Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$, do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SBA}=60^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\alpha =\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $SA=2a$, $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$). Suy ra $\tan \alpha =\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$, do đó góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SAO}$. Ta có $AC=a\sqrt{2}$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tam giác $SAO$ vuông tại $O$: $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$. Khi đó $\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}=\frac{a\sqrt{3/2}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\widehat{SAO}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ bằng $60$ độ.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Giao điểm của $SC$ với $(ABC)$ là $C$, hình chiếu của $S$ là $A$, do đó góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $(ABCD)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $A^{\prime }C$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Vậy góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A^{\prime }C$ và $AC$, tức là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Hình chiếu của $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $C$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$), nên góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc $C^{\prime }AC$. Ta có $C{C}^{\prime }=a$, $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông), nên $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Do đó $\sin (C^{\prime }AC)=\frac{C{C}^{\prime }}{A{C}^{\prime }}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt đáy, góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\widehat{SBA}=30^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB,BC,BD$ đôi một vuông góc nên $BC\perp AB$ và $BC\perp BD$, suy ra $BC\perp (ABD)$; tương tự $AB\perp (BCD)$. Xét từng phương án:
- A: Góc giữa $CD$ và $(ABD)$: hình chiếu của $C$ lên $(ABD)$ là $B$, nên góc là $CDB$, không phải $CBD$ → sai.
- B: Góc giữa $AC$ và $(BCD)$: $AB\perp (BCD)$, hình chiếu của $A$ lên $(BCD)$ là $B$, nên góc giữa $AC$ và $(BCD)$ là góc $ACB$ → đúng.
- C: Góc giữa $AD$ và $(ABC)$: $BD\perp (ABC)$, hình chiếu của $D$ là $B$, góc là $DAB$, không phải $ADB$ → sai.
- D: Góc giữa $AC$ và $(ABD)$: $BC\perp (ABD)$, hình chiếu của $C$ là $B$, góc là $CAB$, không phải $CBA$ → sai.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BD\perp AB$ và $BD\perp BC$ nên $BD\perp (ABC)$. Do đó $B$ là hình chiếu của $D$ trên mặt phẳng $(ABC)$, hình chiếu của $AD$ lên $(ABC)$ là $AB$. Suy ra góc giữa $AD$ và $(ABC)$ là góc giữa $AD$ và $AB$, tức là góc $BAD$. Vậy đáp án C. (Phương án D của câu 38 nằm ở đầu trang 6: 'Góc giữa AD và mặt phẳng (ABC) là góc ADB' — sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp BC$ và $AB\perp BD$ với $BC,BD\subset (BCD)$ và cắt nhau tại $B$, suy ra $AB\perp (BCD)$. Do đó hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(BCD)$ là $B$, nên hình chiếu của $AC$ trên $(BCD)$ là $BC$. Vậy góc giữa $AC$ và mặt phẳng $(BCD)$ là góc giữa $AC$ và $BC$, tức là góc $ACB$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABCD)$ nên $C$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu $CA$ của nó trên mặt phẳng, tức là $\widehat{SAC}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp AC$ (đáy vuông tại $A$) và $AB\perp SC$ (do $SC\perp (ABC)$) nên $AB\perp (SCA)$. Hình chiếu của $SB$ lên $(SCA)$ là $SA$, do đó góc giữa $SB$ và $(SCA)$ là góc giữa $SB$ và $SA$, tức $\widehat{BSA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABCD)$ nên $BC$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBC}$. Tam giác $SBC$ vuông tại $C$ với $BC=8a$, $SC=\sqrt{79}a$, nên $\tan \widehat{SBC}=\frac{SC}{BC}=\frac{\sqrt{79}}{8}\approx 1,1110$, suy ra $\widehat{SBC}\approx 48,01^{\circ }$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $B^{\prime }D$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại $D$. Vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu vuông góc của $B^{\prime }$ trên $(ABCD)$, do đó $BD$ là hình chiếu của $B^{\prime }D$ trên $(ABCD)$. Vậy góc giữa $B^{\prime }D$ và $(ABCD)$ là góc $B^{\prime }DB$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $SAB$ cân tại $A$ ($SA=AB$, vì $SA\perp AB$ và tam giác vuông tại $A$ không thể cân tại $S$ hay $B$ một cách xác định — cân nghĩa là $SA=AB$), lại vuông tại $A$ nên góc $SBA=45^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu của SC lên (ABC) là AC, do đó góc giữa SC và (ABC) là $\angle SCA$. Tam giác ABC đều cạnh a nên AC = a. Tam giác SAC vuông tại A có $\tan (\angle SCA)=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a}=1$, suy ra $\angle SCA=45^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $AD=a$, $SA=a\sqrt{3}$, nên $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SDA}=60^{\circ }$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O$ là tâm đáy, do đó $SO\perp (ABCD)$. Hình chiếu của $A$ trên mp$(ABCD)$ là $A$ (thuộc mặt phẳng), hình chiếu của $S$ là $O$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mp$(ABCD)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu $OA$ của nó trên mặt phẳng, tức là góc $SAO$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì SA ⊥ (ABCD) nên đường cao của hình chóp là SA. Góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy là góc giữa SB và hình chiếu AB trên mặt đáy, tức góc SBA = 60°. Tam giác SAB vuông tại A có AB = a, nên SA = AB·tan60° = a√3. Vậy độ dài đường cao bằng a√3, đáp án C, khớp với đáp án nguồn.