Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

+ Đường thẳng $\Delta$ có PT: $d:2x-y+m=0$ (không cần $m\ne 5$, sau này có loại/thỏa là được). (0,25 điểm)
+ $d(M,\Delta )=\frac{|6-2+m|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=2\sqrt{5}$. (0,25 điểm)
+ $|4+m|=10\iff m=6,m=-14$. (0,25 điểm)
+ Kết luận đúng: $2x-y+6=0,2x-y-14=0$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta :Ax+By+C=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, trong đó tọa độ $x_0,y_0$ của điểm $M$ được thay vào biểu thức $Ax+By+C$ và lấy giá trị tuyệt đối. Do đó phương án đúng là C. Điều này khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;5)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-3)$ có phương trình tham số: $x=1+2t$, $y=5-3t$ $(t\in \mathbb{R})$. Khớp đáp án A và với đáp án của đề (mã 1001, câu 7 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1+2t,y=3-t$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-1)$ (hệ số của $t$). Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $A(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta :5x-12y-6=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|5\cdot 1-12\cdot 1-6|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|5-12-6|}{13}=\frac{13}{13}=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(2-1;1-(-1))=(1;2)$. Vì $(1;2)$ không tỉ lệ với $(4;3)$ nên $(4;3)$ không phải vec tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ → Sai.
b) Thay $M(3;-2)$ vào $\Delta$: $3\cdot 3-4\cdot (-2)-17=9+8-17=0$ nên $M\in \Delta$ → Đúng.
c) $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-1)-17|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3+4-17|}{5}=\frac{10}{5}=2\ne 3$ → Sai.
d) Đường thẳng $AB$ qua $A(1;-1)$ với VTCP $(1;2)$: $2(x-1)-(y+1)=0\iff 2x-y-3=0$ → Đúng.
Kết quả (S, Đ, S, Đ) khớp đáp án nguồn Mã đề 1111.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-1;1-(-1))=(1;2)$, không cùng phương với $(4;3)$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$3(3)-4(-2)-17=9+8-17=0$ nên $M\in \Delta$, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|3+4-17|}{5}=2\ne 3$, Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(1;-1)$ với VTCP $(1;2)$: $2(x-1)-(y+1)=0\iff 2x-y-3=0$, Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ song song với d: 2x+y-7=0 nên có dạng 2x+y+c=0. Vì Δ đi qua M(3;2): 2·3+2+c=0 ⟹ c=-8. Vậy Δ: 2x+y-8=0. Giao với Ox (y=0): x=4 ⟹ A(4;0). Giao với Oy (x=0): y=8 ⟹ B(0;8). Diện tích tam giác OAB vuông tại O: S = ½·OA·OB = ½·4·8 = 16. Kết quả trùng với đáp án nguồn (16).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(-2;1)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(3;-1)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1-t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$). Kiểm tra: tại $t=0$ ta được điểm $A(-2;1)$, và vecto chỉ phương $(3;-1)$ đúng như đề bài. Phương án B sai vì đi qua điểm $(3;-1)$ chứ không phải $A(-2;1)$; C và D là phương trình tổng quát chứ không phải phương trình tham số. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

Đường thẳng ${\Delta }_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}(1;-2)$, đường thẳng ${\Delta }_2$ có VTPT $\overrightarrow{n_2}(3;-1)\Rightarrow \overrightarrow{u_2}(1;3)$ (0,25 điểm)

Do đó $\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|1.1-2.3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}.\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $({\Delta }_1,{\Delta }_2)=45^0$. (0,25 điểm)

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O\equiv C$, tia $Ox$ trùng tia $CH$, tia $Oy$ trùng tia $CA$.

Khi đó: $A(0;8),B(2;8),I(6;3)$. Phương trình đường $BC:4x-y=0$

Do đó: $d(I;BC)=\frac{|4.6-3|}{\sqrt{4^2+(-1{)}^2}}=\frac{21\sqrt{17}}{17}$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất là $d(I;BC)-R=\frac{21\sqrt{17}}{17}-2\approx 3,1m$.

(0,25 điểm; 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+2y-1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=2$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(3;2)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d_1:2x+3y+15=0$ là $a_1=-\frac{2}{3}$; của $d_2:x-2y-3=0$ là $a_2=\frac{1}{2}$. Vì $a_1\ne a_2$ nên hai đường thẳng cắt nhau. Kiểm tra vuông góc: $a_1\cdot a_2=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\ne -1$, nên chúng không vuông góc với nhau. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 9, Mã đề 1111: A).

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $BC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{BC}=(1;4)\Rightarrow \vec{n}=(4;-1)$. (0,25 điểm)
PT: $4(x-0)-1(y-1)=0\iff 4x-y+1=0$. (0,25 điểm)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $AC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{AC}=(2;1)\Rightarrow \vec{n}=(1;-2)$ (0,25 điểm)
PT: $1(x-1)-2(y+2)=0\iff x-2y-5=0$. (0,25 điểm)
3) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho độ dài đoạn $BM$ nhỏ nhất. (0,5 điểm)
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên đường thẳng AC. Ta tìm được $H\left(-\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left(-\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right)$ và $\overrightarrow{AC}=(2;1)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. Tương tự đề 1, vì $H$ nằm ngoài đoạn AC (0,25 điểm)
BM đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ trùng với đầu mút $A$. Kết luận: Điểm cần tìm là M(0;1) . (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có phương trình tham số x = -1 + 2t, y = 3 + 5t nên vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;5)$. Vectơ pháp tuyến vuông góc với $\vec{u}$: $\vec{n}=(5;-2)$ vì $2\cdot 5+5\cdot (-2)=0$. Kiểm tra các đáp án khác: $(2;5)$ trùng vectơ chỉ phương (C sai); $(-1;3)$ và $(3;-1)$ có tích vô hướng với $(2;5)$ lần lượt là $-2+15=13\ne 0$ và $6-5=1\ne 0$ nên không vuông góc. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 1002, câu 6: D).

Theo bảng đáp án chính thức (Hướng dẫn chấm, mã đề 1002, Câu 9) đáp án là D. Kiểm chứng: $\overrightarrow{AB}=(3-2;1-3)=(1;-2)$, nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n}=(2;1)$. Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;3)$: $2(x-2)+1(y-3)=0\iff 2x+y-7=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $(1;3)$ và $(2;5)$ theo hình vẽ. Hệ số góc $a=\frac{5-3}{2-1}=2$, nên phương trình $\Delta$: $y=2x+b$. Thay điểm $(1;3)$: $3=2+b\Rightarrow b=1$, tức $y=2x+1$. Ở tháng 12 ($x=12$): $y=2\cdot 12+1=25$ (km). Kết quả trùng với đáp án nguồn (25).

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $BC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{BC}=(4;1)\Rightarrow \vec{n}=(1;-4)$. (0,25 điểm)
PT: $1(x-1)-4(y-1)=0\iff x-4y+3=0$. (0,25 điểm)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $AC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{AC}=(3;2)\Rightarrow \vec{n}=(2;-3)$. (0,25 điểm)
PT: $2(x-0)-3(y-2)=0\iff 2x-3y+6=0$. (0,25 điểm)
3) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho độ dài đoạn $BM$ nhỏ nhất. (0,5 điểm)
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng AC. Theo tính toán, $H\left(\frac{10}{13};\frac{11}{13}\right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left(-\frac{3}{13};-\frac{2}{13}\right)$ và $\overrightarrow{AC}=(3;2)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=-\frac{1}{13}\overrightarrow{AC}$. Vì $k=-\frac{1}{13}<0$ nên $A$ nằm giữa $H$ và $C$. (0,25 điểm)
Với mọi $M$ thuộc đoạn AC, ta có $BM=\sqrt{B{H}^2+H{M}^2}$. BM nhỏ nhất khi HM nhỏ nhất. Vì $M$ chạy từ $A$ đến $C$ và $H$ nằm ngoài đoạn về phía $A$, nên HM nhỏ nhất khi $M\equiv A$. Kết luận: Điểm cần tìm là $M(1;1)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(3-2;1-3)=(1;-2)$, nên vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;1)$. Phương trình đường thẳng $AB$: $2(x-2)+1(y-3)=0\iff 2x+y-7=0$. Kiểm tra: $A(2;3)$: $4+3-7=0$; $B(3;1)$: $6+1-7=0$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có phương trình tham số x = -1 + 2t, y = 3 + 5t nên vecto chỉ phương là $\vec{u}=(2;5)$. Vecto pháp tuyến vuông góc với $\vec{u}$, ví dụ $\vec{n}=(5;-2)$ vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 5+5\cdot (-2)=10-10=0$. Kiểm tra các phương án: A $(3;-1)$ cho $2\cdot 3+5\cdot (-1)=1\ne 0$; B $(-1;3)$ cho $-2+15=13\ne 0$; C $(2;5)$ chính là vecto chỉ phương, không vuông góc. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Cosin của góc giữa hai đường thẳng bằng cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến (lấy giá trị dương vì góc giữa hai đường thẳng thuộc $[0^{\circ };90^{\circ }]$): $$\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ Đây chính là công thức ở phương án A. Phương án B sai tử số ($a{b}_1+a_2{b}_2$); C sai mẫu (tổng thay tích); D thiếu giá trị tuyệt đối nên có thể âm. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.