Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

Giá trị của giới hạn $\lim \left(\sqrt[3]{n^3-2n^2}-n\right)$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có $\lim u_n=-3$. Giá trị của $\lim \frac{\sqrt{u_n^2+16}-5}{u_n^2+4u_n+3}$ bằng

Cho $L=\lim \sqrt{4+\frac{a{n}^2-1}{4+n^2}-\frac{1}{3^n}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ để $L$ là một số nguyên?

Các mệnh đề sau ĐÚNG hay SAI?

Bạn Nam thả một quả bóng cao su từ độ cao $15(m)$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng bốn phần năm độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển được (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Để trang trí cho một viên gạch lót nền hình vuông cạnh $a$ người ta làm như sau. Cho hình vuông $H_1$ có cạnh bằng $a$. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_2$. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông $H_2$ để được hình vuông $H_3$.



Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông $H_1,H_2,H_3,\dots ,H_n,\dots$ Gọi $S_n$ là diện tích của hình vuông $H_n$. Nếu $a=2$ thì tổng diện tích tất cả các hình vuông được tạo thành là phân số có dạng $\frac{a}{b};(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast })$, trong đó $\frac{a}{b}$ tối giản. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

(1,0 điểm) Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính là $R=6$ cm. Người ta vẽ đường tròn nội tiếp tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ rồi dựng tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$. Tiếp theo người ta vẽ đường tròn nội tiếp tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ rồi dựng tam giác đều $A_3{B}_3{C}_3$. Cứ tiếp tục quá trình như vậy. Gọi $S_1,S_2,S_3,...,S_n,...$ lần lượt là diện tích các tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,...,A_n{B}_n{C}_n,...$. Tính $S=S_1+S_2+...+S_n+...$.

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\dots ,C_n$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ $\left(i\in \{1,2,3,\dots ,n\}\right)$.
a) Tính cạnh của hình vuông $C_2$.
b) Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2025}{a^2}\left(S_1+S_2+\dots +S_n\right)$.

Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ tạo thành tam giác $A_2{B}_2{C}_2$, trung điểm của các cạnh tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ tạo thành tam giác $A_3{B}_3{C}_3$ … Gọi $P_1,P_2,P_3,...$ lần lượt là chu vi của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$, $A_3{B}_3{C}_3,...$. Tính tổng chu vi $P=P_1+P_2+P_3+...$

Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_n$ là độ cao mà quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(h_n)$.
b) Tính giới hạn của dãy số $(h_n)$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $(h_n)$.
c) Gọi $S_n$ là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ $n$. Tính $S_n$, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Từ độ cao $55,8\mathrm{m}$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Bạn Khánh Linh thả quả bóng cao su từ độ cao 8 m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{1}{3}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn

Từ độ cao $55,8\mathrm{m}$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất?

[Hình cần kiểm tra lại: p31_f2]

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,35212121… viết dạng phân số có dạng $\frac{m}{n}$ với $m;n$ là các số tự nhiên và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $n-3m$

Bạn Nhi muốn trang trí một góc cầu thang bằng cách tô màu các hình vuông như hình vẽ bên dưới. Biết góc cầu thang có dạng một tam giác vuông cân có cạnh 8m và bạn trang trí như sau:
- Lấy trung điểm cạnh huyền dựng 2 đoạn thẳng song song song hai cạnh tạo hình vuông (1) và tô màu nó.
- Phần trắng trên cùng và dưới cùng là 2 tam giác vuông cân và bạn lại tiếp tục thực hiện như ban đầu dựng hai hình vuông (2) và tô màu nó.
- Phần trắng trên cùng và dưới cùng là 2 tam giác vuông cân và bạn lại tiếp tục thực hiện như ban đầu dựng hai hình vuông (3) và tô màu nó.
Bạn Nhi tiếp tục quá trình như thế đến khi các hình vuông không thể tô được nữa thì tổng diện tích đã được tô màu là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông $ABCD$, ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông. Tìm tổng chu vi của dãy các hình vuông đó. $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\dots$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Ông An dự định dùng xen kẽ 2 màu vàng, xanh để sơn trang trí một bức tường hình chữ nhật theo cách sau: Đầu tiên dùng màu vàng sơn bức tường theo tấm bia hình chữ nhật $H_1$ có chiều dài, chiều rộng tính theo đơn vị mét lần lượt là $\sqrt{5}+1$ và 2, sau đó cắt hình $H_1$ thành một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của $H_1$ và hình chữ nhật $H_2$, rồi dùng màu xanh sơn tường theo hình $H_2$, … cứ tiếp tục quá trình như vậy cho đến khi hình chữ nhật tạo ra diện tích không đáng kể. Biết rằng tiền công để sơn mỗi mét vuông tường là 21 nghìn đồng. Hỏi ông An cần chuẩn bị tối đa bao nhiêu tiền công cho sơn? (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng nghìn)

Tính các giới hạn sau a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n+1-\sqrt{n^2+n}\right)$. b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2-n}-3n+1}{n^2+2}$

Cho dãy số $u_k=\frac{-5}{(k+2)\cdot (k+3)}$, với $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Đặt $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$.

Bạn Lượng thả một quả bóng cao su từ độ cao $3m$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, đơn vị: mét)?