Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $u_n=\frac{\frac{-2}{n}+3-2n^2}{3-\frac{2}{n}}$. Khi $n\to +\infty$, $\frac{-2}{n}\to 0$, $\frac{2}{n}\to 0$, nên $u_n\to \frac{3-2n^2}{3}\to -\infty$ vì $-2n^2\to -\infty$. Vậy $\lim u_n=-\infty$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\sqrt{4n^2+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}-\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{2-\frac{3}{n}}=\frac{2-0}{2}=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $I=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{5}{n^2}}+1}{4-\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{2+1}{4-1}=1$. Vậy $I=1$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n+1}-4}{\sqrt{n+1}+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}-\frac{4}{n}}{\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}+1}=\frac{0-0}{0+1}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+2n+2}-n=\frac{2n+2}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}\to \frac{2}{1+1}=1$. Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n+2}-n+2024\right)=1+2024=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-\sqrt{2n^2+1}}{4+3n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{\frac{4}{n}+3}=\frac{1-\sqrt{2}}{3}=\frac{a-\sqrt{b}}{c}.$$ Suy ra $a=1,b=2,c=3$ (đều nguyên dương). Vậy $a^2+b^2+c^2=1+4+9=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 65: Tính từng giới hạn dãy số.

a. Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{n+1}{n^2-2}=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0}=0$.

b. Bậc tử (3) lớn hơn bậc mẫu (2), chia cho $n^2$: $\frac{3n-\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}{2+\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}\to \frac{+\infty }{2}=+\infty$. Vậy giới hạn bằng $+\infty$.

c. Chia tử và mẫu cho $5^n$ (số hạng trội): $\lim \frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-{\left(\frac{4}{5}\right)}^n+1}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{4}{5}\right)}^n-1}=\frac{0-0+1}{0+0-1}=-1$.

d. Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{\frac{1}{3^n}+1}{\frac{4}{3^n}+1}=\frac{0+1}{0+1}=1$.

e. Chia tử và mẫu cho $n\sqrt{n}$: $\lim \frac{1-\frac{1}{n\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}+1}=\frac{1-0}{0+1}=1$.

f. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{n}}+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{0+0}{1+0}=0$.

g. Nhân với biểu thức liên hợp: $\sqrt{4n^2+5n}-2n=\frac{5n}{\sqrt{4n^2+5n}+2n}=\frac{5}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}+2}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

h. Nhân với biểu thức liên hợp: $\sqrt{2n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n}}}\to \frac{1}{0}=+\infty$.

i. Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^n}=1+\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=2-\frac{1}{2^n}\to 2$ (cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{2}$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 66: a) lim(n³+n²+n+1) = +∞ vì bậc cao nhất n³ → +∞ khi n → +∞. b) lim(−n²+n√n−1) = −∞ vì −n² trội (bậc 2 so với bậc 3/2 của n√n). c) Đặt A = ∛(1+2n−n³) − n. Nhân với liên hợp lập phương: A = [(1+2n−n³) − n³] / [∛(1+2n−n³)² + n·∛(1+2n−n³) + n²] = (1+2n−2n³)/[∛(1+2n−n³)² + n∛(1+2n−n³) + n²]. Tử số ~ −2n³; mẫu số: ∛(1+2n−n³) ~ −n nên mẫu ~ n² − n² + n² = n². Vậy lim A = lim(−2n³/n²) = −∞. d) lim(n+√(n²−n+1)) = +∞ vì cả hai số hạng đều dương và tiến ra +∞ (n → +∞, √(n²−n+1) ~ n → +∞).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 39, các hình vuông được tô màu xám có cạnh lần lượt là $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots$ (cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó). Vậy cạnh của hình vuông thứ $n$ là $\frac{1}{2^n}$, diện tích của nó là ${\left(\frac{1}{2^n}\right)}^2=\frac{1}{4^n}$.

Tổng diện tích tô màu là:
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\dots$$
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{4}$, công bội $q=\frac{1}{4}$, $|q|<1$, nên:
$$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}.$$

Vậy tổng diện tích chuột Mickey phải tô màu bằng $\frac{1}{3}$ (đơn vị diện tích). Kết quả phù hợp với hình vẽ: các hình vuông tô màu nằm gọn trong hình vuông lớn cạnh 1 và chiếm đúng một phần ba diện tích.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P=2,131313\dots =2+0,131313\dots$. Phần tuần hoàn $0,131313\dots$ là tổng cấp số nhân: $\frac{13}{100}+\frac{13}{100^2}+\frac{13}{100^3}+\cdots =\frac{\frac{13}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{13}{99}$. Vậy $P=2+\frac{13}{99}=\frac{198+13}{99}=\frac{211}{99}$. Kiểm tra: $\frac{211}{99}\approx 2,131313\dots$ đúng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\lim u_n=a$ (hữu hạn) và $\lim v_n=+\infty$, ta có $\lim \frac{1}{v_n}=0$. Do đó $\lim \frac{u_n}{v_n}=\lim u_n\cdot \lim \frac{1}{v_n}=a\cdot 0=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $|u_n-2|<\frac{1}{n^3}$, theo định lý kẹp: $2-\frac{1}{n^3}<u_n<2+\frac{1}{n^3}$. Vì $\lim \left(2-\frac{1}{n^3}\right)=\lim \left(2+\frac{1}{n^3}\right)=2$ nên $\lim u_n=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu:
- A đúng: dãy hằng $u_n=c$ có giới hạn bằng $c$.
- B sai: công thức đúng là $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$; khi $|q|>1$ thì $q^n$ tiến ra vô cực. Phát biểu trong đề cho điều kiện $|q|>1$, nên B là phát biểu sai.
- C đúng: $\lim \frac{1}{n}=0$.
- D đúng: với $k>1$ thì $\lim \frac{1}{n^k}=0$.
Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $L=\lim \frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n^3}}=\frac{0-0}{1+0}=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bậc tử và bậc mẫu của mỗi dãy:
- A: $\lim \frac{n^2-2}{5n+3n^2}=\frac{1}{3}\ne 0$.
- B: $\lim \frac{n^2-2n}{5n+3n^2}=\frac{1}{3}\ne 0$.
- C: $\lim \frac{1-2n}{5n+3n^2}=\lim \frac{\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n}}{\frac{5}{n}+3}=0$ (bậc tử 1 nhỏ hơn bậc mẫu 2).
- D: $\lim \frac{1-2n^2}{5n+3n^2}=-\frac{2}{3}\ne 0$.
Vậy chỉ dãy ở phương án C có giới hạn bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $I=\lim \frac{\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{0-0}{2+0+0}=0$. Vậy $I=0$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{2-n}{n+1}=\lim \frac{\frac{2}{n}-1}{1+\frac{1}{n}}=\frac{0-1}{1+0}=-1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{n-2}{3n+1}=\lim \frac{1-\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án A.