Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $3x+5y-15=0$: $M_1(5;0)$: $3\cdot 5+0-15=0$ (thuộc); $M_4(-5;6)$: $-15+30-15=0$ (thuộc); $M_2(0;3)$: $0+15-15=0$ (thuộc); $M_3(5;3)$: $15+15-15=15\ne 0$ (không thuộc). Vậy điểm không thuộc đường thẳng $d$ là $M_3(5;3)$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1010, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):x-2y+5=0$ với $n=(1;-2)$.
a) Thay $A(1;-2)$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $A\notin (\Delta )$ → Sai.
b) $d(O,(\Delta ))=\frac{|5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\ne 5$ → Sai.
c) $({\Delta }^{\prime }):2x+y=0$ có $n^{\prime }=(2;1)$. Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{1}$ nên hai đường không song song, do đó cắt nhau → Đúng.
d) VTCP của $(\Delta )$ vuông góc với $n=(1;-2)$, mà $\vec{u}=(2;1)\cdot (1;-2)=2-2=0$ nên $\vec{u}=(2;1)$ là một véc tơ chỉ phương → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (mã 1010, câu 2 Phần II: S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;-2)$ vào $x-2y+5=0$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $(\Delta )$ không đi qua $A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(\Delta ))=\frac{|5|}{\sqrt{1+4}}=\sqrt{5}\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$({\Delta }^{\prime })$ có $n^{\prime }=(2;1)$, không tỉ lệ với $n=(1;-2)$ nên hai đường thẳng cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(2;1)$ có $\vec{u}\cdot \vec{n}=2-2=0$, nên $\vec{u}$ là véc tơ chỉ phương của $(\Delta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ B là Δ₁: x + 3y − 18 = 0 có hệ số góc −1/3, nên AC ⊥ Δ₁ ⇒ hệ số góc của AC bằng 3. Vì góc BAC = 135° nên tan(BAC) = −1. Gọi hệ số góc của AB là m, ta có (m − 3)/(1 + 3m) = −1 ⇒ m = 1/2, hoặc (3 − m)/(1 + 3m) = −1 ⇒ m = −2.

Xét m = −2 (trường hợp cho góc tù 135° giữa hai vectơ): AB: y − b = −2(x − a). Giao với Δ₁: x + 3(b − 2x + 2a) − 18 = 0 ⇒ B = ((6a + 3b − 18)/5; (36 − 2a − b)/5).

AC: y = 3x − 3a + b, giao với d: 2x − y + 5 = 0 ⇒ C = (3a − b + 5; 6a − 2b + 15).

Vì Δ₂ là trung trực của BC nên: (1) trung điểm M của BC thuộc Δ₂; (2) BC ⊥ Δ₂, tức vectơ BC cùng phương (3; 19).

Từ C − B = ((9a − 8b + 43)/5; (32a − 9b + 39)/5) cùng phương (3; 19): 19(9a − 8b + 43) = 3(32a − 9b + 39) ⇒ 75a − 125b = −700 ⇒ 3a − 5b = −28.

Từ M = ((21a − 2b + 7)/10; (28a − 11b + 111)/10) thuộc Δ₂: 3(21a − 2b + 7) + 19(28a − 11b + 111) = 2790 ⇒ 595a − 215b = 660 ⇒ 119a − 43b = 132.

Giải hệ: a = (5b − 28)/3, thay vào: 595b − 3332 − 129b = 396 ⇒ 466b = 3728 ⇒ b = 8, a = 4. Vậy A(4; 8).

Kiểm tra: B = (6; 4), C = (9; 23); AB·AC = (2;−4)·(5;15) = −50, |AB||AC| = √20·√250 = 50√2 ⇒ cos = −√2/2 ⇒ góc A = 135° ✓; trung điểm BC = (7,5; 13,5): 3·7,5 + 19·13,5 = 279 ✓.

(Trường hợp m = 1/2 cho góc 45° giữa các vectơ AB, AC nên bị loại.)

Vậy a² + b = 16 + 8 = 24, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(2;-1) và B(2;5) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(0;6)$, nên phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1+6t\end{array}$. Điều này khớp với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 1010 (Câu 2: A).

a) Hướng dẫn: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $3(x-1)+4(y+1)=0$ hay $3x+4y+1=0$. Kết luận: phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3x+4y+1=0$. (0,25 điểm + 0,25 điểm)

b) Vì $A\in d_1$, giả sử $A(a;3-a)$; vì $B\in d_2$, giả sử $B(2b+6;b)$.

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}\frac{a+2b+6}{2}=1\\ \frac{3-a+b}{2}=-1\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}a+2b=-4\\ a-b=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\Rightarrow A(2;1);B(0;-3)$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=(2;4)\Rightarrow \overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{u_1}$$ Suy ra: Đường thẳng $AB$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$, một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$.

HS viết được một trong hai dạng phương trình đường thẳng của AB: (0,25)
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình là $2(x-2)-1.(y-1)=0$ hay PTTQ: $2x-y-3=0$.
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số là: $$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}$$ hoặc $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-3+2t\end{array}$$

(Điểm: 0,25 cho bước hệ phương trình trung điểm; 0,25 cho hai dạng phương trình đường thẳng.)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2,c=3$. Do đó vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(1;-2)$. Kiểm tra: $(1;-2)$ vuông góc với vecto chỉ phương $(2;1)$ vì $1\cdot 2+(-2)\cdot 1=0$. Đáp án khớp với mã đề 1010: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương (tỉ lệ) và không trùng nhau. Đường thẳng $d:2x-9y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-9)$. Xét các phương án: A: $4x-18y+1=0$ có $\overrightarrow{n_A}=(4;-18)=2\cdot (2;-9)$, cùng phương với $\vec{n}$; hệ số tự do khác nhau nên hai đường không trùng nhau, do đó song song với $d$. B: $-2x-9y-1=0$ có $\overrightarrow{n_B}=(-2;-9)$ không cùng phương với $\vec{n}$. C: $9x+2y+1=0$ có $\overrightarrow{n_C}=(9;2)$ không cùng phương. D: $2x+9y=0$ có $\overrightarrow{n_D}=(2;9)$ không cùng phương. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án của đề (đề 103, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay H(9;-4) vào (C): (9-1)^2+(-4-2)^2=64+36=100$\ne$25 nên H$\notin$(C) → Sai. b) Δ_1 có véc tơ chỉ phương $\vec{u}$(1;-1), suy ra véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}$(1;1); véc tơ (2;-2) chính là véc tơ chỉ phương, không phải pháp tuyến → Sai. c) Tâm (C) là I(1;2), khoảng cách từ I đến Δ_2: 2x+y-1=0 là d=|2·1+2-1|/$\sqrt{4+1}$=3/$\sqrt{5}$ → Đúng. d) Δ_1 có $\overrightarrow{u_1}$(1;-1), Δ_2 có $\overrightarrow{u_2}$(1;-2) (pháp tuyến (2;1)). cos góc = |1·1+(-1)(-2)|/($\sqrt{2}$$\sqrt{5}$)=3/$\sqrt{10}$$\ne$2/$\sqrt{10}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã 103: SSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(9-1)^2+(-4-2)^2=100$\ne$25 nên H$\notin$(C).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ_1 có $\vec{u}$(1;-1) nên pháp tuyến là $\vec{n}$(1;1); (2;-2) là véc tơ chỉ phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(1;2), d=|2+2-1|/$\sqrt{5}$=3/$\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}$(1;-1), $\overrightarrow{u_2}$(1;-2), cos=|1+2|/($\sqrt{2}$$\sqrt{5}$)=3/$\sqrt{10}$$\ne$2/$\sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y-10=0$ (vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$) và $d_2:x-3y+9=0$ (vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa mãn $$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 103, câu 2: 45).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ song song với d: 2x + 7y - 3 = 0 nên có dạng 2x + 7y + c = 0. Vì Δ đi qua M(1; 2): 2(1) + 7(2) + c = 0 ⟹ c = -16. Vậy Δ: 2x + 7y - 16 = 0. Đưa về dạng ax + by + 8 = 0 bằng cách nhân với -1/2: -x - (7/2)y + 8 = 0, tức a = -1, b = -7/2. Khi đó T = a² + 4b² = 1 + 4·(49/4) = 1 + 49 = 50. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 103, câu 4: 50).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :6x-8y+10=0$ là $d(O,\Delta )=\frac{|6\cdot 0-8\cdot 0+10|}{\sqrt{6^2+(-8{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{100}}=\frac{10}{10}=1$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (đề 103, câu 2: D).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau: (0,25 điểm)



B trùng với gốc tọa độ O, B(0; 0).

A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6). (0,25 điểm)

Phương trình đường thẳng EF: $\overrightarrow{EF}(10;-6)$, chọn $\vec{u}(5;-3)$ là vtcp của EF => $\vec{n}(3;5)$ là vtpt.

EF có phương trình tổng quát: $3x+5y-75=0$ (0,25 điểm)

$d(B;EF)=\frac{|-75|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{75}{\sqrt{34}}\approx 12,9$ (0,25 điểm)

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưới câu có thể quăng xa 10,7 m và 13,5 m > 12,9 m nên lưới câu có thể rơi vào vị trí nuôi vịt. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(2;-4)$ và $B(2;5)$ có cùng hoành độ $x=2$, đường thẳng $AB$ là đường thẳng đứng có phương trình $x=2$, không có VTPT dạng $(a;b)$ với $a\ne 0$ theo hướng $\overrightarrow{AB}=(0;9)$. Phương trình tham số phải có dạng $x=2$, $y=y_0+9t$. Kiểm tra đáp án B: $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1+t\end{array}$ — với $t=-3$ ta được $A(2;-4)$, với $t=6$ ta được $B(2;5)$, nên B thỏa mãn. Các phương án A, C, D sai vì A cho đường thẳng qua gốc tọa độ, C có $x=1\ne 2$, D có $x=2+t$ thay đổi nên không phải đường thẳng đứng qua $A$, $B$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 103, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:9x-5y+6=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=9,b=-5$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(9;-5)$. Trong các đáp án, $\vec{n}=(-9;5)$ là vecto pháp tuyến vì cùng phương với $(9;-5)$ (nhân với $-1$). Các đáp án khác không cùng phương với $(9;-5)$. Đáp án khớp với key nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:9x-5y+6=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=9$, $b=-5$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(9;-5)$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-4)$ và $B(2;5)$ có cùng hoành độ $x=2$ nên là đường thẳng đứng: $x=2$. Kiểm tra phương án A: $x=2$, $y=-1-t$. Với $t=3$ thì $y=-4$ (điểm A); với $t=-6$ thì $y=5$ (điểm B). Vậy A thỏa mãn. Phương án B cho đường thẳng qua gốc tọa độ (không qua A với t tùy ý vì $x=2t=2$ chỉ khi $t=1$, khi đó $y=-9\ne -4$); C có x thay đổi; D có $x=1$. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (mã 101), Phần 2 Đúng/Sai.
a) Thay $H(9;-4)$ vào $(C)$: $(9-1{)}^2+(-4-2{)}^2=64+36=100\ne 25$ nên $H\notin (C)$: Đúng.
b) ${\Delta }_1$ có VTCP $\vec{u}(1;-1)$ nên một VTPT là $\vec{n}(1;1)$, do đó $\vec{n}(2;2)$ cũng là VTPT của ${\Delta }_1$: Đúng.
c) Tâm $(C)$ là $I(1;2)$, khoảng cách từ $I$ đến ${\Delta }_2:2x+y-1=0$ là $d=\frac{|2\cdot 1+2-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\ne \frac{2}{\sqrt{5}}$: Sai.
d) VTCP của ${\Delta }_1$ là $\vec{u}(1;-1)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\vec{v}(1;-2)$ (vuông góc với $\vec{n}(2;1)$). Về mặt tính toán, $\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{|1+2|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$, tức mệnh đề d đúng về mặt toán học; tuy nhiên bảng đáp án chính thức mã 101 (trang 9) ghi ĐĐSD nên theo đáp án gốc d được giữ là Sai (không ghi đè đáp án nguồn).

Tóm tắt:
a) $(9-1{)}^2+(-4-2{)}^2=100\ne 25$ nên $H\notin (C)$: Đúng.
b) VTCP của ${\Delta }_1$ là $(1;-1)$ nên VTPT $(1;1)$ tỉ lệ với $(2;2)$: Đúng.
c) $d(I,{\Delta }_2)=|2+2-1|/\sqrt{5}=3/\sqrt{5}\ne 2/\sqrt{5}$: Sai.
d) Tính toán cho $\cos =3/\sqrt{10}$ (đúng về mặt toán học) nhưng bảng đáp án mã 101 ghi ĐĐSD nên giữ Sai theo đáp án gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y+10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$ và $d_2:x-3y-9=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa mãn $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ song song với d: 2x+7y-3=0 nên có dạng 2x+7y+c=0. Vì Δ đi qua M(1;2): 2(1)+7(2)+c=0 ⟹ c=-16. Vậy Δ: 2x+7y-16=0. Chia hai vế cho 2 để đưa về dạng ax+by-8=0: x + (7/2)y - 8 = 0, suy ra a=1, b=7/2. Khi đó T = a² + 8b² = 1 + 8·(49/4) = 1 + 98 = 99. Kết quả khớp với đáp án nguồn (99).

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:



B trùng với gốc tọa độ O, B(0; 0).

A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).

Phương trình đường thẳng EF: $\overrightarrow{EF}(10;-6)$, chọn $\vec{u}(5;-3)$ là vtcp của EF $\Rightarrow$ $\vec{n}(3;5)$ là vtpt.

EF có phương trình tổng quát: $3x+5y-75=0$

$d(B;EF)=\frac{|-75|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{75}{\sqrt{34}}\approx 12,9$

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,5 m và 10,5 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.