Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân lùi vô hạn có tổng $S=\frac{u_1}{1-q}=3$ và công bội $q=\frac{2}{3}$, nên $u_1=3\left(1-\frac{2}{3}\right)=1$. Số hạng tổng quát: $u_n=u_1{q}^{n-1}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim u_n=2024$ (hữu hạn) và $\lim v_n=-\infty$, ta có $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{2024}{-\infty }=0$. Cụ thể: $\left|\frac{u_n}{v_n}\right|=\frac{|u_n|}{|v_n|}\to \frac{2024}{+\infty }=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\sqrt{9n^2-n}=n\sqrt{9-\frac{1}{n}}$, $\sqrt{n+2}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}$ (cấp nhỏ hơn), mẫu $3n-2=n(3-\frac{2}{n})$. Do đó $\lim \frac{\sqrt{9n^2-n}-\sqrt{n+2}}{3n-2}=\lim \frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{1+\frac{2}{n}}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{3-0}{3}=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{an+2}{3n-1}=\frac{a}{3}$. Để giới hạn bằng 2 thì $\frac{a}{3}=2\Rightarrow a=6$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{n^2-1}-\sqrt{3n^2+2}=\frac{(n^2-1)-(3n^2+2)}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{3n^2+2}}=\frac{-2n^2-3}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{3n^2+2}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: tử số $\sim -2n$, mẫu số $\sim (1+\sqrt{3})n$, nên giới hạn bằng $\lim \frac{-2n}{1+\sqrt{3}}=-\infty$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $\lim u_n=+\infty$ thì với $n$ đủ lớn, $u_n>0$ và $u_n\to +\infty$, do đó $\frac{1}{u_n}\to 0$ (dương), không thể bằng $-\infty$. Vậy khẳng định D là SAI. Các khẳng định A, C đúng theo tính chất $\lim \frac{1}{u_n}=0$ khi $|u_n|\to +\infty$; khẳng định B đúng vì $-u_n\to -\infty$ khi $u_n\to +\infty$ và ngược lại. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15 — Tính các giới hạn dãy số:

1. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-7}{n^2+9n+2}=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=0$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu).

3. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-3n+1}{(2n+3)(n^2+7)}=\lim \frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\left(2+\frac{3}{n}\right)\left(1+\frac{7}{n^2}\right)}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$.

4. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-9n+2}{5n+9}=\lim \frac{n-9+\frac{2}{n}}{5+\frac{9}{n}}=+\infty$ (bậc tử lớn hơn bậc mẫu, hệ số dương).

5. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-2^n}{3^{n+2}+1}=\lim \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{9}=\frac{1}{9}$.

6. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{2n+1}-7^n}{2^{3n-1}+7^{n+1}}$. Chia tử và mẫu cho $8^n=2^{3n}$: $\frac{2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}{\frac{1}{2}+7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}$. Vì ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$ và ${\left(\frac{7}{8}\right)}^n\to 0$, giới hạn bằng $\frac{0-0}{\frac{1}{2}+0}=0$.

7. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2n^3+9n^2+1\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^3\left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)=-\infty$ vì $-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\to -2<0$.

8. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4n^2+2}-5n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\lim \frac{-21n^2+2}{n\left(\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}+5\right)}=\lim \frac{-21n+\frac{2}{n}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}+5}=-\infty$.

9. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}\right)=\lim \frac{(n^2+1)-(n^2+8n+2)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\lim \frac{-8n-1}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}\right)}=\frac{-8}{1+1}=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Tính từng giới hạn dãy số.

1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-7}{n^2+9n+2}=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=0$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu).

3) Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\left(2+\frac{3}{n}\right)\left(1+\frac{7}{n^2}\right)}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$.

4) Bậc tử ($n^2$) lớn hơn bậc mẫu ($n$) và hệ số dương nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-9n+2}{5n+9}=+\infty$.

5) Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{9+0}=\frac{1}{9}$.

6) Chia tử và mẫu cho $8^n=2^{3n}$ (cơ số lớn nhất): tử $\frac{2\cdot 4^n-7^n}{8^n}=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{7}{8}\right)}^n\to 0$; mẫu $\frac{2^{3n-1}+7^{n+1}}{8^n}=\frac{1}{2}+7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n\to \frac{1}{2}$. Vậy giới hạn bằng $\frac{0}{1/2}=0$.

7) $-2n^3+9n^2+1=n^3\left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)\to -\infty$ vì $-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\to -2<0$. Vậy giới hạn bằng $-\infty$.

8) Nhân liên hợp: $\sqrt{4n^2+2}-5n=\frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\frac{-21n^2+2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}$. Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\frac{-21+\frac{2}{n^2}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}+\frac{5}{n}}\to \frac{-21}{2+0}=-\frac{21}{2}$. Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4n^2+2}-5n\right)=-\frac{21}{2}$.

9) Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}=\frac{(n^2+1)-(n^2+8n+2)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\frac{-8n-1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\frac{-8-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}}\to \frac{-8}{1+1}=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Tính từng giới hạn dãy số.

1) Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2) Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-7}{n^2+9n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{0}{1}=0$.

3) Mẫu có bậc 3: $(2n+3)(n^2+7)=2n^3+6n^2+14n+21$. Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{6}{n}+\frac{14}{n^2}+\frac{21}{n^3}}=\frac{1}{2}$.

4) Tử bậc 2, mẫu bậc 1 nên giới hạn là $+\infty$. Cụ thể: $\frac{n^2-9n+2}{5n+9}=\frac{n-9+\frac{2}{n}}{5+\frac{9}{n}}\to +\infty$. Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-9n+2}{5n+9}=+\infty$.

5) Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{9+0}=\frac{1}{9}$.

6) Viết $2^{2n+1}=2\cdot 4^n$, $2^{3n-1}=\frac{1}{2}\cdot 8^n$, $7^{n+1}=7\cdot 7^n$. Chia tử và mẫu cho $8^n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}{\frac{1}{2}+7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}=\frac{0-0}{\frac{1}{2}+0}=0$.

7) $-2n^3+9n^2+1=n^3\left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)\to -\infty$ vì $-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\to -2<0$. Vậy giới hạn bằng $-\infty$.

8) Nhân với liên hợp: $\sqrt{4n^2+2}-5n=\frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\frac{-21n^2+2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}$. Mẫu cấp $n$, tử cấp $n^2$ với hệ số âm nên giới hạn bằng $-\infty$.

9) Nhân với liên hợp: $\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}=\frac{(n^2+1)-(n^2+8n+2)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\frac{-8n-1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-8-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}}=\frac{-8}{1+1}=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^4$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-3n^4+2n^2+5}{2n^4-7n^2+4n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{2}{n^2}+\frac{5}{n^4}}{2-\frac{7}{n^2}+\frac{4}{n^3}}=\frac{-3+0+0}{2-0+0}=-\frac{3}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15 – Tính các giới hạn dãy số:

1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-7}{n^2+9n+2}=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=0$.

3) Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\left(2+\frac{3}{n}\right)\left(1+\frac{7}{n^2}\right)}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$.

4) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-9n+2}{5n+9}=\lim \frac{n-9+\frac{2}{n}}{5+\frac{9}{n}}=+\infty$.

5) Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{9+0}=\frac{1}{9}$.

6) $\frac{2^{2n+1}-7^n}{2^{3n-1}+7^{n+1}}=\frac{2\cdot 4^n-7^n}{\frac{1}{2}\cdot 8^n+7\cdot 7^n}$. Chia tử và mẫu cho $8^n$ (số mũ lớn nhất): $\lim \frac{2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}{\frac{1}{2}+7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}=\frac{0-0}{\frac{1}{2}+0}=0$.

7) Vì $-2n^3+9n^2+1=n^3\left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)$ và $-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\to -2<0$, nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2n^3+9n^2+1\right)=-\infty$.

8) Nhân liên hợp: $\sqrt{4n^2+2}-5n=\frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\frac{-21n^2+2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-21n+\frac{2}{n}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}+5}=-\infty$.

9) Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}=\frac{(n^2+1)-(n^2+8n+2)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\frac{-8n-1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-8-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}}=\frac{-8}{1+1}=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng vì dãy hằng số $u_n=c$ có giới hạn bằng $c$. B sai vì khi $|q|>1$ thì $|q^n|=|q{|}^n\to +\infty$, do đó $q^n$ không có giới hạn bằng 0 (thực tế $\lim q^n=0$ chỉ khi $|q|<1$). C đúng vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$. D đúng vì với $k>1$ (kể cả $k>0$) thì $\frac{1}{n^k}\to 0$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a.n^2-3n}{9n^2+5}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a-\frac{3}{n}}{9+\frac{5}{n^2}}=\frac{a}{9}$. Theo đề bài $\frac{a}{9}=\frac{2}{3}$, suy ra $a=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $100^n=10^{2n}$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{100^{n+1}+3\cdot 99^n}{10^{2n}-2\cdot 98^{n+1}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{100+3{\left(\frac{99}{100}\right)}^n}{1-2\cdot 98{\left(\frac{98}{100}\right)}^n}=\frac{100+0}{1-0}=100$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15 — Tính các giới hạn dãy số:

1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-7}{n^2+9n+2}=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=0$ (tử cấp $n$, mẫu cấp $n^2$).

3) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-3n+1}{(2n+3)(n^2+7)}=\lim \frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\left(2+\frac{3}{n}\right)\left(1+\frac{7}{n^2}\right)}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$.

4) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-9n+2}{5n+9}=\lim \frac{n-9+\frac{2}{n}}{5+\frac{9}{n}}=+\infty$ (tử cấp $n^2$ trội hơn mẫu cấp $n$).

5) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-2^n}{3^{n+2}+1}=\lim \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1}{9}$ (do ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$, $\frac{1}{3^n}\to 0$).

6) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{2n+1}-7^n}{2^{3n-1}+7^{n+1}}$. Chia tử và mẫu cho $8^n=2^{3n}$ (cấp cao nhất ở mẫu): $\frac{2^{2n+1}}{8^n}=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$; $\frac{7^n}{8^n}={\left(\frac{7}{8}\right)}^n\to 0$; $\frac{2^{3n-1}}{8^n}=\frac{1}{2}$; $\frac{7^{n+1}}{8^n}=7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n\to 0$. Do đó giới hạn bằng $\frac{0-0}{\frac{1}{2}+0}=0$.

7) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2n^3+9n^2+1\right)=\lim \left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)n^3=-\infty$.

8) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4n^2+2}-5n\right)=\lim \frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\lim \frac{-21n^2+2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=-\infty$ (tử cấp $n^2$ hệ số âm, mẫu cấp $n$).

9) Nhân liên hợp: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}\right)=\lim \frac{-8n-1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\lim \frac{-8-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}}=\frac{-8}{2}=-4$.