Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :6x-8y-10=0$ là $d(O,\Delta )=\frac{|6\cdot 0-8\cdot 0-10|}{\sqrt{6^2+(-8{)}^2}}=\frac{10}{10}=1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-9y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-9)$. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng tỉ lệ với nhau nhưng hai đường không trùng nhau. Xét các phương án:
- A: $9x+2y+1=0$ có $\overrightarrow{n_A}=(9;2)$, không tỉ lệ với $(2;-9)$ vì $9\cdot (-9)\ne 2\cdot 2$.
- B: $2x+9y=0$ có $\overrightarrow{n_B}=(2;9)$, không tỉ lệ với $(2;-9)$.
- C: $-2x-9y-1=0$ có $\overrightarrow{n_C}=(-2;-9)$, không tỉ lệ với $(2;-9)$ (tỉ số $-2/2=-1$ nhưng $-9/-9=1$).
- D: $-2x+9y+5=0$ có $\overrightarrow{n_D}=(-2;9)=-(2;-9)=-\vec{n}$, tỉ lệ với $\vec{n}$. Kiểm tra không trùng: thay điểm thuộc $d$, ví dụ $(5;1)$ (vì $2\cdot 5-9\cdot 1-1=0$) vào phương trình D: $-2\cdot 5+9\cdot 1+5=-10+9+5=4\ne 0$, nên hai đường thẳng không trùng nhau.
Vậy $d$ song song với đường thẳng ở phương án D, trùng với đáp án nguồn (đề mã 101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{BC}=(3;2)$, và đường thẳng $d:2x-3y+6=0$ có vectơ chỉ phương $(3;2)$ (vì VTCP tỉ lệ với $(-b;a)=(3;2)$), nên $\overrightarrow{BC}$ là một VTCP của $d$.
b) Sai: $d$ có hệ số góc $k=2/3$, góc giữa $d$ và trục $Ox$ là $\arctan (2/3)\approx 33,69^{\circ }$, nên góc giữa $d$ và trục $Oy$ là $90^{\circ }-33,69^{\circ }\approx 56,31^{\circ }\ne 45^{\circ }$. (Hoặc: $\cos \alpha =\frac{|(-3)\cdot 1|}{\sqrt{13}\cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{13}}\ne \cos 45^{\circ }$.)
c) Đúng: $d(A)=\frac{|2\cdot 2-3\cdot (-1)+6|}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$.
d) Đúng: Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $d$, khi đó $AH=\sqrt{13}$. Tam giác $AMN$ vuông tại $A$ và $AH\perp MN$ nên $AH$ là đường cao, $H$ là trung điểm $MN$, suyra $\widehat{MAH}=45^{\circ }$ và $R=AM=\frac{AH}{\cos 45^{\circ }}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{26}$. Vậy $(C):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=26$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đúng – Sai – Đúng – Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(3;2)$ trùng với VTCP $(3;2)$ của $d:2x-3y+6=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $d$ và trục $Oy$ bằng $90^{\circ }-\arctan (2/3)\approx 56,31^{\circ }$, không bằng $45^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A)=\frac{|4+3+6|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $AMN$ vuông cân tại $A$ nên $R=AH\sqrt{2}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{26}$, phương trình $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=26$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số $x=1+t$, $y=5+2t$. Suy ra VTCP của $\Delta$ là $\vec{u}=(1;2)$, do đó VTPT là $\vec{n}=(2;-1)$. Phương trình tổng quát của $\Delta$: $2(x-1)-1(y-5)=0\iff 2x-y+3=0$. Khoảng cách từ điểm $M(1;-7)$ đến $\Delta$: $d(M,\Delta )=\frac{|2\cdot 1-(-7)+3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2+7+3|}{\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\approx 5,3666\approx 5,37$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 2: 5,37).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:-3x+6y+2=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=-3$, $b=6$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(-3;6)$. Chia cả hai thành phần cho $-3$ ta được vectơ pháp tuyến tương đương $(1;-2)$. Kiểm tra: $(1;-2)$ không cùng phương với $(3;6)$, $(1;2)$, $(-3;2)$, nên chỉ đáp án C thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_a=(\sqrt{3};1)$ và $n_b=(-1;-\sqrt{3})$. Khi đó $\cos \theta =\frac{|\sqrt{3}\cdot (-1)+1\cdot (-\sqrt{3})|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $30^{\circ }$. Khớp với đáp án A của đề (Mã đề 102, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{MN}=(-1;-2)$, đường thẳng $d:2x-y+5=0$ có VTCP $(1;2)$, mà $(-1;-2)=-(1;2)$ nên $\overrightarrow{MN}$ là VTCP của $d$. b) Sai: hệ số góc $k=2$, góc giữa $d$ với trục $Ox$ là $\arctan 2\approx 63^{\circ }26^{\prime }\ne 45^{\circ }$. c) Sai: $d(A,d)=\frac{|2\cdot 2-(-1)+5|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$. d) Đúng: Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $d$, $AH=2\sqrt{5}$. Vì $△ABC$ vuông tại $A$ và $AB=AC=R$ (cùng bán kính) nên $H$ là trung điểm $BC$ và $A{H}^2=HB\cdot HC=H{B}^2\Rightarrow H{B}^2=20$. Suy ra $R^2=A{H}^2+H{B}^2=20+20=40$, phương trình $(C):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=40$. Khớp với đáp án nguồn: Đúng – Sai – Sai – Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(-1;-2)$ cùng phương với VTCP $(1;2)$ của $d$ (vì $(-1;-2)=-(1;2)$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d$ là $k=2$ nên góc với trục $Ox$ là $\arctan 2\approx 63^{\circ }26^{\prime }\ne 45^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,d)=\frac{|4+1+5|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $d$, $AH=2\sqrt{5}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm $BC$ và $A{H}^2=H{B}^2=20$; bán kính $R^2=A{H}^2+H{B}^2=40$, tức $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=40$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có phương trình tham số x=1+t, y=5+2t, suy ra vecto chỉ phương u=(1;2) và đi qua điểm P(1;5). Phương trình tổng quát: 2(x−1)−(y−5)=0 ⟺ 2x−y+3=0. Khoảng cách từ M(−2;3) đến Δ: d=|2·(−2)−3+3|/√(2²+(−1)²)=|−4|/√5=4/√5≈1,7889≈1,79. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2: 1,79).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:-2x+4y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=-2$, $b=4$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(-2;4)$. Nhân với $-\frac{1}{2}$ ta được ${\vec{n}}^{\prime }=(1;-2)$, cũng là một vectơ pháp tuyến của $d$. Kiểm tra các đáp án: A $(-4;2)$ có tích có hướng với $(-2;4)$ là $(-4)(4)-(2)(-2)=-12\ne 0$ (không cùng phương); B $(4;2)$ tương tự không cùng phương; D $(-2;5)$ không cùng phương. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_a=(\sqrt{3};-1)$ và $n_b=(1;-\sqrt{3})$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|\sqrt{3}\cdot 1+(-1)(-\sqrt{3})|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\theta =30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(2;-3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;5)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-3+5t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$). Kiểm tra: tại $t=0$ ta được điểm $A(2;-3)$ và hệ số của $t$ chính là toạ độ vectơ chỉ phương $(1;5)$. Khớp với đáp án A, cũng trùng với đáp án của đề 1002 trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $\Delta :4x-3y-1=0$, $d:2x+y-5=0$, $M(2;-1)$.

a) Đúng. $\overrightarrow{n_1}=(4;-3)$, $\overrightarrow{n_2}=(2;1)$.
$$\cos \phi =\frac{|4\cdot 2+(-3)\cdot 1|}{\sqrt{4^2+3^2}\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

b) Sai. Thay $M(2;-1)$ vào $d$: $2\cdot 2+(-1)-5=-2\ne 0$, nên $M$ không thuộc $d$.

c) Sai. Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(4;-3)$, không phải $(2;1)$ (đây là pháp tuyến của $d$).

d) Sai. $d(M,\Delta )=\frac{|4\cdot 2-3\cdot (-1)-1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2\ne \frac{11}{5}$.

Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002 (trang 7): 2a Đúng, 2b Sai, 2c Sai, 2d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos \phi =\frac{|4\cdot 2+(-3)\cdot 1|}{\sqrt{4^2+3^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay $M(2;-1)$ vào $d$: $2\cdot 2+(-1)-5=-2\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(4;-3)$; $(2;1)$ là pháp tuyến của $d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(M,\Delta )=\frac{|4\cdot 2-3\cdot (-1)-1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2\ne \frac{11}{5}$.

a) Đường thẳng đi qua điểm $A(3;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;1)$ có PTTQ là: $2(x-3)+1(y+2)=0\iff 2x+y-4=0$. (0,5 điểm: 0,25 + 0,25)

b) Xét dấu tam thức $f(x)=3x^2-2x-5$:
+ Bảng xét dấu:

+ Vậy $f(x)<0\forall x\in \left(-1;\frac{5}{3}\right)$; $f(x)>0\forall x\in (-\infty ;-1)\cup \left(\frac{5}{3};+\infty \right)$. (0,5 điểm: 0,25 + 0,25)

+ Đường thẳng $\Delta$ có PT: $d:x-2y+m=0$ (không cần $m\ne 5$, sau này có loại/thỏa là được). (0,25 điểm)
+ $d(M,\Delta )=\frac{|3-4+m|}{\sqrt{(-1{)}^2+2^2}}=3\sqrt{5}$. (0,25 điểm)
+ $|-1+m|=15\iff m=16,m=-14$. (0,25 điểm)
+ Kết luận đúng: $x-2y+16=0,x-2y-14=0$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta :Ax+By+C=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Phương án B thiếu giá trị tuyệt đối nên sai; C, D dùng $x,y$ thay cho tọa độ điểm $M(x_0;y_0)$ nên sai. Đáp án trùng với bảng đáp án (mã đề 1002, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=2+t,y=-1+3t$, hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-2y+2=0$ và $d_2:-3x+6y-6=0$. Chia $d_2$ cho $-3$ ta được $x-2y+2=0$, trùng hoàn toàn với $d_1$. Cách khác: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{-3}$, $\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{6}=\frac{1}{-3}$, $\frac{c_1}{c_2}=\frac{2}{-6}=\frac{1}{-3}$, cả ba tỉ số bằng nhau nên hai đường thẳng trùng nhau. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-2y+2=0$ và $d_2:-3x+6y-11=0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Nhân hai vế của $d_1$ với $-3$: $-3x+6y-6=0$, khác $-3x+6y-11=0$ (vì $-6\ne -11$), nên $d_1$ và $d_2$ không trùng nhau. Vậy $d_1\parallel d_2$: song song. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: đường thẳng $d:4x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_d=(4;3)$, không phải $(2;-1)$ (đó là pháp tuyến của $\Delta$). b) Đúng: ${\vec{n}}_{\Delta }=(2;-1)$, ${\vec{n}}_d=(4;3)$, nên $\cos \phi =\frac{|2\cdot 4+(-1)\cdot 3|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{16+9}}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. c) Đúng: thay $M(2;-1)$ vào $\Delta$: $2\cdot 2-(-1)-5=4+1-5=0$, nên $M\in \Delta$. d) Đúng: $d(M,d)=\frac{|4\cdot 2+3\cdot (-1)-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|8-3-2|}{5}=\frac{3}{5}$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 (1a S, 1b D, 1c D, 1d D).
a) Đường thẳng $d:4x+3y-2=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_d=(4;3)$, không phải $(2;-1)$. Vectơ $(2;-1)$ là pháp tuyến của $\Delta$. Vậy ý a) Sai.
b) ${\vec{n}}_{\Delta }=(2;-1)$, ${\vec{n}}_d=(4;3)$. Ta có $\cos \phi =\frac{|2\cdot 4+(-1)\cdot 3|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{16+9}}=\frac{|8-3|}{\sqrt{5}\cdot 5}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Vậy ý b) Đúng.
c) Thay $M(2;-1)$ vào phương trình của $\Delta$: $2\cdot 2-(-1)-5=4+1-5=0$. Vậy $M\in \Delta$, ý c) Đúng.
d) $d(M,d)=\frac{|4\cdot 2+3\cdot (-1)-2|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|8-3-2|}{5}=\frac{3}{5}$. Vậy ý d) Đúng.

a) Đường thẳng đi qua điểm $A(2;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2)$ có PTTQ là: $3(x-2)-2(y-1)=0\iff 3x-2y-4=0$. (0,5 điểm: 0,25 + 0,25)

b) Xét dấu tam thức bậc hai $f(x)=2x^2-3x-5$:
+ Bảng xét dấu:

+ Vậy $f(x)<0\forall x\in \left(-1;\frac{5}{2}\right)$; $f(x)>0\forall x\in (-\infty ;-1)\cup \left(\frac{5}{2};+\infty \right)$. (0,5 điểm: 0,25 + 0,25)