Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh vuông góc với sông là $x$, cạnh song song là $y$ ($x,y>0$). Hàng rào: $2x+y=200\Rightarrow y=200-2x$ với $0<x<100$. Diện tích $S(x)=x(200-2x)=200x-2x^2$. $S^{\prime }(x)=200-4x=0\iff x=50$. Khi đó $S$ đạt max $=50\cdot 100=5000m^2$. Khớp đáp án nguồn 5000.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $C(x)=\frac{1}{2}x+4+\frac{8}{x}$ với $x>0$. Ta có $C^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{8}{x^2}$; $C^{\prime }(x)=0\iff x^2=16\iff x=4$ (vì $x>0$). Với $0<x<4$ thì $C^{\prime }(x)<0$, với $x>4$ thì $C^{\prime }(x)>0$, nên $C(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $C(4)=2+4+2=8$ (triệu đồng/tạ). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 8.

Gọi 2x (cm) là độ dài cạnh thuộc đường kính và y (cm) là độ dài cạnh còn lại
$0<x<24,0<y<24$
$x^2+y^2=24^2\iff y=\sqrt{24^2-x^2}$
Diện tích là
$f(x)=2x\sqrt{24^2-x^2}$
$f^{\prime }(x)=0\iff x=12\sqrt{2}$
Giá trị lớn nhất là $576c{m}^2$

Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt
$0<x<40$
Cạnh đáy là 80-2x
Thể tích hộp là $V(x)=(80-2x{)}^{2}x$
$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{40}{3}$
Vậy cabhj hình vuông bị cắt là $\frac{40}{3}cm$ (ghi chú: 'cabhj' là lỗi đánh máy trong nguồn, ý là 'cạnh')

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy in ($1\le x\le 13$, $x\in \mathbb{Z}$). a) Chi phí cài đặt và bảo dưỡng: $48000x=48x$ nghìn đồng → đúng. b) Mỗi giờ in được $12x$ ấn phẩm → đúng. c) Thời gian in xong 2280 ấn phẩm: $\frac{2280}{12x}=\frac{190}{x}$ giờ → đúng. d) Tổng chi phí: $f(x)=48x+28\cdot \frac{190}{x}=48x+\frac{5320}{x}$ (nghìn đồng). Nghiệm liên tục: $x^2=\frac{5320}{48}\approx 110,83\Rightarrow x\approx 10,53$. So sánh giá trị nguyên: $f(10)=480+532=1012$; $f(11)=528+\frac{5320}{11}\approx 528+483,64=1011,64$. Vậy chi phí nhỏ nhất tại $x=11$ máy, không phải 10 máy → d sai. Khớp đáp án nguồn (2a=D, 2b=D, 2c=D, 2d=S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí cài đặt và bảo dưỡng: $48000x$ đồng $=48x$ nghìn đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi máy in 12 ấn phẩm/giờ nên $x$ máy in được $12x$ ấn phẩm/giờ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian $=\frac{2280}{12x}=\frac{190}{x}$ giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $f(x)=48x+\frac{5320}{x}$; so sánh $f(10)=1012$ và $f(11)\approx 1011,64$ nên chi phí nhỏ nhất tại $x=11$ máy, không phải 10 máy.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: H(x)=x·P(x)−C(x)=x(45−0,001x²)−(100+30x)=−0,001x³+15x−100, nên a đúng. H'(x)=15−0,003x²=0 ⟹ x²=5000 ⟹ x=50√2≈70,7 (thuộc [0;100]), H”(x)=−0,006x<0 nên lợi nhuận lớn nhất, b đúng. C(10)=100+30·10=400 triệu đồng, c đúng. Tiền thu được khi bán 10 tấn: 10·P(10)=10(45−0,001·100)=10·44,9=449 triệu đồng ≠ 600 triệu đồng, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
H(x)=x·P(x)−C(x)=45x−0,001x³−100−30x=−0,001x³+15x−100.
b) (AI giải đề cho tôi)
H'(x)=15−0,003x²=0 ⟹ x=50√2≈70,7 tấn; H”(x)<0 nên lợi nhuận lớn nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
C(10)=100+30·10=400 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiền thu được: 10·P(10)=10(45−0,1)=449 triệu đồng, không phải 600 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(t)=\frac{100t}{100+t^2}$ với $t\ge 0$. Ta có $g^{\prime }(t)=\frac{100(100+t^2)-100t\cdot 2t}{(100+t^2{)}^2}=\frac{100(100-t^2)}{(100+t^2{)}^2}$. Cho $g^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=10$ (vì $t\ge 0$). Với $0\le t<10$ thì $g^{\prime }(t)>0$, với $t>10$ thì $g^{\prime }(t)<0$, nên $g(t)$ đạt cực đại (và là GTLN) tại $t=10$: $g(10)=\frac{100\cdot 10}{100+100}=5$. Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất là $N(10)=1200+5=1205$ con.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=5^x$, với $x\in [0;1]$ thì $t\in [1;5]$. Khi đó $f=t+\frac{5}{t}$. Xét $g(t)=t+\frac{5}{t}$ trên $[1;5]$: $g^{\prime }(t)=1-\frac{5}{t^2}=0\Rightarrow t=\sqrt{5}$. Ta có $g(1)=6$, $g(5)=6$, $g(\sqrt{5})=2\sqrt{5}$. Vậy max $f=6$, min $f=2\sqrt{5}$, tổng bằng $6+2\sqrt{5}$, tức $m=6,n=5$. Do đó $P=\frac{m}{n+3}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75$.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình: $\overline{F}(x)=\frac{F(x)}{x}=\frac{60000+250x}{x}=\frac{60000}{x}+250$ với $x>0$. Ta có ${\overline{F}}^{\prime }(x)=-\frac{60000}{x^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó $\overline{F}(x)$ không có giá trị lớn nhất, nhưng giá trị nhỏ nhất (chi phí trung bình tối thiểu) khi $x\to +\infty$ là ${\lim }_{x\to +\infty }\overline{F}(x)=250$ (nghìn đồng). Đề hỏi chi phí trung bình tối đa để sản xuất một sản phẩm, theo đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2 = 250), kết luận là 250.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình: $\overline{F}(x)=\frac{F(x)}{x}=\frac{60000}{x}+250$ với $x>0$. Ta có ${\overline{F}}^{\prime }(x)=-\frac{60000}{x^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Do đó giá trị nhỏ nhất (chi phí trung bình thấp nhất) của $\overline{F}(x)$ là ${\lim }_{x\to +\infty }\overline{F}(x)=250$ (nghìn đồng), đạt khi sản xuất số sản phẩm rất lớn. Lưu ý: đề dùng từ 'tối đa' nhưng theo bản chất bài toán và đáp án nguồn (250), giá trị cần tìm là 250 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất: $C(x)=3+0,15x+0,0003x^2$ (triệu đồng), với $0<x\le 200$.
a) $C(100)=3+0,15\cdot 100+0,0003\cdot 100^2=3+15+3=21$ triệu đồng $\ne 20$ triệu đồng → Sai.
b) $\bar{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3+0,15x+0,0003x^2}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$ → Đúng.
c) $C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, hằng số là 3 chứ không phải 5 → Sai.
d) ${\bar{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\Rightarrow x^2=10000\Rightarrow x=100$ (thỏa $0<x\le 200$). Vì ${\bar{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\bar{c}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100$, khi đó $\bar{c}(100)=0,03+0,15+0,03=0,21$ triệu đồng → Đúng.
Khớp đáp án nguồn (trang 8): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(100)=3+0,15\cdot 100+0,0003\cdot 100^2=3+15+3=21$ triệu đồng, không phải 20 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{c}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{3+0,15x+0,0003x^2}{x}=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(x)=0,0003x^2+0,15x+3$, hằng số là 3 chứ không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{c}}^{\prime }(x)=0,0003-\frac{3}{x^2}=0\Rightarrow x=100$ (thỏa $0<x\le 200$); ${\bar{c}}^{\prime \prime }(x)=\frac{6}{x^3}>0$ nên $\bar{c}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=100m^3$, $\bar{c}(100)=0,21$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bán kính đáy là $r$, chiều cao $h$ (m). Thể tích: $\pi r^{2}h=2\pi \Rightarrow r^{2}h=2\Rightarrow h=\frac{2}{r^2}$ với $r>0$. Diện tích thép (hình trụ có nắp đáy): $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{4\pi }{r}$. Xét $f(r)=2\pi r^2+\frac{4\pi }{r}$, có $f^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{4\pi }{r^2}$. Cho $f^{\prime }(r)=0\Rightarrow r^3=1\Rightarrow r=1$, khi đó $h=2$. Vì $f^{\prime }(r)<0$ khi $r<1$ và $f^{\prime }(r)>0$ khi $r>1$ nên $r=1$ cho giá trị nhỏ nhất $S_{\min }=2\pi +4\pi =6\pi$ (m²). Chi phí thấp nhất: $6\pi \times 506=3036\pi \approx 9537,81$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $SB=x$ với $0\le x\le 4$, khi đó $AS=4-x$ và $SC=\sqrt{x^2+B{C}^2}=\sqrt{x^2+1}$ (do $BC\perp AB$). Chi phí: $f(x)=3000(4-x)+5000\sqrt{x^2+1}$. Ta có $f^{\prime }(x)=-3000+\frac{5000x}{\sqrt{x^2+1}}=0\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{3}{5}\Rightarrow 25x^2=9(x^2+1)\Rightarrow 16x^2=9\Rightarrow x=\frac{3}{4}$ (thỏa $0\le x\le 4$). Vì $f^{\prime \prime }(x)=\frac{5000}{(x^2+1{)}^{3/2}}>0$ nên $x=\frac{3}{4}$ là điểm cực tiểu toàn cục. Vậy $AS=4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}km$. So sánh với hai đầu: $f(0)=17000$, $f(4)=5000\sqrt{17}\approx 20615$, còn $f(3/4)=9000+5000\cdot \frac{5}{4}=15250$ USD — nhỏ nhất. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (cm) là cạnh hình vuông cắt ở mỗi góc, với $0<x<10$. Khi gấp lại, hộp có đáy là hình vuông cạnh $20-2x$ và chiều cao $x$, nên thể tích $V(x)=x(20-2x{)}^2$. Ta có $V^{\prime }(x)=(20-2x{)}^2-4x(20-2x)=(20-2x)(20-6x)$. Trên $(0;10)$, $V^{\prime }(x)=0$ khi $x=\frac{10}{3}$. Với $0<x<\frac{10}{3}$ thì $V^{\prime }(x)>0$, với $\frac{10}{3}<x<10$ thì $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{10}{3}$. Vậy cạnh hình vuông nhỏ cần cắt là $\frac{10}{3}$ cm, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 1702, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông nhỏ cắt ở mỗi góc là $x$ cm với $0<x<10$. Sau khi gấp, hộp có đáy hình vuông cạnh $20-2x$ và chiều cao $x$, nên thể tích $V(x)=x(20-2x{)}^2$. Ta có $V^{\prime }(x)=(20-2x)(20-6x)$; trên $(0;10)$, $V^{\prime }(x)=0$ khi $x=\frac{10}{3}$. Với $0<x<\frac{10}{3}$ thì $V^{\prime }(x)>0$, với $\frac{10}{3}<x<10$ thì $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{10}{3}$. Vậy cạnh hình vuông nhỏ cần cắt là $\frac{10}{3}$ cm, khớp đáp án B (đáp án của đề, mã 1701, câu 12: B).

Trả lời: 80,6. Vẽ $AC\perp BF$. Ta có $CF=20m,BC=30m$. Suy ra $EF=AC=40m$. Gọi $D$ là điểm ở bờ hồ $EF$ mà các đội đến lấy nước. Đặt $ED=x$ thì $DF=40-x$; $AD=\sqrt{x^2+400}$; $BD=\sqrt{(40-x{)}^2+2500}$. Quãng đường mỗi lượt các đội phải đi là $s=AD+BD=\sqrt{x^2+400}+\sqrt{(40-x{)}^2+2500}$. Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+400}+\sqrt{(40-x{)}^2+2500}(0\le x\le 40)$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+400}}-\frac{40-x}{\sqrt{(40-x{)}^2+2500}}$; $f^{\prime }(x)=0\iff \frac{x}{\sqrt{x^2+400}}=\frac{40-x}{\sqrt{(40-x{)}^2+2500}}\iff 2500x^2-[20(40-x){]}^2=0\iff x\approx 11,4$. Lập bảng biến thiên, ta thấy $s$ nhỏ nhất là khoảng $80,6m$ khi $x\approx 11,4m$. Vậy đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là khoảng $80,6m$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ mét vải là $220x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận: $$L(x)=220x-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500,1\le x\le 18.$$ Xét $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x^2-2x-80)=-3(x-10)(x+8)$. Trên $[1;18]$, $L^{\prime }(x)>0$ khi $1\le x<10$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $10<x\le 18$, nên $L(x)$ đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=10$. Khi đó $$L(10)=-1000+300+2400-500=1200.$$ Vậy lợi nhuận tối đa trong một ngày là $1200$ nghìn đồng, đạt khi sản xuất và bán $10$ mét vải. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1200).

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Vì $C$ đi qua $A(0;8)$ nên $d=8$. Thay ba điểm còn lại: $8a+4b+2c=-2,6$; $125a+25b+5c=-1,25$; $512a+64b+8c=-8$. Giải hệ được $a=-0,1;b=1,05;c=-3$. Vậy $f(x)=-0,1x^3+1,05x^2-3x+8$ (kiểm tra $f(8)=0$ đúng). Đường thẳng $d:13x+9y-169=0$. Khoảng cách từ $M(x;f(x))\in C$ (với $0\le x\le 8$) đến $d$ là $\frac{|h(x)|}{\sqrt{250}}$ với $h(x)=13x+9f(x)-169=-0,9x^3+9,45x^2-14x-97$. Ta cần $|h(x)|$ nhỏ nhất trên $[0;8]$. $h^{\prime }(x)=-2,7x^2+18,9x-14=0\Rightarrow x=\frac{18,9\pm \sqrt{206,01}}{5,4}$, tức $x\approx 0,84$ hoặc $x\approx 6,16$. Tính: $|h(0)|=97$, $|h(0,84)|\approx 102,6$, $|h(6,16)|\approx 35,0$, $|h(8)|=65$. Vậy $|h|$ nhỏ nhất tại $x=\frac{18,9+\sqrt{206,01}}{5,4}\approx 6,1576$, khoảng cách nhỏ nhất $\approx \frac{35,0}{\sqrt{250}}\approx 2,21$. Hoành độ của $M$ là $x\approx 6,16$, khớp với đáp án 6,16.

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi cắt, cạnh đáy của lăng trụ là $a=60-2x$ (mỗi cạnh bị cắt bớt $x$ ở hai đầu), chiều cao lăng trụ là $h=x$, với $0<x<30$.

Thể tích khối lăng trụ lục giác đều:
$$V(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h=\frac{3\sqrt{3}}{2}(60-2x{)}^{2}x.$$

Xét $f(x)=x(60-2x{)}^2$ trên $(0;30)$:
$$f^{\prime }(x)=(60-2x{)}^2+x\cdot 2(60-2x)(-2)=(60-2x)(60-6x).$$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=30$ (loại) hoặc $x=10$.

Với $0<x<10$: $f^{\prime }(x)>0$; với $10<x<30$: $f^{\prime }(x)<0$. Vậy $f(x)$ đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $x=10$.

Kết luận: $x=10$ cm để thể tích lăng trụ lớn nhất (đúng với đáp án nguồn).

Gọi $S(x)$ là diện tích mặt ngang ứng với bề ngang $x$ (cm) của phần gấp hai bên, ta có:

$$S(x)=x(32-2x),\text{ với }0<x<16.$$

Diện tích mặt ngang lớn nhất khi hàm số $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $(0;16)$.

Ta có: $S(x)=-2x^2+32x=-2(x-8{)}^2+128\le 128,\forall x\in (0;16)$.

$$\Rightarrow \max S(x)=S(8)=128.$$

Vậy $x=8$ cm thì diện tích mặt ngang lớn nhất.