Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh còn lại của đáy là $xcm$ $(x>0)$, chiều cao bể là $h=\frac{16000}{80x}=\frac{200}{x}cm$. Đổi đơn vị: diện tích đáy $=80xc{m}^2=\frac{80x}{10^4}{m}^2$; diện tích mặt bên $=2(80+x)\cdot \frac{200}{x}c{m}^2=\frac{400(80+x)}{10^{4}x}{m}^2$. Chi phí: $C(x)=100000\cdot \frac{80x}{10^4}+80000\cdot \frac{400(80+x)}{10^{4}x}=800x+\frac{256000}{x}+3200$ (đồng). Theo AM-GM, $C(x)\ge 2\sqrt{800\cdot 256000}+3200=2\sqrt{204800000}+3200\approx 28621,7+3200\approx 31821,7$ đồng, dấu bằng khi $800x=\frac{256000}{x}\iff x=\sqrt{320}\approx 17,89cm$. Vậy chi phí thấp nhất $\approx 31821,7$ đồng, làm tròn đến hàng nghìn là $32$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$ (m), chiều cao $h$ (m). Thể tích $2x^{2}h=36\Rightarrow x^2=\frac{18}{h}$. Diện tích bể (không nắp): $S=2x^2+2(2xh)+2(xh)=2x^2+6xh=\frac{36}{h}+6h\sqrt{\frac{18}{h}}=\frac{36}{h}+18\sqrt{2}\sqrt{h}$. Xét $f(h)=\frac{36}{h}+18\sqrt{2}{h}^{1/2}$ với $h>0$. $f^{\prime }(h)=-\frac{36}{h^2}+9\sqrt{2}{h}^{-1/2}=0\Rightarrow 9\sqrt{2}{h}^{3/2}=36\Rightarrow h^{3/2}=2\sqrt{2}\Rightarrow h=2$. Vì $f^{\prime }(h)<0$ khi $h<2$ và $f^{\prime }(h)>0$ khi $h>2$, chi phí thấp nhất tại $h=2$ m (khi đó $x=3$, $S=18+36=54$ m²). Vậy chiều cao bể là $2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận khi bán $x$ máy là $P(x)=x\left[p(x)-c(x)\right]=x\left(4000-10x-x^2+70x-400-\frac{1000}{x}\right)=-x^3+60x^2+3600x-1000$, với $1\le x\le 200$, $x\in \mathbb{N}$.

$P^{\prime }(x)=-3x^2+120x+3600=-3(x^2-40x-1200)$. Cho $P^{\prime }(x)=0$: $x^2-40x-1200=0\Rightarrow x=60$ hoặc $x=-20$ (loại).

Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<60$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>60$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại $x=60$. Khi đó $P(60)=-216000+216000+216000-1000=215000$ (nghìn đồng), lớn nhất.

Vậy doanh nghiệp nên bán $60$ máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi k là số lần tăng giá, mỗi lần tăng 4 nghìn đồng/kg (k nguyên, k≥0). Giá bán: 50+4k (nghìn đồng/kg). Số cá thừa: 20k kg, nên số cá bán cho thương lái: 2000−20k kg (điều kiện 0≤k≤100). Doanh thu mỗi ngày: T(k)=(50+4k)(2000−20k)+12·20k = 100000 −1000k +8000k −80k² +240k = 100000+7240k−80k². Đây là tam thức bậc hai với a=−80<0, có đỉnh tại k=7240/160=45,25. Vì k nguyên nên xét k=45: T=100000+325800−162000=263800; k=46: T=100000+333040−169280=263760. Vậy T lớn nhất tại k=45, tức giá bán 50+4·45=230 nghìn đồng/kg, doanh thu lớn nhất 263800 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí mỗi ngày: $C(x)=1000000+2000x+100x^2$ (đồng). Doanh thu: $30000x$ (đồng). Lợi nhuận: $P(x)=30000x-(1000000+2000x+100x^2)=-100x^2+28000x-1000000$, với $0\le x\le 200$. $P^{\prime }(x)=-200x+28000=0\Rightarrow x=140$. Vì $P^{\prime \prime }(x)=-200<0$ nên $P$ đạt cực đại tại $x=140$, thuộc $[0;200]$. Vậy cơ sở nên sản xuất 140 bình mỗi ngày để lợi nhuận lớn nhất ($P(140)=960000$ đồng).

Gọi $x\left(27<x<31\right)$ là giá bán mới của doanh nghiệp (triệu đồng). Số lượng tủ lạnh bán tăng thêm $\frac{31-x}{0,5}.100=6200-200x$. Lợi nhuận $T=\left(x-27\right).\left(600+6200-200x\right)=\left(x-27\right).\left(6800-200x\right)$ $\Rightarrow T=-200x^2+12200x-171400$ đỉnh $\left(30,5;14650\right)$. Theo bảng biến thiên để lợi nhuận cao nhất thì giá bán sẽ là 30,5 triệu đồng 1 chiếc. Kết quả: 30,5

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: bán 220 nghìn đồng/mét nên B(x)=220x. b) Sai: L(x)=B(x)−C(x)=220x−(x³−3x²−20x+500)=−x³+3x²+240x−500, không phải 220x−500. c) Đúng: L'(x)=−3x²+6x+240=0 ⇔ x²−2x−80=0 ⇔ x=10 (nhận, x=−8 loại); L'(x)>0 với x<10 và <0 với x>10 nên x=10 cho lợi nhuận tối đa trên [1;18]. d) Sai: L(10)=−1000+300+2400−500=1200 nghìn đồng, lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng chứ không phải 1000.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán 220 nghìn đồng/mét nên B(x)=220x (nghìn đồng).
b) (AI giải đề cho tôi)
L(x)=B(x)−C(x)=220x−(x³−3x²−20x+500)=−x³+3x²+240x−500, hệ số của x phải là 240x chứ không phải 220x.
c) (AI giải đề cho tôi)
L'(x)=−3x²+6x+240=0 ⇔ x=10 (x=−8 loại). L tăng trên [1;10) và giảm trên (10;18] nên x=10 cho lợi nhuận tối đa.
d) (AI giải đề cho tôi)
L(10)=−1000+300+2400−500=1200 nghìn đồng, lợi nhuận tối đa là 1200 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu $R(x)=x\cdot p=489x{e}^{-0.001x}$ (nghìn đồng), với $x>0$. Xét $R^{\prime }(x)=489e^{-0.001x}(1-0.001x)$. Ta có $R^{\prime }(x)>0$ khi $x<1000$ và $R^{\prime }(x)<0$ khi $x>1000$, nên hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=1000$. Khi đó giá vé là $p=489e^{-0.001\cdot 1000}=489e^{-1}=\frac{489}{e}\approx 179,91$ nghìn đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: $180$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{m(x-m)-(mx+5)}{(x-m{)}^2}=\frac{-m^2-5}{(x-m{)}^2}<0$ với mọi $x\ne m$, nên $f$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Với $m=\frac{5}{7}\notin [0;1]$, hàm số xác định liên tục trên $[0;1]$ và nghịch biến, do đó GTLN trên $[0;1]$ đạt tại $x=0$: $f(0)=\frac{5}{-m}=-\frac{5}{m}=-7\Rightarrow m=\frac{5}{7}$. Kiểm tra: $m=\frac{5}{7}$ thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$ với $x\ge 0$. Tính đạo hàm: $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ hoặc $x=-20$ (loại vì $x>0$). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<100$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>100$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất trên miền xác định) tại $x=100$. Vậy công ty cần sản xuất 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng. Kết quả khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Với $Q=160$ thì $\sqrt{KL}=160\Rightarrow KL=160^2=25600\Rightarrow L=\frac{25600}{K}$, không phải $\frac{160}{K}$ nên a) Sai. b) Khi $K=200$ thì $L=\frac{25600}{200}=128$, $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=3200+1152+40=4392<4500$ nên b) Sai. c) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$ nên c) Đúng. d) Xét $f(K)=16K+\frac{9\cdot 25600}{K}+40$ với $K>0$; theo AM-GM, $16K+\frac{230400}{K}\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}=2\cdot 1920=3840$, dấu bằng khi $16K=\frac{230400}{K}\Rightarrow K=120$. Vậy $F_{\min }=3840+40=3880$ (nghìn USD), không phải 3840 nên d) Sai. Khớp đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=25600$, tức $L=\frac{25600}{K}$, không phải $\frac{160}{K}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $K=200$ thì $L=128$, $F=3200+1152+40=4392<4500$ (nghìn USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=16K+\frac{230400}{K}+40\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}+40=3840+40=3880$ (nghìn USD), đạt tại $K=120$. Vậy chi phí tối thiểu là 3880, không phải 3840.

(AI giải đề cho tôi)
Sau thời gian $t$, người đi xe đạp cách $O$ một đoạn $30-15t$ (km) và khinh khí cầu ở độ cao $10t$ (km). Khoảng cách giữa hai vật là $d(t)=\sqrt{(30-15t{)}^2+(10t{)}^2}$. Xét $f(t)=(30-15t{)}^2+100t^2=325t^2-900t+900$. $f^{\prime }(t)=650t-900=0\Rightarrow t=\frac{900}{650}=\frac{18}{13}\approx 1,3846$. Vì $f^{\prime \prime }(t)=650>0$ nên khoảng cách nhỏ nhất đạt tại $t=\frac{18}{13}\approx 1,38$ giờ, khớp với đáp án nguồn 1,38.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$ với $x>0$. Ta có $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ (nhận, $x>0$) hoặc $x=-20$ (loại). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<100$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>100$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $x=100$. Vậy công ty cần sản xuất 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=160^2=25600$, tức $L=\frac{25600}{K}$ (không phải $\frac{160}{K}$) nên a) Sai.
b) Với $K=200$ thì $L=\frac{25600}{200}=128$, $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=3200+1152+40=4392<4500$ nên b) Sai.
c) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$ nên c) Đúng.
d) Xét $F(K)=16K+\frac{230400}{K}+40$ với $K>0$; $F^{\prime }(K)=16-\frac{230400}{K^2}=0\Rightarrow K=120$. Khi đó $L=\frac{25600}{120}$ và $F_{\min }=16\cdot 120+9\cdot \frac{25600}{120}+40=1920+1920+40=3880\ne 3840$ nên d) Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn (trang 19): Câu 4: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=25600$ nên $L=\frac{25600}{K}$, không phải $\frac{160}{K}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $K=200$ thì $L=128$, $F=3200+1152+40=4392<4500$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(K)=16K+\frac{230400}{K}+40$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $K=120$ với $F_{\min }=3880\ne 3840$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau thời gian $t$, người đi xe đạp cách $O$ một đoạn $30-15t$ (km) theo phương ngang, khinh khí cầu cách $O$ một đoạn $10t$ (km) theo phương thẳng đứng. Khoảng cách giữa hai vật là $d(t)=\sqrt{(30-15t{)}^2+(10t{)}^2}$. Xét $f(t)=(30-15t{)}^2+100t^2=325t^2-900t+900$. $f^{\prime }(t)=650t-900=0\Rightarrow t=\frac{900}{650}=\frac{18}{13}\approx 1,3846$. Vì $f^{\prime \prime }(t)=650>0$ nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy $t\approx 1,38$ giờ, khớp với đáp án nguồn 1,38.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=160^2=25600$, do đó $L=\frac{25600}{K}$ (không phải $\frac{160}{K}$) → a) Sai. b) Với $K=200$: $L=\frac{25600}{200}=128$, $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=3200+1152+40=4392<4500$ → Sai. c) Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$ → Đúng. d) $F=16K+\frac{230400}{K}+40\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}+40=3840+40=3880$, đạt khi $K=120$; chi phí tối thiểu là $3880$ nghìn USD, không phải $3840$ → Sai. Khớp đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sqrt{KL}=160$ nên $KL=160^2=25600$, suy ra $L=\frac{25600}{K}$, không phải $L=\frac{160}{K}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $K=200$ thì $L=\frac{25600}{200}=128$, nên $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=4392<4500$ (nghìn USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=16K+\frac{230400}{K}+40\ge 2\sqrt{16\cdot 230400}+40=3880$ (nghìn USD), đạt khi $K=120$, $L=\frac{640}{3}$. Chi phí tối thiểu là $3880$, không phải $3840$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau thời gian $t$, người đi xe đạp cách $O$ một đoạn $30-15t$ (km) trên mặt đất, khinh khí cầu ở độ cao $10t$ (km). Khoảng cách giữa hai vật là $d(t)=\sqrt{(30-15t{)}^2+(10t{)}^2}$. Xét $f(t)=(30-15t{)}^2+100t^2=325t^2-900t+900$. $f^{\prime }(t)=650t-900=0\Rightarrow t=\frac{900}{650}=\frac{18}{13}\approx 1,3846$. Vì $f^{\prime \prime }(t)=650>0$ nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy $t\approx 1,38$ giờ, khớp với đáp án nguồn 1,38.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$ với $x\ge 0$. Tính $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ (nhận, $x>0$) hoặc $x=-20$ (loại). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<100$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>100$, hàm số đạt cực đại (và là GTLN trên miền xét) tại $x=100$. Vậy công ty cần sản xuất 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng, đáp án C, khớp với đáp án nguồn trang 18.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$ với $x>0$. Tính đạo hàm: $P^{\prime }(x)=-0,9x^2+72x+1800$. Cho $P^{\prime }(x)=0\iff x^2-80x-2000=0\iff x=100$ hoặc $x=-20$ (loại vì $x>0$). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<100$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>100$, hàm số đạt cực đại (và là lớn nhất) tại $x=100$. Khi đó $P(100)=-30000+360000+180000-48000=462000$ nghìn đồng. Vậy công ty cần sản xuất $100$ chiếc máy mỗi tháng. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $Q=\sqrt{KL}=160$ suy ra $KL=160^2=25600$, tức $L=\frac{25600}{K}=\frac{160^2}{K}$ (không phải $\frac{160}{K}$) nên a) Sai, c) Đúng vì $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$. b) Với $K=200$ thì $L=25600/200=128$, $F=16\cdot 200+9\cdot 128+40=3200+1152+40=4392<4500$ nên Sai. d) Theo AM-GM: $16K+9\cdot \frac{25600}{K}\ge 2\sqrt{16\cdot 9\cdot 25600}=3840$, đạt được khi $16K=9\cdot 25600/K$, tức $K=120$, $L\approx 213,33$. Khi đó $F_{\min }=3840+40=3880$ (nghìn USD), không phải 3840 nên d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $Q=\sqrt{KL}=160$ nên $KL=25600$, suy ra $L=\frac{25600}{K}$, không phải $\frac{160}{K}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $K=200$ thì $L=128$, tổng chi phí $F=3200+1152+40=4392<4500$ (nghìn USD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $L=\frac{160^2}{K}$ vào $F=16K+9L+40$ được $F=16K+9\cdot \frac{160^2}{K}+40$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$16K+9\cdot \frac{25600}{K}\ge 2\sqrt{16\cdot 9\cdot 25600}=3840$ nên $F_{\min }=3840+40=3880$ (nghìn USD), không phải 3840.