Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$, $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$ nên $\cos \theta =\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$. b) Đúng. Từ $d:3x+y-6=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$; từ $\Delta :2x-y+5=0$ có $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$. c) Đúng. $d(M,d)=\frac{|3\cdot 2+(-1)-6|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. d) Đúng. Giải hệ $3x+y=6$, $2x-y=-5$, cộng lại $5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$, $y=6-\frac{3}{5}=\frac{27}{5}$, nên $I\left(\frac{1}{5};\frac{27}{5}\right)$. Kết quả SĐĐĐ khớp đáp án mã đề 001.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc là $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $d:3x+y-6=0$ có $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$; từ $\Delta :2x-y+5=0$ có $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,d)=\frac{|3\cdot 2+(-1)-6|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $3x+y=6$, $2x-y=-5$ $\Rightarrow$ $x=\frac{1}{5}$, $y=\frac{27}{5}$, nên $I\left(\frac{1}{5};\frac{27}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì Δ song song với d: 3x+4y−1=0 nên b=4. Khoảng cách từ A(1;2) đến Δ: |3·1+4·2+c|/√(9+16)=|11+c|/5=2 ⇒ |11+c|=10 ⇒ c=−1 hoặc c=−21. Với c>−5 ta lấy c=−1. Vậy b+c=4+(−1)=3, khớp đáp án nguồn (mã đề 001, Phần III câu 1 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $6x+8y-1=0$ và $6x+8y-21=0$ song song (cùng hệ số $a=6,b=8$). Khoảng cách giữa chúng: $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-1-(-21)|}{\sqrt{36+64}}=\frac{20}{10}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(x_0;y_0)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}(a;b)$ có phương trình tham số dạng $x=x_0+at$, $y=y_0+bt$ $(t\in \mathbb{R})$, vì với $t=0$ điểm thuộc đường thẳng là $M$ và vecto $(x-x_0;y-y_0)=t(a;b)$ cùng phương với $\vec{u}$. Kiểm tra: tại $t=0$ ta được đúng điểm $M$; đạo hàm theo $t$ cho vecto chỉ phương $(a;b)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: C).

a) Đúng.
b) Đúng.
c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$
a) a) Đúng.
b) b) Đúng.
c) c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$

Đáp số: $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-5y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-5$. Vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(2;-5)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1002, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào hàm số $y=2x+1$: với $Q(0;1)$: $y(0)=2\cdot 0+1=1$ ✓ đúng. Với $M(3;5)$: $y(3)=7\ne 5$. Với $P(0;-3)$: $y(0)=1\ne -3$. Với $N(2;6)$: $y(2)=5\ne 6$. Vậy đồ thị đi qua điểm $Q(0;1)$, khớp với đáp án A của đề (mã đề 1002).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua M(x₀; y₀) với vecto chỉ phương u(a; b) có phương trình tham số dạng: điểm bất kỳ P(x; y) trên Δ thỏa MP = t·u, tức x = x₀ + at, y = y₀ + bt (t ∈ ℝ). Với t = 0 ta được đúng điểm M(x₀; y₀), và vecto chỉ phương tương ứng là (a; b). So sánh với các phương án: A sai dấu của x₀, y₀; B và D hoán vị vai trò của (x₀; y₀) và (a; b). Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 1001: C).

a) Đúng.
b) Đúng.
c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$
a) a) Đúng.
b) b) Đúng.
c) c) Đúng. Thay tọa độ điểm $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng không thỏa mãn.
d) d) Sai. Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1;2)$ và $O(0;0)$ có phương trình tham số là $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$

Đáp số: $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-5y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-5$. Một vecto pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n}=(a;b)=(2;-5)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề (Mã đề 1001, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1$, $b=-2$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(1;-2)$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: x - y = 0 có vectơ pháp tuyến n = (1; -1). Hình chiếu H của M(1; 2) lên Δ có dạng H = M + t·n = (1 + t; 2 - t). Vì H thuộc Δ nên (1 + t) - (2 - t) = 0 ⟹ 2t - 1 = 0 ⟹ t = 1/2. Suy ra H = (1 + 1/2; 2 - 1/2) = (3/2; 3/2). Kiểm tra: H thuộc Δ vì 3/2 - 3/2 = 0, và MH = (-1/2; 1/2) cùng phương với n = (1; -1). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):x-2y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$. a) Vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1)$ vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=2-2=0$, nên đúng. b) $({\Delta }^{\prime })$: $2x+y=0$ có pháp tuyến $(2;1)$, kiểm tra $1\cdot 1-(-2)\cdot 2=1+4=5\ne 0$ nên hai đường thẳng không song song, cắt nhau tại nghiệm của hệ $x-2y=-5$, $2x=-y$ (nghiệm $(-1;2)$), nên đúng. c) Thay $A(1;-2)$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $(\Delta )$ không đi qua $A$, sai. d) Khoảng cách từ $O$ đến $(\Delta )$ là $d=\frac{|5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\ne 5$, nên sai. Kết quả Đ-Đ-S-S khớp với đáp án nguồn (mã đề 1020).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\Delta )$ có $\vec{n}=(1;-2)$, nên $\vec{u}=(2;1)$ vuông góc với $\vec{n}$ là vectơ chỉ phương. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$({\Delta }^{\prime })$ có $\overrightarrow{n^{\prime }}=(2;1)$. Vì $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{1}$ nên hai đường không song song, cắt nhau (tại $(-1;2)$). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;-2)$: $1-2(-2)+5=10\ne 0$ nên $A\notin (\Delta )$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(\Delta ))=\frac{|5|}{\sqrt{1+4}}=\sqrt{5}\ne 5$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đường cao từ B là ${\Delta }_1:x+3y-18=0$ nên $AC\perp {\Delta }_1$, suy ra $AC$ có hệ số góc $3$, tức $A,C$ thuộc đường thẳng hệ số góc $3$. Gọi $A(a;b)$, đường thẳng $AC$: $y=3x+k$ với $k=b-3a$. Giao với $d:2x-y+5=0$ ta được $C=(5-b+3a;15-2b+6a)$.

Vì $\widehat{BAC}=135^{\circ }$ và slope của $AC$ là $3$, đường thẳng $AB$ có hệ số góc $m$ thỏa $\frac{m-3}{1+3m}=\pm 1$, cho $m=-2$ hoặc $m=\frac{1}{2}$.

Trung trực của $BC$ là ${\Delta }_2:3x+19y-279=0$ nên $BC\perp {\Delta }_2$ (hệ số góc $BC=\frac{19}{3}$) và trung điểm của $BC$ thuộc ${\Delta }_2$.

Xét $m=-2$: giao của $AB:y-b=-2(x-a)$ với ${\Delta }_1$ cho $B=\left(\frac{3b+6a-18}{5};\frac{108-3b-6a}{15}\right)$.

• Điều kiện $BC$ có hệ số góc $\frac{19}{3}$: $\frac{9b-32a-39}{8b-9a-43}=\frac{19}{3}\Rightarrow 3a-5b+28=0$.

• Điều kiện trung điểm $M$ của $BC$ thuộc ${\Delta }_2$: $3(x_B+x_C)+19(y_B+y_C)=558\Rightarrow 119a-43b=132$.

Giải hệ: $a=4,b=8$. Khi đó $B=(6;4)$, $C=(9;23)$, kiểm tra $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{2\cdot 5+(-4)\cdot 15}{\sqrt{20}\sqrt{250}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng $\widehat{BAC}=135^{\circ }$.

Trường hợp $m=\frac{1}{2}$ cho nghiệm không nguyên và góc tại $A$ tính theo tia thực tế không thỏa $135^{\circ }$, nên loại.

Vậy $a^2+b=4^2+8=24$, khớp với đáp án của đề.

a) Hướng dẫn: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $3(x-1)+4(y+1)=0$ hay $3x+4y+1=0$. Kết luận: phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3x+4y+1=0$. (0,25 điểm + 0,25 điểm)

b) Vì $A\in d_1$, giả sử $A(a;3-a)$; vì $B\in d_2$, giả sử $B(2b+6;b)$.

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}\frac{a+2b+6}{2}=1\\ \frac{3-a+b}{2}=-1\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}a+2b=-4\\ a-b=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\Rightarrow A(2;1);B(0;-3)$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=(2;4)\Rightarrow \overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{u_1}$$ Suy ra: Đường thẳng $AB$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$, một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$.

HS viết được một trong hai dạng phương trình đường thẳng của AB: (0,25)
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình là $2(x-2)-1.(y-1)=0$ hay PTTQ: $2x-y-3=0$.
+) Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số là: $$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}$$ hoặc $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-3+2t\end{array}$$

(Điểm: 0,25 cho bước hệ phương trình trung điểm; 0,25 cho hai dạng phương trình đường thẳng.)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình $3x+5y-15=0$: $M_1(5;0)$: $3\cdot 5+0-15=0$ (thuộc); $M_2(0;3)$: $0+15-15=0$ (thuộc); $M_4(-5;6)$: $-15+30-15=0$ (thuộc); $M_3(5;3)$: $15+15-15=15\ne 0$ (không thuộc). Vậy điểm không thuộc đường thẳng $d$ là $M_3(5;3)$, khớp đáp án D của đề (mã 1020).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-1)$ và $B(2;5)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(0;6)$, nên đây là đường thẳng đứng $x=2$. Phương trình tham số: $x=2$, $y=-1+6t$ (với $t$ bất kỳ). Kiểm tra: $t=0$ cho $A(2;-1)$, $t=1$ cho $B(2;5)$. Đáp án A khớp; đáp án khối 1020 cũng là A, nhất quán.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu $H$ của $M(1;2)$ lên đường thẳng $\Delta :x-y=0$ có dạng $H(t;t)$ (vì $H$ thuộc $\Delta$). Vecto $\overrightarrow{MH}$ vuông góc với $\Delta$ nên cùng phương với vecto pháp tuyến $(1;-1)$, tức $(t-1;t-2)=k(1;-1)$. Suy ra $t-1=-(t-2)\Rightarrow 2t=3\Rightarrow t=\frac{3}{2}$. Vậy $H\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, trùng với đáp án A (khớp với bảng đáp án mã đề 1010: câu 1 là A).