Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi) ${\Delta }_1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(7;2)$, vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-2;7)$. ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;-5)$. Kiểm tra song song: $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ không tỉ lệ vì $-2\cdot (-5)-7\cdot 1=10-7=3\ne 0$, nên hai đường thẳng không song song và không trùng nhau. Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=7\cdot 1+2\cdot (-5)=7-10=-3\ne 0$, nên hai đường thẳng không vuông góc. Vậy ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
$d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(2;-3)$. $d_2$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}=(3;2)$. Ta có $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 3+(-3)\cdot 2=6-6=0$, nên VTCP của $d_1$ cùng phương với VTPT của $d_2$, tức hai đường thẳng vuông góc với nhau. Kiểm tra thêm: $d_1$ có dạng $3x+2y-14=0$? Thay điểm $(4;1)$: $12+2-14=0$, đúng, và $3(4+2t)+2(1-3t)-14=12+6t+2-6t-14=0$ với mọi $t$ — thực tế $d_1$ nằm trùng trên $d_2$? Kiểm tra lại: phương trình $d_1$ rút ra: từ $x=4+2t$, $y=1-3t$, ta có $3x+2y=12+6t+2-6t=14$ với mọi $t$, nghĩa là mọi điểm của $d_1$ đều thuộc $d_2$, nên $d_1$ trùng với $d_2$! Vậy đáp án đúng là A (Trùng nhau). Lưu ý: tích vô hướng $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$ chỉ cho thấy $d_1$ vuông góc với pháp tuyến của $d_2$, tức $d_1$ song song hoặc trùng $d_2$; vì điểm $(4;1)$ thuộc $d_2$ nên $d_1$ trùng $d_2$.

(AI giải đề cho tôi)
$d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(2;-5)$, $d_2$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}=(5;2)$. Ta có $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 5+(-5)\cdot 2=10-10=0$ nên $d_1\perp d_2$. Kiểm tra điểm $P(4;1)\in d_1$: $5\cdot 4+2\cdot 1-14=8\ne 0$ nên $d_1$ không nằm trên $d_2$, hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình tham số $△:x=12-5t,y=3+6t$. A(12;0): $t=0$ cho $y=3\ne 0$, loại. B(7;5): $t=1$ cho $y=9\ne 5$, loại. C(20;9): $t=-8/5$ cho $y=3-48/5\ne 9$, loại. D(-13;33): $12-5t=-13\Rightarrow t=5$, khi đó $y=3+6\cdot 5=33$, thỏa mãn. Vậy điểm $(-13;33)$ nằm trên $△$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng qua A(3;−1) và B(1;5) là $\overrightarrow{AB}=(-2;6)$, tỉ lệ với $(1;-3)$. Lấy điểm A(3;−1) và VTCP $(1;-3)$ ta được $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1-3t\end{array}$. Kiểm tra B(1;5): với $t=-2$ thì $x=3-2=1$, $y=-1+6=5$ ✓. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. $\Delta :x-y+2=0$ có VTCP $(1;1)$, $d:2x-y+1=0$ có VTCP $(1;2)$. Tích có hướng $(1;1)\cdot (1;2)=1+2=3\ne 0$ nên $d$ không vuông góc với $\Delta$ (nếu dùng pháp tuyến $(2;-1)$ và $(1;-1)$: $2\cdot 1+(-1)(-1)=3\ne 0$). b) Đúng. $\Delta$ có VTCP $(1;1)$ và đi qua $A(0;2)$ nên phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\end{array}$; thay vào $\Delta$: $t-(2+t)+2=0$ luôn đúng. c) Sai. $OA=\sqrt{0^2+2^2}=2$ nên đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ là $x^2+y^2=4$, không phải $x^2+y^2=2$. d) Đúng. Từ $x-y+2=0$, một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-1)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\Delta }=(1;-1)$, ${\vec{n}}_d=(2;-1)$, ${\vec{n}}_{\Delta }\cdot {\vec{n}}_d=2+1=3\ne 0$ nên $d$ không vuông góc với $\Delta$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(1;1)$, đi qua $A(0;2)$: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\end{array}$; điểm này thỏa $x-y+2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$OA=2$ nên đường tròn là $x^2+y^2=4$, không phải $x^2+y^2=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tổng quát $x-y+2=0$, $\vec{n}=(1;-1)$ là một vectơ pháp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;-3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2;-1)$ có phương trình: $2(x-1)-(y+3)=0\iff 2x-y-5=0$. So với dạng $ax-by+c=0$ ta có $a=2$, $b=1$, $c=-5$. Khi đó $a^2-b+2c=4-1+2(-5)=4-1-10=-7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-7, mã đề 102, Phần III câu 3).

Lời giải

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $x-3y-6=0$ và $3x+4y-1=0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}x-3y-6=0\\ 3x+4y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-3y=6\\ 3x+4y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{27}{13}\\ y=-\frac{17}{13}\end{array}$$

Vậy tọa độ giao điểm là $\left(\frac{27}{13};-\frac{17}{13}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x+y+15=0$ và $d_2:-4x-2y+3=0$ có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, nhưng $\frac{c_1}{c_2}=\frac{15}{3}=5\ne -\frac{1}{2}$. Vậy $d_1\parallel d_2$ (không trùng nhau). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Δ: x−y+2=0 có VTCP u_Δ=(1;1); d: 2x−y+1=0 có VTCP u_d=(2;−1). Hai VTCP không cùng phương (1·(−1)−1·2=−3≠0) nên d không vuông góc với Δ. Cách khác: n_Δ=(1;−1), n_d=(2;−1), tích vô hướng 1·2+(−1)(−1)=3≠0 nên không vuông góc.
b) Đúng. Δ có VTCP u=(1;1) và đi qua A(0;2), nên phương trình tham số x=t, y=2+t; kiểm tra: t−(2+t)+2=0 thỏa mãn phương trình Δ.
c) Đúng. Từ phương trình tổng quát x−y+2=0, một vectơ pháp tuyến là n=(1;−1).
d) Sai. OA=√(0²+2²)=2 nên đường tròn tâm O bán kính OA là x²+y²=4, không phải x²+y²=2.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án mã đề 101 (SDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Δ có VTCP u=(1;1), d có VTCP (2;−1); hai VTCP không cùng phương nên d không vuông góc với Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Δ: y=x+2 đi qua A(0;2), VTCP u=(1;1) nên x=t, y=2+t là phương trình tham số của Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ phương trình tổng quát x−y+2=0, một vectơ pháp tuyến của Δ là n=(1;−1).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) OA=2 nên đường tròn là x²+y²=4, không phải x²+y²=2.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;-3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2;-1)$ có phương trình: $2(x-1)-1(y+3)=0\iff 2x-y-5=0$. So với dạng $ax-by+c=0$ ta có $a=2$, $-b=-1\Rightarrow b=1$, $c=-5$. Khi đó $a^2-b+2c=4-1+2(-5)=4-1-10=-7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-7$.

Lời giải

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $x-3y-6=0$ và $3x+4y-1=0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}x-3y-6=0\\ 3x+4y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-3y=6\\ 3x+4y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{27}{13}\\ y=-\frac{17}{13}\end{array}$$

Vậy tọa độ giao điểm là $\left(\frac{27}{13};-\frac{17}{13}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Δ₂ có phương trình tham số x=1+2t, y=-1+t nên vectơ chỉ phương là u₂=(2;1). Đúng.
b) Thay x=1+2t, y=-1+t vào Δ₁: 2(1+2t)+(-1+t)+15=0 ⟺ 5t+16=0 ⟺ t=-16/5. Khi đó x=1+2(-16/5)=-27/5, y=-1-16/5=-21/5. Vậy giao điểm là (-27/5; -21/5). Đúng.
c) Điểm (0;-15) thuộc Δ₁ vì 2·0+(-15)+15=0, và vectơ chỉ phương (2;1) của phương trình tham số này thỏa y=-15+t' ⟹ 2x+y+15=2(2t')+(-15+t')+15=5t'=0 khi t'=0... kiểm tra: với điểm bất kỳ (2t'; -15+t') ta có 2(2t')+(-15+t')+15=5t', chỉ bằng 0 khi t'=0, nên cần kiểm tra lại: thực tế 2x+y+15 = 4t' + t' - 15 + 15 = 5t'. Hmm, điều này cho thấy phương trình tham số này KHÔNG biểu diễn đúng Δ₁ trừ khi hệ số khác. Xét lại: đường thẳng x=2t', y=-15+t' có vectơ chỉ phương (2;1) và đi qua (0;-15). Vectơ pháp tuyến của nó là (1;-2), còn Δ₁ có pháp tuyến (2;1). Hai đường này KHÔNG trùng nhau vì pháp tuyến khác tỉ lệ. Kiểm tra điểm (2;-14) (t'=1): 2·2+(-14)+15=5≠0, không thuộc Δ₁. Vậy c) SAI.
d) Δ₁ có vectơ chỉ phương u₁=(1;-2) (vì pháp tuyến (2;1)), Δ₂ có u₂=(2;1). Tích vô hướng u₁·u₂=2-2=0 nên hai đường vuông góc. Đúng.

Tóm lại: a đúng, b đúng, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ₂: x=1+2t, y=-1+t, vectơ chỉ phương là u₂=(2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=1+2t, y=-1+t vào 2x+y+15=0: 2+4t-1+t+15=0 ⟺ 5t+16=0 ⟺ t=-16/5. Suy ra x=1-32/5=-27/5, y=-1-16/5=-21/5. Giao điểm (-27/5; -21/5).
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình x=2t', y=-15+t' có vectơ chỉ phương (2;1), đi qua (0;-15). Nhưng với t'=1 ta được điểm (2;-14) và 2·2+(-14)+15=5≠0, không thuộc Δ₁. Thực tế vectơ chỉ phương của Δ₁ là (1;-2) (pháp tuyến (2;1)), không tỉ lệ với (2;1), nên phương trình tham số đã cho không mô tả Δ₁.
d) (AI giải đề cho tôi)
u₁=(1;-2) (VTCP của Δ₁), u₂=(2;1). u₁·u₂=1·2+(-2)·1=0 nên Δ₁ vuông góc Δ₂.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $x-y+2=0$ ta có pháp tuyến $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$. b) Đúng: ${\Delta }_1:y=x+2$ đi qua $(0;2)$ với VTCP $\vec{u}(1;1)$, nên PT tham số $x=t^{\prime },y=2+t^{\prime }$. c) Đúng: ${\Delta }_1$ có VTCP $(1;1)$, ${\Delta }_2$ có VTCP $(3;1)$, hai VTCP không cùng phương nên hai đường thẳng cắt nhau. d) Sai: $\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+1\cdot 1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.894$, suy ra góc $\phi \approx 26.57^{\circ }\ne 60^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của ${\Delta }_1:x-y+2=0$ là $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_1:y=x+2$ đi qua điểm $(0;2)$, VTCP $\vec{u}(1;1)$, nên $x=t^{\prime },y=2+t^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $(1;1)$, của ${\Delta }_2$ là $(3;1)$; chúng không cùng phương nên hai đường thẳng cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|3+1|}{\sqrt{2}\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.894\Rightarrow \phi \approx 26.57^{\circ }\ne 60^{\circ }$.

Đáp án chính thức: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

- Pt đường thẳng d có dạng $3x-2y+m=0$, $(m\ne 1)$. - Vì $A(1;-2)\in d\Rightarrow m=-7$. - Vậy phương trình đường thẳng d là $3x-2y-7=0$.

Đáp án chính thức (mã đề 101, bảng đáp án trang 5, Phần II câu 2): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (DDSS). Lưu ý: đề in phương trình tham số $x=7+t,y=7+2t$ và quãng đường $6\sqrt{6}$, trong khi dữ kiện $\vec{v}=(5+t;3+2t)$ cho phương trình $x=5+t,y=3+2t$ và quãng đường sau 6 giây là $6\sqrt{5}$; đáp án chính thức xác nhận các ý b) và c) là Sai.

- Pt đường thẳng d có dạng $3x-2y+m=0$, $(m\ne 1)$. - Vì $A(1;-2)\in d\Rightarrow m=-7$. - Vậy phương trình đường thẳng d là $3x-2y-7=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ song song với $x+2y+2026=0$ nên có dạng $x+2y+k=0$, hay $2x+4y+2k=0$. So với $2x+by+c=0$ ta được $b=4$. Vì $d$ đi qua $A(-2;3)$: $2(-2)+4(3)+c=0\Rightarrow -4+12+c=0\Rightarrow c=-8$. Vậy $S=b+c=4+(-8)=-4$, khớp với đáp án nguồn.