Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

Cho $(a_n)$ là dãy số được xác định bởi $a_1=2$ và $a_n=2a_{n-1}^2-1$, $\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2$.

Tính giới hạn ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2^{n-1}(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)\cdots (a_1+1)}{a_n}$.

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\left(n^2+1\right).x_1{x}_2\dots x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$

Với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, đặt $y_n=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}$.

a) Chứng minh rằng $x_n\ge 2^{n-1}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và dãy số $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.

b) Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n$ là một số vô tỉ.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=\alpha >0$ và $u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge n$ với mọi $n\ge 2$.

b) Chứng minh rằng dãy số $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{\sqrt{u_n^2+4u_n}+u_n}{2}\end{array}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$
Đặt $v_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{u_i^2}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Cho các dãy số $(x_n),(y_n),(z_n)$ được xác định bởi $x_1=3$, $y_1=4$, $z_1=5$ và
$$x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},y_{n+1}=\frac{y_n+z_n}{2},z_{n+1}=\frac{z_n+x_n}{2},\forall n\ge 1$$
(1) Chứng minh ba số $x_n,y_n,z_n$ là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 12 với mọi $n\ge 1$.
(2) Đặt $d_n=(x_n-y_n{)}^2+(y_n-z_n{)}^2+(z_n-x_n{)}^2$. Chứng minh dãy $(d_n)$ hội tụ và tính ${\lim }_{n\to \infty }{d}_n$.

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{9}{8}\\ 3(n+3{)}^2{x}_n=3n^2{x}_{n+1}-(2n+3)x_{n+1}{x}_n,\forall n\ge 1\end{array}$$
Tìm $\lim x_n$.

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:
$$\{\begin{array}{l}{a}_1=a\in \mathbb{R},\\ a_{n+1}=a_n+\frac{1-a_n^2}{n{a}_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$
a) Với $a=2$, chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Với $a>0$, chứng minh rằng $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}\ge n$ với mọi $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$.

Bài 1. (6,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, xét phương trình
$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}+\cdots +\frac{1}{n(x+n)}=1.$$
a) Chứng minh phương trình trên luôn có một nghiệm dương duy nhất $x_n$ với mỗi $n\ge 2$.
b) Đặt $y_n=n^{\frac{1}{2026}}(1-x_n),\forall n\ge 2$. Tính $\lim y_n$.

Cho một hình tam giác đều cạnh $a=40\text{ cm}$ (Hình a). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành $3$ đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ ra phía ngoài một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên; từ Hình c) ta tạo nên Hình d); từ Hình d) ta tạo nên Hình e); $\dots$ và cứ thế ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình Bông tuyết Koch.

Gọi $S_n$ là diện tích của hình ở bước thứ $n$ ($S_0$ là diện tích tam giác đều ban đầu). Tính giới hạn của diện tích hình thu được khi quá trình trên lặp lại vô hạn lần, tức là tính ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).