó.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $MN\parallel (BCD)$. Các mặt phẳng $(ACD)$, $(ABD)$ chứa $M$ hoặc $N$ nên không thể song song với $MN$; $(ABC)$ chứa $MN$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $BC$ và $AD$ (hai cạnh bên của hình thang). Vì $AB//CD$ nên tam giác $KCD$ đồng dạng với $KBA$, suy ra $\frac{KC}{KB}=\frac{CD}{AB}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$. Đặt $KB=5x$ thì $KC=3x$, do đó $BC=KB-KC=2x$ và $\frac{BC}{CK}=\frac{2}{3}$.

Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa đường thẳng $CE$. Giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $SK$ (vì $S$ thuộc cả hai mặt phẳng, $K=BC\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng). Vì $CE//(SAD)$ và $CE$ nằm trong $(SBC)$ nên $CE//SK$.

Trong tam giác $SBK$, $C$ thuộc $BK$ và $CE//SK$ nên theo định lý Thales: $\frac{BE}{ES}=\frac{BC}{CK}=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{ES}{EB}=\frac{3}{2}$, tức $m=3$, $n=2$ (phân số tối giản).

Do đó $2m+3n=2\cdot 3+3\cdot 2=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Trong mặt phẳng $(SAC)$, vì $SM=\frac{2}{3}SA$ và $SN=\frac{2}{3}SC$ nên theo định lý Thales (hoặc hệ thức: $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SC}$), ta có $MN\parallel AC$. Mà $AC\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$, do đó $MN\parallel (ABC)$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng).

Câu b) Ta tìm giao điểm của $AB$ với $(MNP)$ bằng phương pháp toạ độ vectơ (khẳng định điểm).

Bước 1: Tìm điểm $Q$ thuộc $(MNP)$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, cụ thể trên đường thẳng $NP$. Biểu diễn các điểm theo $S,A,B,C$:
- Vì $SM=\frac{2}{3}SA$ nên $M=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}A$.
- Vì $SN=\frac{2}{3}SC$ nên $N=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}C$.
- $P$ trung điểm $BC$: $P=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C$.

Điểm trên đường thẳng $NP$ có dạng $\lambda N+\mu P$ với $\lambda +\mu =1$:
$$\lambda N+\mu P=\frac{\lambda }{3}S+\frac{\mu }{2}B+\left(\frac{2\lambda }{3}+\frac{\mu }{2}\right)C.$$
Để điểm này thuộc đường thẳng $SB$ thì hệ số của $C$ bằng $0$: $\frac{2\lambda }{3}+\frac{\mu }{2}=0$, kết hợp $\lambda +\mu =1$ giải được $\lambda =-3,\mu =4$. Suy ra
$$Q=-3N+4P=2B-S,$$
tức $B$ là trung điểm của $SQ$ (vì $\overrightarrow{SQ}=2\overrightarrow{SB}$). Rõ ràng $Q\in NP\subset (MNP)$.

Bước 2: Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $MQ$ cắt $AB$ tại $I$. Điểm trên $MQ$ có dạng $M+t(Q-M)$:
$$M+t(Q-M)=\left(\frac{1}{3}-\frac{4t}{3}\right)S+\frac{2}{3}A+2tB.$$
Để thuộc $AB$ thì hệ số của $S$ bằng $0$: $\frac{1}{3}-\frac{4t}{3}=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}$. Khi đó
$$I=\frac{3}{4}M+\frac{1}{4}Q=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B,$$
tức $I$ là trung điểm của $AB$.

Vì $M,Q\in (MNP)$ nên $MQ\subset (MNP)$, do đó $I\in (MNP)$ và $I\in AB$.

Kết luận: Giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(MNP)$ là trung điểm $K$ của cạnh $AB$ (với $K$ là giao điểm của $MQ$ và $AB$, trong đó $Q$ trên tia đối tia $SB$ sao cho $B$ là trung điểm $SQ$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ (do $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$, không thuộc $(BCD)$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $MN\parallel (BCD)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Lấy điểm $O$ bất kỳ trên $a$. Qua $O$ vẽ đường thẳng $b^{\prime }$ song song với $b$. Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $b^{\prime }$ không trùng với $a$, do đó $a$ và $b^{\prime }$ cắt nhau tại $O$ và xác định duy nhất một mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$ và $b^{\prime }$. Mặt phẳng này song song với $b$ (vì $b\parallel b^{\prime }\subset (\alpha )$ và $b\not\subset (\alpha )$). Mặt phẳng bất kỳ chứa $a$ và song song với $b$ đều phải chứa đường $b^{\prime }$ qua điểm bất kỳ trên $a$ song song với $b$, nên là duy nhất. Vậy có đúng 1 mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABD$ nên $G\in BI$ và $\frac{BG}{BI}=\frac{2}{3}$. Theo giả thiết $BM=2MC$ nên $\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}$. Xét $\Delta BIC$ có $\frac{BG}{BI}=\frac{BM}{BC}=\frac{2}{3}$, theo định lý Thales ta được $MG\parallel IC$. Mà $IC\subset (ACD)$ và $MG$ không nằm trong $(ACD)$, do đó $MG\parallel (ACD)$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $D=(2;0;0)$, $B=(0,5;2;0)$, $C=(1,5;2;0)$ (hình thang với $AD\parallel BC$), $S=(0;0;3)$.

- $M$ là trọng tâm $△SAD$: $M=\left(\frac{S+D}{3}\right)=\left(\frac{2}{3};0;1\right)$.
- $NA=\frac{NC}{2}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$, nên $N=A+\frac{1}{3}(C-A)=\left(0,5;\frac{2}{3};0\right)$.
- $PD=\frac{PC}{2}\Rightarrow \frac{DP}{DC}=\frac{1}{3}$, nên $P=D+\frac{1}{3}(C-D)=\left(\frac{11}{6};\frac{2}{3};0\right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$: $\overrightarrow{BC}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{BS}=(-0,5;-2;3)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(0;-3;-2)$, phương trình $3y+2z=6$.

- $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{6};\frac{2}{3};-1\right)$: $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{n}=-2+2=0$ nên $MN\parallel (SBC)$; vì $M$ có $3\cdot 0+2\cdot 1=2\ne 6$ nên $M\notin (SBC)$.
- $\overrightarrow{MP}=\left(\frac{7}{6};\frac{2}{3};-1\right)$: $\overrightarrow{MP}\cdot \vec{n}=-2+2=0$ nên $MP\parallel (SBC)$.

Vậy $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $MP$ cùng song song với $(SBC)$, và $M\notin (SBC)$, suy ra $(MNP)\parallel (SBC)$.

Xét các phương án:
- A sai: hai mặt phẳng song song nên không có giao tuyến.
- B sai: $MN\parallel (SBC)$.
- C sai: $(MNP)$ không thể song song $(SAD)$ vì $M\in (SAD)$ mà $N,P\notin (SAD)$ (nếu song song thì $(MNP)$ phải trùng $(SAD)$, vô lý).
- D đúng: $MN\parallel (SBC)$ và $(MNP)\parallel (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AE}=\vec{e}$. Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BE}=\vec{e}-\vec{b}$. Trọng tâm tam giác $ABE$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+\vec{e}}{3}$. Mặt $(ADF)$ có hai vectơ chỉ phương $\vec{d}$ và $\vec{e}-\vec{b}$, nên $(P)$ qua $M$ song song $(ADF)$ gồm các điểm $X$ với $\overrightarrow{MX}=\alpha \vec{d}+\beta (\vec{e}-\vec{b})$. Điểm $N\in AC$ nên $\overrightarrow{AN}=t(\vec{b}+\vec{d})$ vì $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Điều kiện $N\in (P)$: $t(\vec{b}+\vec{d})-\frac{\vec{b}+\vec{e}}{3}=\alpha \vec{d}+\beta (\vec{e}-\vec{b})$. So sánh hệ số theo $\vec{e}$: $\beta =-\frac{1}{3}$; theo $\vec{b}$: $t-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$; theo $\vec{d}$: $\alpha =t=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn). Vậy $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$, suy ra $\frac{AN}{NC}=\frac{2/3}{1/3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18 (tự luận).

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$. $M$ là trung điểm $AB$ nên $MB=\frac{AB}{2}$; $N$ là trung điểm $CD$ nên $CN=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=MB$. Tứ giác $MBCN$ có $MB\parallel CN$ (vì $AB\parallel CD$) và $MB=CN$ nên $MBCN$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel BC$. Xét $(SBC)$: $BC\subset (SBC)$, $MN\not\subset (SBC)$ (vì $M\notin (SBC)$) và $MN\parallel BC$, do đó $MN\parallel (SBC)$. Tương tự, vì $AD\parallel BC$ (hình bình hành $ABCD$) nên $MN\parallel AD$; mà $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN\parallel (SAD)$.

b) Dùng vectơ. Chọn điểm $O$ bất kỳ làm gốc. Vì $G_1$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $$\overrightarrow{O{G}_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$ Vì $G_2$ là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $$\overrightarrow{O{G}_2}=\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$ Suy ra $$\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{O{G}_2}-\overrightarrow{O{G}_1}=\frac{\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OA}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}.$$ Vậy $\overrightarrow{G_1{G}_2}$ cùng phương với $\overrightarrow{AS}$, tức là $G_1{G}_2\parallel SA$. Mà $SA\subset (SAC)$ và $G_1{G}_2\not\subset (SAC)$ (vì $G_1$ nằm trong mặt đáy $(ABC)$ và không thuộc đường thẳng $AC$). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $G_1{G}_2\parallel (SAC)$. Điều phải chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD,SD,SA$.

- A: Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $AB$, $Q$ là trung điểm $SA$ nên $MQ\parallel SB$. Vì $SB\subset (SBC)$ và $MQ\not\subset (SBC)$ nên $MQ\parallel (SBC)$. Khẳng định A đúng.

- B: $P$ là trung điểm $SD$ và $Q$ là trung điểm $SA$, cả $P$ và $Q$ đều nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, do đó $PQ\subset (SAD)$. Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng không thể song song với mặt phẳng đó, nên khẳng định $PQ\parallel (SAD)$ là sai. (Chú ý: trong tam giác $SAD$ thì $PQ\parallel AD$, nhưng $PQ$ nằm trong $(SAD)$.)

- C: Với hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$. Cụ thể $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B})$; vì $A+C=B+D$ (tính chất hình bình hành) suy ra $\overrightarrow{MN}=\vec{C}-\vec{B}=\overrightarrow{BC}$. Vậy $MN\parallel BC\parallel AD$. Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$. Khẳng định C đúng.

- D: Trong tam giác $SDC$, $P$ là trung điểm $SD$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $PN\parallel SC$. Vì $SC\subset (SBC)$ và $PN\not\subset (SBC)$ nên $PN\parallel (SBC)$. Khẳng định D đúng.

Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $G$ là trung điểm của $BI$ (đường trung tuyến từ $B$). Xét tam giác $BCI$: $G$ là trung điểm $BI$, đường thẳng qua $G$ song song với $CI$ cắt $BC$ tại trung điểm của $BC$. Do đó $MG\parallel (ACD)$ khi và chỉ khi $MG\parallel CI$ (vì $MG$ nằm trong mặt phẳng $(BCI)$ chứa $CI\subset (ACD)$), tức $M$ là trung điểm của $BC$, suy ra $MB=MC$, vậy $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ACD)$ và $MN\not\subset (ACD)$ nên $MN\parallel (ACD)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, $O^{\prime }$ là tâm hình bình hành $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) ĐÚNG. Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AB\parallel CD$, mà $CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$, suy ra $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.

b) SAI. Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\subset (AC{D}^{\prime })$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ (vì $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$). Hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime },B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $C^{\prime }$ và cùng song song với mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$, đồng thời $A^{\prime },B$ không thuộc $(AC{D}^{\prime })$, nên hai mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$ và $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song với nhau. Do đó chúng không có giao tuyến (không thể là đường thẳng $O{O}^{\prime }$).

c) SAI. Trong hình hộp, cạnh đối diện với cạnh $BC$ là cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (cạnh song song với $BC$, nằm trên mặt đối diện và không cùng thuộc một mặt nào với $BC$). Cạnh $AD$ song song với $BC$ nhưng cùng nằm trong mặt $(ABCD)$, chỉ là cạnh kề song song trong hình bình hành $ABCD$, không phải cạnh đối diện của hình hộp.

d) ĐÚNG. $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ mà $AC\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$? Xét kỹ: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ nên $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng $BD,B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $B$ và cùng song song với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, còn $D\notin (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (BD{C}^{\prime })$.

Đường chéo $C{A}^{\prime }$: với hệ gốc $A$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$ (vector chỉ lên trên). Điểm trên $C{A}^{\prime }$: $M=\overrightarrow{AC}+t(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AC})$. Giải $M\in (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tức $M=s(\overrightarrow{AB}+\vec{u})+u(\overrightarrow{AD}+\vec{u})$ cho $s=u=\frac{1}{3}$, $t=\frac{2}{3}$, nên $M=\frac{2\vec{u}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{3}$, đúng bằng trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $C^{\prime }$ và cùng song song với $(AC{D}^{\prime })$, nên $(AC{D}^{\prime })\parallel (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$; hai mặt phẳng song song nên không có giao tuyến là $O{O}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh đối diện của $BC$ trong hình hộp là $A^{\prime }{D}^{\prime }$; cạnh $AD$ song song với $BC$ nhưng cùng thuộc mặt $(ABCD)$, không phải cạnh đối diện.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ nên $(BD{C}^{\prime })\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; đường chéo $C{A}^{\prime }$ cắt $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại điểm $\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{3}$ đúng là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$, $J$ lần lượt là trọng tâm của $△ABC$ và $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (cùng phương với các cạnh bên của lăng trụ). Xét các mặt của lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: hai mặt đáy $(ABC)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt đường thẳng $IJ$ nên không song song với $IJ$. Ba mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ đều chứa các đường thẳng song song với $A{A}^{\prime }$ (chính là các cạnh bên), do đó đều song song với $IJ$. Vậy $n=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $d\not\subset (a)$:
- A đúng: Nếu $d//(a)$, lấy mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $d$, giao tuyến $(\alpha )\cap (a)=\Delta$ thì $d//\Delta$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng).
- B sai: Nếu $d//(a)$ và $b\subset (a)$ thì $d$ và $b$ không thể cắt nhau (vì $d$ không có điểm chung với $(a)$), nhưng chúng có thể chéo nhau, không nhất thiết song song. Ví dụ trong hình hộp, đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ nhưng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ chéo với $BC$.
- C đúng: $d\cap (a)=A$. Nếu $\Delta$ đi qua $A$ thì $d$ cắt $\Delta$ tại $A$; nếu $\Delta$ không đi qua $A$ thì $d$ và $\Delta$ không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng, tức chéo nhau.
- D đúng: $d//c$, $c\subset (a)$, $d\not\subset (a)$ nên theo định lý về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, $d//(a)$.
Vậy khẳng định sai là B.