Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:

- A: $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng khi chúng không có điểm chung; ở đây $MN\subset (SAC)$ nên $MN$ KHÔNG song song với $(SAC)$. Vậy mệnh đề A là sai.

- B: Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM\parallel SC$. Mà $SC\subset (SCD)$, $OM\not\subset (SCD)$, suy ra $OM\parallel (SCD)$. Mệnh đề đúng.

- C: $O$ cũng là trung điểm $BD$ (tâm hình bình hành), $P$ là trung điểm $SB$ nên trong tam giác $SBD$ có $PO\parallel SD$; kết hợp $OM\parallel SC$ với $OM\cap PO=O$, $SC\cap SD=S$, suy ra $(OMP)\parallel (SCD)$. Mệnh đề đúng.

- D: Trong tam giác $SAC$: $MN\parallel AC$; trong tam giác $SAB$: $MP\parallel AB$. Hai đường thẳng cắt nhau $MN,MP$ trong $(MNP)$ lần lượt song song với $AC,AB$ trong $(ABCD)$, suy ra $(MNP)\parallel (ABCD)$. Mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$. Các phương án khác sai vì $MN$ cắt hoặc nằm trong các mặt phẳng đó: $MN$ nằm trong $(SAC)$, cắt $(SBC)$, $(SAB)$, $(SCD)$ tại các điểm thuộc $S$-side... cụ thể $MN$ không song song với $(SBC)$ vì $MN$ và $(SBC)$ có điểm chung khi xét đường thẳng qua $N$... đơn giản: $MN$ cắt mặt $(SBC)$, $(SAB)$, $(SCD)$ (chúng chứa $S$ và $MN$ không qua $S$ nhưng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ cắt các mặt đó theo các đường qua $S$ không song song $MN$). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $AC$ nên $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ nên $MN\parallel (BCD)$. ĐÚNG.
b) Tương tự: $MN\parallel BC$ và $NP\parallel CD$ ($N,P$ trung điểm $AC,AD$ trong tam giác $ACD$). Trong $(MNP)$ có hai đường thẳng cắt nhau $MN,NP$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $BC,CD$ của $(BCD)$, nên $(MNP)\parallel (BCD)$. ĐÚNG.
c) $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $MP\parallel BD$. $MP$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ còn $BC$ nằm trong $(BCD)$; $MP$ không song song với $BC$ (vì $BD$ cắt $BC$ tại $B$) và $MP$ không nằm trong $(BCD)$, nên $MP$ và $BC$ chéo nhau, không cắt nhau. SAI.
d) $(DMN)\cap (ACD)$: cả hai mặt phẳng đều chứa điểm $D$; hơn nữa $N\in AC\subset (ACD)$ và $N\in (DMN)$, nên giao tuyến là đường thẳng $DN$ chứ không phải $DM$ ($M\notin (ACD)$). SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng. Xét từng khẳng định: A) Sai, vì $a$ có thể nằm trong $(P)$ hoặc cắt $(P)$; $a\parallel (P)$ và $b\subset (P)$ chỉ cho $a$ và $b$ không cắt nhau (có thể chéo nhau). B) Sai, vì có thể $a\subset (P)$. C) Đúng: nếu $a\parallel b$, $b\subset (P)$ và $a\notin (P)$ thì theo định lý về dấu hiệu song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, $a\parallel (P)$. D) Sai, vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AS}=\vec{s}$ độc lập tuyến tính; $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Với $\frac{BM}{MS}=x$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+x\vec{s}}{1+x}$. Với $\frac{NC}{NA}=y$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{1+y}$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+x}\right)\vec{b}+\frac{1}{1+y}\vec{d}-\frac{x}{1+x}\vec{s}$. Vì $MN\parallel (SAD)$ mà $(SAD)$ chứa các vectơ $\vec{s},\vec{d}$, hệ số của $\vec{b}$ phải bằng 0: $\frac{1}{1+y}=\frac{1}{1+x}\Rightarrow x=y$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{d}-x\vec{s}}{1+x}$ thực sự song song $(SAD)$ (với $x\ne 1$ thỏa đề). Vậy $\frac{x}{y}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn S làm gốc vectơ. Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$, tức $\vec{d}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

Xác định điểm P: $M$ là trung điểm $SA$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}\vec{a}$; $SN=2NB$ nên $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$. Điểm $X$ trên đường thẳng $MN$ có dạng $\overrightarrow{SX}=(1-t)\cdot \frac{1}{2}\vec{a}+t\cdot \frac{2}{3}\vec{b}$. Để $X\in (ABCD)$, tổng các hệ số theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ phải bằng 1: $\frac{1-t}{2}+\frac{2t}{3}=1\Rightarrow t=3$. Vậy $\overrightarrow{SP}=-\vec{a}+2\vec{b}$.

a) Ta có $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SP}=\vec{c}-(-\vec{a}+2\vec{b})=\vec{a}+\vec{c}-2\vec{b}=(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})-\vec{b}=\vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{BD}$. Suy ra $PC\parallel BD$, mà $BD\subset (SBD)$ và $PC\not\subset (SBD)$, do đó $PC\parallel (SBD)$.

b) Vì $N\in SB\subset (SBD)$ và $PC\parallel (SBD)$, mặt phẳng $(NPC)$ cắt $(SBD)$ theo giao tuyến $\Delta$ đi qua $N$ và $\Delta \parallel PC\parallel BD$. Trong tam giác $SBD$, đường thẳng qua $N$ với $\frac{SN}{NB}=2$ song song $BD$ cắt $SD$ tại $H$ thỏa $\frac{SH}{HD}=\frac{SN}{NB}=2$, tức $\overrightarrow{SH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{SD}=\frac{2}{3}\vec{d}$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $SCD$: $\overrightarrow{SG}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{3}=\frac{\vec{a}+2\vec{c}-\vec{b}}{3}$.

Biểu diễn các vectơ theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ và tính tổng hệ số (mặt phẳng $(ABCD)$ là tập các điểm có tổng hệ số bằng 1, các mặt phẳng song song với nó là tập các điểm có cùng tổng hệ số):
- $\overrightarrow{SN}=\frac{2}{3}\vec{b}$: tổng hệ số $=\frac{2}{3}$.
- $\overrightarrow{SH}=\frac{2}{3}\vec{d}=\frac{2}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$: tổng hệ số $=\frac{2}{3}$.
- $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$: tổng hệ số $=\frac{2}{3}$.

Cả ba điểm $N,H,G$ đều nằm trên mặt phẳng có tổng hệ số bằng $\frac{2}{3}$, khác mặt phẳng $(ABCD)$ (tổng bằng 1), và ba điểm này không thẳng hàng. Vậy $(NHG)\parallel (ABCD)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$ (do $M\notin (BCD)$ vì $M$ nằm trên $AB$ mà $AB$ chỉ cắt $(BCD)$ tại $B$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $MN\parallel (BCD)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (P)$, lấy một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ và một đường thẳng $d$ qua $A$ sao cho $d\parallel (P)$ và $d$ không trùng với $a$ (ví dụ $d$ song song với một đường thẳng của $(P)$). Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $a$ và $d$ khi đó song song với $(P)$ vì $a,d$ cắt nhau tại $A$ và cùng song song với $(P)$. Tính duy nhất: nếu $(\beta )$ chứa $a$ và $(\beta )\parallel (P)$, giả sử $(\beta )\ne (\alpha )$ thì giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ là đường thẳng qua $A$ song song với $(P)$; nhưng cả hai mặt phẳng đều chứa $a$ và cùng song song với $(P)$, dẫn đến $(\beta )$ phải trùng $(\alpha )$ (nếu không, $(\beta )$ cắt $(P)$, mâu thuẫn). Vậy có đúng $1$ mặt phẳng chứa $a$ và song song với $(P)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là trung điểm của $B^{\prime }C$.

Vì $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành (do $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, $BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$) nên hai đường chéo $B^{\prime }C$ và $B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường; do đó $N$ cũng là trung điểm của $B{C}^{\prime }$.

1) Trong tam giác $A{B}^{\prime }C$: $I$ là trung điểm của $A{B}^{\prime }$, $N$ là trung điểm của $B^{\prime }C$, nên $IN$ là đường trung bình, suy ra
$$IN\parallel AC.$$
Mà $AC\subset (AC{D}^{\prime })$ nên $IN\parallel (AC{D}^{\prime })$.

2) Ta có $B{C}^{\prime }=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}$ và $A{D}^{\prime }=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}$. Vì $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, $BC\parallel AD$ (tính chất hình hộp) nên $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$.
Vì $N$ là trung điểm của $B{C}^{\prime }$ nên
$$C^{\prime }N\parallel A{D}^{\prime }.$$
Mà $A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ nên $C^{\prime }N\parallel (AC{D}^{\prime })$.

3) Hai đường thẳng $IN$ và $C^{\prime }N$ cắt nhau tại $N$ và cùng song song với mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$, do đó mặt phẳng $(IN{C}^{\prime })$ song song với $(AC{D}^{\prime })$.

Vì $C^{\prime }I\subset (IN{C}^{\prime })$ nên $C^{\prime }I\parallel (AC{D}^{\prime })$.

(Kiểm tra bằng vectơ: $\overrightarrow{C^{\prime }I}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B^{\prime }})-\overrightarrow{C^{\prime }}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }})$, tức $\overrightarrow{C^{\prime }I}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương của $(AC{D}^{\prime })$, khẳng định lại kết luận.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\parallel (\alpha )$ nên $a$ không có điểm chung với $(\alpha )$. Mặt phẳng $(\beta )$ chứa $a$ và cắt $(\alpha )$ theo giao tuyến $b$, với $b\subset (\alpha )$. Theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu $a\parallel (\alpha )$ và $(\beta )$ chứa $a$, cắt $(\alpha )$ theo giao tuyến $b$ thì $a\parallel b$. Thật vậy, nếu $a$ cắt $b$ tại điểm $M$ thì $M\in (\alpha )$, mâu thuẫn với $a\parallel (\alpha )$; hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng $(\beta )$ và không cắt nhau nên song song với nhau. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Chứng minh $KJ\parallel (SAB)$.**

Dùng vectơ: vì $K$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $J$ là trọng tâm tam giác $SCB$ nên
$$\vec{K}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3},\vec{J}=\frac{\vec{S}+\vec{C}+\vec{B}}{3}.$$
Suy ra
$$\overrightarrow{KJ}=\vec{J}-\vec{K}=\frac{\vec{S}-\vec{A}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}.$$
Vậy $\overrightarrow{KJ}$ cùng phương với $\overrightarrow{AS}$, tức $KJ\parallel SA$. Mà $SA\subset (SAB)$ và $KJ\not\subset (SAB)$, do đó $KJ\parallel (SAB)$.

(Cách thuần hình học: gọi $I$ là trung điểm $BC$. Khi đó $AI$ là trung tuyến tam giác $ABC$ nên $K\in AI$ với $\frac{AK}{AI}=\frac{2}{3}$; $SI$ là trung tuyến tam giác $SBC$ nên $J\in SI$ với $\frac{SJ}{SI}=\frac{2}{3}$. Trong tam giác $SAI$ có $\frac{AK}{AI}=\frac{SJ}{SI}=\frac{2}{3}$, suy ra $KJ\parallel SA$ theo định lý Thales, do đó $KJ\parallel (SAB)$.)

**b) Xác định thiết diện.**

$(\alpha )$ chứa $KJ\parallel SA$ và $(\alpha )\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $(\alpha )\parallel BC$ (và $(\alpha )$ không chứa $BC$).

**Cách dựng thiết diện:**

- Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$: qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ (do đó cũng song song với $BC$), cắt $AB$ tại $M$ và cắt $CD$ tại $N$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ thì $K\in AI$ với $\frac{AK}{AI}=\frac{2}{3}$. Vì $MI\parallel$ ... chính xác hơn: trong tam giác $ABC$, đường thẳng qua $K$ song song với $BC$ cắt $AB$ tại $M$; theo định lý Thales trong tam giác $ABI$ (với $K\in AI$, $MK\parallel BI$):
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AI}=\frac{2}{3}.$$
Tương tự trong tam giác $ACI$ (với $K\in AI$, $NK\parallel CI$ khi xét giao điểm $N$ trên $CD$ qua tính đối xứng của hình bình hành), ta được
$$\frac{CN}{CD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{DN}{DC}=\frac{2}{3}.$$
(Kiểm tra bằng vectơ với gốc $A$: $K=\frac{B+C}{3}$, $M=\frac{2B}{3}$, $N=\frac{D+2C}{3}$; khi đó $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$, đúng là $MN\parallel AD$ và đi qua $K$.)

- Trong mặt phẳng $(SAB)$: qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ (vì $(\alpha )$ chứa $KJ\parallel SA$), cắt $SB$ tại $P$. Trong tam giác $SAB$ có $MP\parallel SA$ nên
$$\frac{BP}{BS}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{SP}{SB}=\frac{2}{3}.$$

- Trong mặt phẳng $(SBC)$: vì $(\alpha )\parallel BC$ và $P\in (\alpha )\cap (SBC)$, mặt phẳng $(SBC)$ cắt $(\alpha )$ theo đường thẳng qua $P$ song song với $BC$, cắt $SC$ tại $Q$ với
$$\frac{SQ}{SC}=\frac{SP}{SB}=\frac{2}{3}.$$

- Trong mặt phẳng $(SDC)$: xét $Q\in SC$ với $\frac{CQ}{CS}=\frac{1}{3}$ và $N\in DC$ với $\frac{CN}{CD}=\frac{1}{3}$. Trong tam giác $SDC$ thì $QN\parallel SD$ (định lý Thales). Vậy $(SDC)\cap (\alpha )=QN$.

Kiểm tra lại bằng vectơ: $P=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}B$, $Q=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}C$, $N=\frac{1}{3}D+\frac{2}{3}C$, $M=\frac{2}{3}B$. Khi đó:
$$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{MP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS},\overrightarrow{NQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DS}.$$
Bốn điểm $M,P,Q,N$ đồng phẳng (tứ giác có các cặp cạnh đối song song tương ứng), mặt phẳng $(MPQ)$ chứa $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}$ nên song song $SA$, chứa $\overrightarrow{MN}\parallel \overrightarrow{AD}$ nên song song $AD$; hơn nữa $\overrightarrow{KJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{MP}$ và $M,K$ cùng thuộc mặt phẳng nên $KJ\subset (MPQN)$. Vậy mặt phẳng $(MPQN)$ chính là $(\alpha )$.

**Kết luận:** Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(\alpha )$ là tứ giác $MPQN$ với:
- $M\in AB$, $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$;
- $N\in CD$, $\frac{DN}{DC}=\frac{2}{3}$, và $MN$ đi qua $K$, $MN\parallel AD\parallel BC$;
- $P\in SB$, $Q\in SC$ với $\frac{SP}{SB}=\frac{SQ}{SC}=\frac{2}{3}$, suy ra $PQ\parallel BC\parallel AD$;
- $MP\parallel SA$ (nên chứa $KJ$) và $NQ\parallel SD$.

Ngoài ra $(\alpha )$ còn song song với $SD$ (vì $NQ\parallel SD$ và $SD\not\subset (\alpha )$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $O$ là trung điểm $AC$ (vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, giao của hai đường chéo), $M$ là trung điểm $SA$. Suy ra $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $OM//SC$. Vì $SC\subset (SCD)$ và $OM\not\subset (SCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $OM//(SCD)$. Các phương án khác sai vì $OM$ cắt các mặt phẳng $(SBD)$ (tại điểm trong đoạn... thực chất $OM$ không song song với $(SBD)$, $(SAD)$, $(SAB)$ do $M\in (SAD)$ và $M\in (SAB)$ nên $OM$ không thể song song với hai mặt phẳng chứa $M$). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$. Đường thẳng $DC$ nằm trong mặt phẳng $(SDC)$, còn $AB$ không nằm trong $(SDC)$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng (nếu đường thẳng ngoài mặt phẳng song song với một đường thẳng trong mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng đó), ta có $AB\parallel (SDC)$. Kiểm tra các phương án khác: $AB$ cắt $(SAC)$ tại $A$, cắt $(SBC)$ tại $B$, nên không song song. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (2,0 điểm)

a) Trong tam giác SCD: M là trung điểm SC, N là trung điểm SD nên MN là đường trung bình của tam giác SCD, suy ra $MN\parallel CD$.

Vì $CD\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ (M, N nằm trên các cạnh SC, SD của hình chóp), theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $MN\parallel (ABCD)$. Đpcm.

b) Gọi I là trung điểm của SA. Xét tam giác SAB: I là trung điểm SA, O là trung điểm AB (vì O là tâm hình bình hành ABCD nên O là giao điểm hai đường chéo, tức trung điểm cả AC lẫn BD; do đó O là trung điểm của AB khi xét đường chéo... chính xác hơn: O là trung điểm của AC và BD).

Ta chứng minh bằng hai đường thẳng song song:

• Trong tam giác SAC: O là trung điểm AC, M là trung điểm SC, nên OM là đường trung bình, suy ra $OM\parallel SA$. Mà $SA\subset (SAB)$, $OM\not\subset (SAB)$, do đó $OM\parallel (SAB)$.

• Trong tam giác SBD: O là trung điểm BD, N là trung điểm SD, nên ON là đường trung bình, suy ra $ON\parallel SB$. Mà $SB\subset (SAB)$, $ON\not\subset (SAB)$, do đó $ON\parallel (SAB)$.

Ta có: $OM\parallel (SAB)$, $ON\parallel (SAB)$, $OM,ON$ cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng $(OMN)$.

Theo định lí về mặt phẳng song song với mặt phẳng, suy ra $(OMN)\parallel (SAB)$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SAC, M là trung điểm SA, N là trung điểm SC nên MN là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (ABCD)$. Vậy A đúng. Các phương án B, D sai vì MN cắt các mặt phẳng (SAB), (SBC) tại M, N. Phương án C sai: nếu $MN\parallel (SBD)$ thì do $MN\parallel AC$ ta có $AC\parallel (SBD)$, nhưng AC cắt BD tại giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD, mâu thuẫn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì $M,N$ là trung điểm $SA,SD$ nên $MN//AD$. Mà $AD//BC$ (hình bình hành) nên $MN//BC$, với $MN\not\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$. Suy ra $MN//(SBC)$.

b) Đúng. $O$ là giao hai đường chéo nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$. Trong tam giác $SAC$: $OM//SC$. Trong tam giác $SBD$: $ON//SB$. Hai đường thẳng cắt nhau $OM,ON$ lần lượt song song với $SC,SB$ của mặt phẳng $(SBC)$ nên $(OMN)//(SBC)$.

c) Sai. Vì $(OMN)//(SBC)$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(OMN)$, kể cả $MF$ với $F\in ON$, đều song song hoặc nằm trong mặt $(SBC)$ (không cắt). Thực tế $MF\subset (OMN)//(SBC)$ nên $MF$ không cắt $(SBC)$.

d) Đúng. Tập hợp điểm $G$ thuộc $(ABCD)$ cách đều $AB$ và $CD$ là đường trung bình của hình bình hành, tức đường thẳng qua $O$ song song với $AB$ (và $CD$). Xét mặt phẳng $(\alpha )$ qua $N$ song song $(SAB)$: trong $(SAD)$, đường qua $N$ song song $SA$ cắt $AD$ tại trung điểm $K$ của $AD$; khi đó $(\alpha )\cap (ABCD)$ là đường thẳng qua $K$ song song $AB$, chính là đường trung bình qua $O$. Vậy với mọi $G$ trên đường này, $GN\subset (\alpha )//(SAB)$, tức $GN//(SAB)$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $MN//AD//BC$, do đó $MN//(SBC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O$ trung điểm $AC,BD$ nên $OM//SC$, $ON//SB$; hai đường cắt nhau nên $(OMN)//(SBC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MF\subset (OMN)//(SBC)$ nên $MF$ song song với $(SBC)$, không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G$ nằm trên đường trung bình qua $O$ song song $AB$; mặt phẳng qua $N$ song song $(SAB)$ cắt $(ABCD)$ theo đường thẳng này nên $GN//(SAB)$.

a) Ta có $N$ là trung điểm của $AO$ nên $AN=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{4}AC$. Mặt khác, $SM=\frac{1}{4}SC$

Do đó, $\frac{AN}{AC}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{4}$, suy ra $MN\parallel SA$

Mà $MN\not\subset (SAB),SA\subset (SAB)$ nên $MN\parallel (SAB)$ (đpcm)

b) Trong mp (SAC), gọi $I=AM\cap SO\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in AM\subset (\alpha )\\ I\in SO\subset (SBD)\end{array}$

Do $BD\parallel (\alpha )$, $(SBD)$ chứa $BD$ nên $(\alpha )\cap (SBD)=d$ ($d$ qua $I$ và $d\parallel BD$)

Trong $(SBD)$, đường thẳng d cắt $SB,SD$ lần lượt tại $E,F$

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác $SOC$ có cát tuyến $AIM$, ta có:

$$\frac{SI}{OI}\cdot \frac{OA}{CA}\cdot \frac{CM}{SM}=1\iff \frac{SI}{OI}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{1}=1\Rightarrow \frac{SI}{OI}=\frac{2}{3}$$

Do $EI\parallel BD\Rightarrow \frac{SE}{EB}=\frac{SI}{IO}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SE}{SB}=\frac{2}{5}$

Lại có: $$\frac{S_{\Delta SEM}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{\frac{1}{2}.SE.SM.\sin \widehat{ESM}}{\frac{1}{2}.SB.SC.\sin \widehat{BSC}}=\frac{SE}{SB}\cdot \frac{SM}{SC}=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$$

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $O$ là giao hai đường chéo hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$; $M$ là trung điểm $SA$. Vậy $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$. Mà $SC\subset (SBC)$ và $OM\not\subset (SBC)$, do đó $OM\parallel (SBC)$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Xét tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$, do đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$. Mà $SC\subset (SBC)$ và $OM\not\subset (SBC)$, nên $OM\parallel (SBC)$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1105.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $M,N$ là trung điểm $SA,SD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$, mà $MN\not\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$ $\Rightarrow MN\parallel (SBC)$.
b) Đúng: Trong tam giác $SAC$, $OM\parallel SC$; trong tam giác $SBD$, $ON\parallel SB$. Vì $SC,SB\subset (SBC)$ và $OM,ON$ cắt nhau, hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(SBC)$ song song.
c) Sai: Vì $(OMN)\parallel (SBC)$ nên mọi đường thẳng $MF$ với $F\in ON$ đều nằm trong $(OMN)$, do đó $MF\parallel (SBC)$ (hoặc nằm trong trường hợp đặc biệt), không thể cắt $(SBC)$.
d) Đúng: Vì $AB\parallel CD$, tập hợp các điểm trong $(ABCD)$ cách đều $AB$ và $CD$ là đường trung bình đi qua $O$ và song song với $AB$, tức đường thẳng qua trung điểm $P$ của $AD$ song song với $AB$ (đường này đi qua $O$). Mặt phẳng qua $N$ song song với $(SAB)$ cắt $(ABCD)$ theo đường thẳng qua trung điểm $P$ của $AD$ song song với $AB$ (vì nó chứa đường qua $N$ song song $SA$ cắt $AD$ tại trung điểm $P$, và đường qua $N$ song song $AB$). Vậy $G$ nằm trên giao tuyến này $\Rightarrow GN\parallel (SAB)$.