Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ nên $a$ không có điểm chung với mặt phẳng $(P)$. Mà $b\subset (P)$ nên $a$ và $b$ không thể có điểm chung, do đó chúng không thể cắt nhau. Các trường hợp song song, chéo nhau hoặc không có điểm chung đều có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$ (vì $A\notin (SBC)$ do $S.ABCD$ là hình chóp). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, suy ra $AD\parallel (SBC)$. Các phương án khác sai vì $AD\subset (SAD)$, còn $(SAB)$ và $(SDC)$ đều cắt $AD$ (chứa điểm $A$ hoặc $D$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\not\subset (AMN)$ (mặt phẳng $(AMN)$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ theo giao tuyến $MN$) và $MN\subset (AMN)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $BC\parallel (AMN)$. Các đường $SB,AB,SA$ đều cắt mặt phẳng $(AMN)$ (chung điểm $S$, $A$ hoặc giao với $MN$), nên không song song. Vậy đáp án là $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$, suy ra $MN\parallel BD$.

Xét mặt phẳng $(BCD)$:
- Đường thẳng $BD$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$.
- Đường thẳng $MN$ không nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ (vì $M\in AB$, $A\notin (BCD)$, nên $MN$ không thuộc $(BCD)$).
- $MN\parallel BD\subset (BCD)$.

Theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng (nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó thì nó song song với mặt phẳng), ta có:
$$MN\parallel (BCD).$$
Điều phải chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $I$ thuộc trung tuyến $BM$, do đó $IM=\frac{1}{3}MB$. Trong tam giác $ACD$, $J$ là trọng tâm nên $J$ thuộc trung tuyến $DM$, do đó $JM=\frac{1}{3}MD$. Xét tam giác $MBD$: vì $\frac{MI}{MB}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ nên theo định lý Thales (đảo), $IJ\parallel BD$. Mà $BD\subset (BCD)$ và $IJ\not\subset (BCD)$ (vì $I\notin (BCD)$ do $I$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và tứ diện không suy biến). Vậy theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $IJ\parallel (BCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. a) Trong tam giác SAB, M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MN // AB. Vì đáy ABCD là hình thang có AB là đáy lớn nên AB // CD, do đó MN // CD. Ta có: CD nằm trong mp(SCD); MN không nằm trong mp(SCD) (vì M, N thuộc mp(SAB) và MN // CD nên MN không thể cắt mp(SCD)). Vậy MN // mp(SCD).

b) Gọi P là giao điểm của BC và (OMN). Nhận xét: MN // AB và MN nằm trong (OMN), AB nằm trong mp(ABCD), MN không nằm trong mp(ABCD). Suy ra giao tuyến d của (OMN) và mp(ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB (vì nếu giao tuyến cắt MN thì nó nằm trong (SAB), mâu thuẫn vì O không thuộc (SAB); do đó d // MN // AB).

Trong mp(ABCD), vẽ qua O đường thẳng d song song với AB (đồng thời song song với CD). Vì AB // CD và O nằm giữa hai cạnh bên AD, BC (O là giao hai đường chéo của hình thang), đường thẳng d cắt cạnh BC tại một điểm P xác định. Khi đó P thuộc BC và P thuộc d ⊂ (OMN), nên P là giao điểm của đường thẳng BC và mp(OMN).

Tỉ số (tham khảo): trong tam giác BDC, OP // DC nên OP/DC = BO/BD. Mặt khác do AB // CD, O là giao hai đường chéo nên BO/BD = AB/(AB + CD). Vậy OP = DC · AB/(AB + CD), tức P là điểm trên BC sao cho đường thẳng qua P và O song song với hai đáy của hình thang.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có vị trí tương đối tùy ý: chúng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Ví dụ: trong mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q)$, mọi đường thẳng của $(P)$ đều song song với $(Q)$, và trong $(P)$ chúng có thể cắt, song song hoặc trùng nhau; lấy thêm một đường thẳng ngoài $(P)$ song song với $(Q)$ thì có thể chéo nhau. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, $AD\parallel BC$. Do $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$ (B đúng). Do $AB\subset (SAB)$ và $CD\not\subset (SAB)$ nên $CD\parallel (SAB)$ (C đúng). Do $BC\subset (SBC)$ và $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$ (D đúng). Riêng $AC$ cắt $CD$ tại $C\in (SCD)$, tức $AC$ có điểm chung với mặt phẳng $(SCD)$ và $AC\not\subset (SCD)$, nên $AC$ cắt mặt phẳng $(SCD)$ chứ không song song. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$, do đó $MN\parallel AB$. Mà $AB\subset (SAB)$ và $MN\not\subset (SAB)$, nên $MN\parallel (SAB)$. Kiểm tra các phương án khác: $MN$ cắt mặt $(SCD)$ (nó nằm trong mặt đó, không song song); với $(SBD)$ và $(SAC)$, đường thẳng $MN$ không song song với chúng vì $CD$ cắt các mặt này (ví dụ $CD$ cắt $(SBD)$ tại giao của $CD$ với $BD$... thực chất $CD$ không song song với $(SBD)$). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$ và $b\subset (P)$ nên $a$ và $b$ không có điểm chung (khẳng định B đúng). Do đó $a$ và $b$ hoặc song song nhau (khi $b\parallel a$) hoặc chéo nhau (khẳng định C đúng, và khẳng định D 'a và b cắt nhau' là sai). Với khẳng định A: nếu $a$ chéo $b$, qua một điểm bất kỳ trên $a$ và một điểm trên $b$ luôn vẽ được đường thẳng $c$ cắt cả hai; nếu $a\parallel b$, một đường thẳng $c$ bất kỳ cắt cả hai đường song song đó tồn tại. Vậy A đúng. Khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $E$ là trung điểm $SA$, $F$ là trung điểm $SC$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $EF\not\subset (ABCD)$ nên $EF\parallel (ABCD)$. Các phương án khác sai: $EF\subset (SAC)$ nên không thể song song với $(SAC)$; $EF$ cắt mặt $(SAB)$ tại $E$ và cắt $(SBC)$ tại $F$ nên không song song với hai mặt này.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SC$.

a) Sai: Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa $BM$. Đường thẳng $BM$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ (vì $B$ và $M$ không cùng thuộc một đường thẳng song song với $(SAD)$; cụ thể trong tam giác $SBD$ không có cấu hình trung bình nào đưa $BM$ song song $(SAD)$). Thực chất $BM$ cắt $(SAD)$ tại một điểm nên $BM$ không song song với $(SAD)$.

b) Sai: Cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều đi qua điểm $S$ và điểm $O$ (vì $O$ thuộc $AC$ và $O$ thuộc $BD$). Do đó giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$, không phải $MO$.

c) Đúng: Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) và $M$ là trung điểm $SC$ nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM//SA$.

d) Đúng: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC//AD$; mà $AD\subset (SAD)$ và $BC\not\subset (SAD)$, suy ra $BC//(SAD)$.

a) $BM$ không song song với $(SAD)$; đường thẳng $BM$ cắt mặt phẳng $(SAD)$.

b) $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$ và $O$ nên giao tuyến là $SO$, không phải $MO$.

c) Trong tam giác $SAC$, $O$ trung điểm $AC$, $M$ trung điểm $SC$ nên $OM$ là đường trung bình, $OM//SA$.

d) $BC//AD$, $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$ nên $BC//(SAD)$.

Gọi $P$ là trung điểm $AD$. Xét $\Delta BCP$ có: $\frac{BM}{BC}=\frac{BG}{BP}=\frac{2}{3}\Rightarrow MG\parallel CP$. Mà $CP\subset (ACD),MG\not\subset (ACD)$. $\Rightarrow MG\parallel (ACD)$.
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (BCD)$. Các mặt phẳng $(ABC),(ACD),(ABD)$ đều chứa $MN$ hoặc cắt $MN$ (chứa $M$ hoặc $N$ nhưng không song song), nên không thỏa mãn. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ (do $M\notin (BCD)$), theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $MN\parallel (BCD)$. Các mặt phẳng $(ABC)$, $(ACD)$, $(ABD)$ đều chứa $M$ hoặc $N$ (hoặc chứa $MN$) nên không song song với $MN$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1072, câu 11: A).

Gọi $P$ là trung điểm $AD$. Xét $\Delta BCP$ có: $\frac{BM}{BC}=\frac{BG}{BP}=\frac{2}{3}\Rightarrow MG\parallel CP$. Mà $CP\subset (ACD),MG\not\subset (ACD)$. $\Rightarrow MG\parallel (ACD)$.
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN//AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $MN//(ABCD)$. Các phương án A, B, C sai vì $MN$ cắt hoặc nằm trong các mặt phẳng đó (ví dụ $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, và $MN$ không song song với $(SCD)$, $(SBC)$, $(SAB)$ vì chúng đều chứa điểm $S$ hoặc cắt $MN$). Đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 13: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: Theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu $a\parallel (\alpha )$ thì trong $(\alpha )$ tồn tại đường thẳng $b$ sao cho $a\parallel b$ (lấy mặt phẳng qua $a$ cắt $(\alpha )$ theo giao tuyến $b$, khi đó $a\parallel b$).
- B sai: Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể chéo nhau, cắt nhau hoặc song song (ví dụ hai cạnh của hình lập phương).
- C sai: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau — thực tế khẳng định này đúng nếu hai mặt phẳng phân biệt. Tuy nhiên đề yêu cầu chọn một khẳng định đúng duy nhất; xét kỹ: C cũng đúng về mặt lý thuyết khi hai mặt phẳng phân biệt. Nhưng theo định nghĩa, nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì vẫn 'cùng song song với mặt phẳng thứ ba' mà không song song (trùng) nhau; đề không giả thiết phân biệt, nên C không được chấp nhận là khẳng định đúng chặt chẽ.
- D sai: Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến hoặc đồng quy tại một điểm hoặc đôi một song song (ví dụ ba mặt phẳng chứa các cạnh của hình lăng trụ).
Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án đề cho (mã đề 111, câu 11: A).