Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Có $S={\left(x^2+y^2\right)}^2-3x^2{y}^2=(1+xy{)}^2-3x^2{y}^2=-2x^2{y}^2+2xy+1$

Đặt $t=xy\Rightarrow S=-2t^2+2t+1$

Có

$x^2+y^2\ge 2xy\Rightarrow 1+xy\ge 2xy\Rightarrow xy\le 1$, dấu bằng xảy ra khi $x=y=\pm 1$

$x^2+y^2\ge -2xy\Rightarrow 1+xy\ge -2xy\Rightarrow xy\ge -\frac{1}{3}$, dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{3}},y=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=-\frac{1}{\sqrt{3}},y=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$

Suy ra $t\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$

Xét hàm số $f(t)=-2t^2+2t+1$, $t\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$

Ta có bảng biến thiên



Từ bảng biến thiên ta thấy $M=\frac{3}{2};m=\frac{1}{9}\Rightarrow M+m=\frac{29}{18}$

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: giá bán sau giảm giá là $24-x$ (triệu đồng), vì giá bán ban đầu là 24 triệu đồng (20 triệu là giá nhập). b) Đúng: bán thêm $100x$ chiếc nên tổng số là $500+100x$ chiếc. c) Sai: lợi nhuận mỗi chiếc là $(24-x)-20=4-x$ (triệu đồng), nên lợi nhuận một năm là $(4-x)(500+100x)$ (triệu đồng), không phải $(24-x)(500+100x)$. d) Đúng: đặt $n=500+100x$ (số máy bán được), suy ra $x=\frac{n-500}{100}$. Lợi nhuận $P=(4-x)n=\left(4-\frac{n-500}{100}\right)n=\frac{n(900-n)}{100}$. Yêu cầu $P\ge 1400$ (triệu đồng) tức $n(900-n)\ge 140000\iff n^2-900n+140000\le 0\iff 200\le n\le 700$. Vậy để lợi nhuận đạt tối thiểu 1,4 tỷ đồng, đại lý cần bán được tối đa 700 chiếc máy tính (đúng với điều kiện $0<x<4$ tức $500<n<900$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán sau khi giảm $x$ triệu đồng là $24-x$ (triệu đồng), vì giá bán ban đầu là 24 triệu đồng; $20-x$ là giá nhập sau giảm (không đúng đề).
b) (AI giải đề cho tôi)
Ban đầu bán 500 chiếc, giảm giá $x$ thì bán thêm $100x$ chiếc, tổng $500+100x$ chiếc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi chiếc là $(24-x)-20=4-x$ triệu đồng, nên lợi nhuận năm là $(4-x)(500+100x)$ (triệu đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $n=500+100x$, lợi nhuận $P=\frac{n(900-n)}{100}\ge 1400\iff 200\le n\le 700$. Vậy cần bán tối đa 700 chiếc.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: giảm giá x triệu đồng nên giá bán mới là 43 - x (triệu đồng). b) Sai: số tivi bán được là 400 + 200x chiếc (bán thêm 200x chiếc so với 400 chiếc), không phải 200 + 200x. c) Đúng: lợi nhuận mỗi chiếc là (43 - x) - 38 = 5 - x (triệu đồng), số chiếc bán được là 400 + 200x, nên lợi nhuận một năm là (5 - x)(400 + 200x) (triệu đồng). d) Đúng: lợi nhuận P(x) = (5 - x)(400 + 200x) = 200(5 - x)(2 + x) = 200(10 + 3x - x^2). Yêu cầu P(x) ≥ 2000 (2 tỷ = 2000 triệu) tức 10 + 3x - x^2 ≥ 10, suy ra 3x - x^2 ≥ 0, tức x(3 - x) ≥ 0, kết hợp 0 < x < 5 được 0 < x ≤ 3. Số tivi bán được là 400 + 200x ≤ 400 + 600 = 1000 chiếc, đạt tối đa 1000 chiếc khi x = 3. Vậy khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán mới = 43 - x (triệu đồng).
b) (AI giải đề cho tôi)
Số tivi bán được là 400 + 200x chiếc, không phải 200 + 200x.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi chiếc (5 - x) triệu đồng nhân số chiếc (400 + 200x).
d) (AI giải đề cho tôi)
P(x) = 200(10 + 3x - x^2) ≥ 2000 ⟹ 0 < x ≤ 3 ⟹ số tivi ≤ 1000 chiếc.

Tại thời điểm $t$, vị trí tàu $A$ là $M(3-33t;-4+25t)$, vị trí của tàu $B$ là $N(4-30t;3-40t)$. Ta có $MN=\sqrt{(1+3t{)}^2+(7-65t{)}^2}=\sqrt{4234t^2-904t+50}$. Để $MN$ nhỏ nhất khi hàm bậc hai $f(t)=4234t^2-904t+50$ đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-904}{2.4234}=\frac{226}{2117}\approx 0,11$ (giờ). (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy tam giác đều là $a$, chiều cao lăng trụ là $h$. Thể tích: $V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h=1\Rightarrow h=\frac{4}{a^2\sqrt{3}}$. Diện tích cần làm: nắp và đáy (2 tam giác đều) cộng tường xung quanh: $S=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3ah=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2+3a\cdot \frac{4}{a^2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2+\frac{4\sqrt{3}}{a}$. Chi phí $f(a)=\sqrt{3}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{4}{a}\right)$. Đạo hàm: $f^{\prime }(a)=\sqrt{3}\left(a-\frac{4}{a^2}\right)=0\Rightarrow a^3=4\Rightarrow a=\sqrt[3]{4}$. Tại đó $f(a)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4^{2/3}+\frac{4\sqrt{3}}{4^{1/3}}=\sqrt{3}\cdot 2^{1/3}+\sqrt{3}\cdot 2^{4/3}=3\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{2}\approx 6,546$ triệu đồng. Vậy chi phí ít nhất (làm tròn đến hàng phần chục) là $6,5$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2^x\ln 2-4\ln 2=\ln 2(2^x-4)$, cho $y^{\prime }=0$ được $x=2$. So sánh: $y(0)=1$, $y(2)=4-8\ln 2\approx -1.545$, $y(4)=16-16\ln 2\approx 4.91$. Vậy GTNN là $4-8\ln 2$, tức $a=4,b=8,c=2$, nên $a+b+c=14$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;-2)$ hàm giảm từ 2 về 1 (không đạt), nên không có GTNN trên khoảng này → A sai. Trên $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$, hàm đạt cực tiểu $f(-2)=1$ nhưng tiến tới 6 khi $x\to {\frac{1}{2}}^{-}$ mà không đạt giá trị 6, nên không có GTLN trên khoảng này → B sai. Trên $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$ hàm tăng từ 1 (không đạt) đến 6 (không đạt), nên không có GTNN là 1 → C sai. Trên $(-2;+\infty )$: khi $x\to (-2{)}^{+}$ thì $f(x)\to 1$ nhưng không đạt; khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 2$ nhưng không đạt; giá trị lớn nhất là 6 tại $x=\frac{1}{2}$ nhưng GTNN không tồn tại → D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=e^{2x}-5e^x+2x$ trên $[0;2]$, ta có $y^{\prime }=2e^{2x}-5e^x+2$. Đặt $t=e^x$, với $x\in [0;2]$ thì $t\in [1;e^2]$. Giải $2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Chỉ nhận $t=2\in [1;e^2]$, tức $x=\ln 2$. Tính giá trị: $y(0)=1-5+0=-4$; $y(\ln 2)=4-10+2\ln 2=2\ln 2-6\approx -4,61$; $y(2)=e^4-5e^2+4\approx 21,7$. Vậy ${\min }_{[0;2]}y=2\ln 2-6$, đạt tại $x=\ln 2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+\sqrt{2-x^2}$ xác định trên $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow \sqrt{2-x^2}=x\Rightarrow 2-x^2=x^2\Rightarrow x=1$ (thỏa mãn), khi đó $y(1)=1+1=2$. Tại hai đầu mút: $y(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}$, $y(\sqrt{2})=\sqrt{2}$. Vậy $M=2$, $m=-\sqrt{2}$, nên $M-m=2+\sqrt{2}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2-1$, có $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, $g^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$. Ta có $g(-1)=-1-3-1=-5$, $g(0)=-1$, $g(2)=8-12-1=-5$, $g(3)=27-27-1=-1$. Trên đoạn $[-1;3]$, $g(x)<0$ (giá trị lớn nhất của $g$ là $-1<0$), nên $f(x)=|g(x)|=-g(x)$. Do đó $\max f=-\min g=-(-5)=5$, đạt được tại $x=-1$ và $x=2$. Vậy giá trị lớn nhất là $5$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+m$ trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong $[0;2]$ chỉ có $x=1$. Tính: $y(0)=m$, $y(1)=1-3+m=m-2$, $y(2)=8-6+m=m+2$. Giá trị nhỏ nhất là $\min \{m,m-2,m+2\}=m-2$. Theo đề: $m-2=1\Rightarrow m=3$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2;0]$ ta có $x-1<0$. Viết $f(x)=\frac{x+m^2}{x-1}=1+\frac{1+m^2}{x-1}$. Vì $1+m^2>0$ và $x-1<0$ nên $f^{\prime }(x)=-\frac{1+m^2}{(x-1{)}^2}<0$, hàm số nghịch biến trên $[-2;0]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $\min f=f(0)=\frac{m^2}{-1}=-m^2$. Yêu cầu $-m^2>-4\iff m^2<4\iff -2<m<2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2-2$, có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$, các điểm tới hạn $x=0,\pm 1$.
a) Trên $[-1;1]$: $f(-1)=f(1)=-3$, $f(0)=-2$. Vậy ${\min }_{[-1;1]}f=-3$ → đúng.
b) Trên $[-1;+\infty )$: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=-2$, nhưng với $x>1$ hàm đồng biến và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng này → sai.
c) Trên $[-2;2]$: $f(\pm 2)=16-8-2=6$, $\min f=-3$, $\max f=6$, tổng $=-3+6=3$ → đúng.
d) Trên $[0;2]$: $\min f=f(1)=-3$ nên $A(1;-3)$; $\max f=f(2)=6$ nên $B(2;6)$. Khi đó $AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(6+3{)}^2}=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\ne \sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$: $f(\pm 1)=-3$, $f(0)=-2$ nên $\min f=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$ hàm đồng biến và $f(x)\to +\infty$, nên trên $[-1;+\infty )$ hàm không có giá trị lớn nhất (dù $f(0)=-2$ là cực đại).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$: $\min f=-3$, $\max f=f(\pm 2)=6$, tổng bằng 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $A(1;-3)$, $B(2;6)$, $AB=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\ne \sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=|f(x)|$ với $f(x)=x^3+3m^{2}x+2$.
a) $f$ là đa thức nên liên tục trên $[0;1]$, do đó luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn này với mọi $m$. Đúng.
b) Với $m=0$: $y=|x^3+2|$. Trên $[0;1]$ ta có $x^3+2>0$ nên $y=x^3+2$ đồng biến, GTNN $=y(0)=2$, còn $y(1)=3$. Vậy GTNN bằng $y(0)$, không phải $y(1)$. Sai.
c) Với $m=1$: $g(x)=x^3+3x+2$, $g^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ nên $g$ đồng biến trên $[-2;0]$, $g(-2)=-12$, $g(0)=2$, và $g$ có nghiệm $x_0\approx -0,596$ thuộc $[-2;0]$. Do đó $y=|g(x)|$ đạt GTNN bằng $0$ tại $x_0$ (không phải tại $x=0$) và GTLN $=|g(-2)|=12$ (không phải $2$). Sai.
d) Trên $[0;1]$: $f(x)=x^3+3m^{2}x+2\ge 2>0$ nên $y=f(x)$, và $f^{\prime }(x)=3x^2+3m^2\ge 0$ nên $f$ đồng biến. Suy ra ${\max }_{[0;1]}y=f(1)=4+3m^2=5\iff m^2=\frac{1}{3}\iff m=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Tổng hai giá trị $m$ là $0\ne \frac{2}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^3+3m^{2}x+2$ là hàm đa thức, liên tục trên đoạn $[0;1]$, nên theo định lý Weierstrass luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn này với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=|x^3+2|=x^3+2$ trên $[0;1]$ (vì $x^3+2>0$), đồng biến nên GTNN là $y(0)=2$, còn $y(1)=3$. GTNN không bằng $y(1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $g(x)=x^3+3x+2$ đồng biến trên $[-2;0]$ ($g^{\prime }=3x^2+3>0$), $g(-2)=-12$, $g(0)=2$, có nghiệm $x_0\approx -0,596\in [-2;0]$. Khi đó $y=|g(x)|$ có GTNN bằng $0$ tại $x_0$ (không phải $x=0$) và GTLN bằng $12$ tại $x=-2$ (không phải $2$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$, $f(x)\ge 2>0$ nên $y=f(x)$, đồng biến vì $f^{\prime }(x)=3x^2+3m^2\ge 0$. Do đó ${\max }_{[0;1]}y=f(1)=4+3m^2=5\iff m=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Tổng các giá trị $m$ bằng $0$, không phải $\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x-\frac{500}{x^2}=\frac{4x^3-500}{x^2}$ với $x\ne 0$.
a) $f^{\prime }(x)=0\iff x^3=125\iff x=5$. Mệnh đề đúng.
b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2+\frac{500}{x}\right)=+\infty \ne 0$. Mệnh đề sai.
c) Trên $(0;5)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, giá trị nhỏ nhất không đạt được trên khoảng mở; infimum là $f(5)=2\cdot 25+100=150$ nhưng $x=5\notin (0;5)$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất bằng 150 trên $(0;5)$. Mệnh đề sai.
d) Trên $(0;+\infty )$, $f$ nghịch biến trên $(0;5)$ và đồng biến trên $(5;+\infty )$ nên $\underset{(0;+\infty )}{\min }f=f(5)=150$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x-\frac{500}{x^2}=0\iff x^3=125\iff x=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2+\frac{500}{x}\right)=+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;5)$ hàm nghịch biến, $x=5$ không thuộc khoảng nên không đạt min; infimum 150 không đạt được.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ nghịch biến trên $(0;5)$, đồng biến trên $(5;+\infty )$, nên $\min f=f(5)=2\cdot 25+\frac{500}{5}=150$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (nghìn đồng) là mức tăng giá. Giá bán: $30+x$ nghìn đồng/chiếc; số khăn bán được: $3000-100x$ chiếc/tháng; lãi mỗi chiếc: $(30+x)-18=(12+x)$ nghìn đồng. Lợi nhuận: $f(x)=(3000-100x)(12+x)=-100x^2+1800x+36000$ (nghìn đồng), với $0\le x\le 30$.
a) Giá 37000 đồng tức $x=7$: số khăn bán $3000-700=2300$ chiếc, lãi mỗi chiếc $19$ nghìn đồng, tổng lãi $2300\cdot 19=43700$ nghìn $=43,7$ triệu đồng $\ne 44$ triệu → sai.
b) $f(x)=(3000-100x)(12+x)=-100x^2+1800x+36000$ → đúng.
c) $f^{\prime }(x)=-200x+1800=0\iff x=9$ (thuộc đoạn, $f$ đạt max vì hàm bậc hai parabol nhánh xuống). Số khăn giảm $100\cdot 9=900$ chiếc $\ne 800$ → sai.
d) Giá bán tối ưu: $30+9=39$ nghìn đồng $=39000$ đồng → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá 37000 đồng tức $x=7$: bán $2300$ chiếc, lãi mỗi chiếc $19000$ đồng, tổng lãi $43,7$ triệu đồng, không phải 44 triệu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(3000-100x)(12+x)=-100x^2+1800x+36000$ (nghìn đồng).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-200x+1800=0\iff x=9$; số khăn giảm $900$ chiếc, không phải 800.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá tối ưu $30+9=39$ nghìn đồng $=39000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y=\frac{1}{3}{x}^3+x-9$, có $y^{\prime }=x^2+1>0$ với mọi $x$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. a) Trên $[0;3]$ hàm đồng biến nên $\min y=y(0)=-9$ → đúng. b) $\max y=y(3)=9+3-9=3$ → đúng. c) Hệ số góc tiếp tuyến $k=y^{\prime }=x^2+1\ge 1$, giá trị nhỏ nhất bằng 1 tại $x=0$ → đúng. d) ${\max }_{[0;3]}y=y(3)=9+3m^2-2m^2+2m-9=m^2+2m$. Yêu cầu $m^2+2m\le 3\iff m^2+2m-3\le 0\iff -3\le m\le 2$. Các giá trị nguyên: $\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ có 6 phần tử, không phải 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y=\frac{1}{3}{x}^3+x-9$ đồng biến vì $y^{\prime }=x^2+1>0$, nên ${\min }_{[0;3]}y=y(0)=-9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến nên ${\max }_{[0;3]}y=y(3)=9+3-9=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc $k=y^{\prime }=x^2+1\ge 1$, đạt giá trị nhỏ nhất 1 tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\max }_{[0;3]}y=y(3)=m^2+2m\le 3\iff -3\le m\le 2$, có 6 giá trị nguyên $\{-3,-2,-1,0,1,2\}$, nên $|S|=6\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: a) $y^{\prime }=6x^2+6x=6x(x+1)=0\iff x=0$ hoặc $x=-1$. Tính: $y(-2)=-16+12-1=-5$, $y(-1)=-2+3-1=0$, $y(0)=-1$, $y(1)=2+3-1=4$. Vậy ${\min }_{[-2;1]}y=-5$ tại $x=-2$ → đúng. b) Trên đoạn $[0;1]$, điểm $x=2$ không thuộc đoạn nên khẳng định sai; thực tế $y^{\prime }=12x^2-24x+9=0\iff x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$, so sánh $y(0)=0$, $y(\frac{1}{2})=2$, $y(1)=1$ nên max $=2$ tại $x=\frac{1}{2}$. c) $y=\sqrt{4x-x^2}$ có tập xác định $[0;4]$, $y=\sqrt{4-(x-2{)}^2}\le 2$ và $y(0)=y(4)=0$, nên GTNN bằng 0, GTLN bằng 2, không phải 4 → sai. d) Trên $(0;+\infty )$, $y=x+\frac{4}{X}\ge 4$ (AM-GM) với min tại $x=2$; khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có GTLN → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x(x+1)=0\iff x=0,x=-1$; so sánh $y(-2)=-5,y(-1)=0,y(0)=-1,y(1)=4$ nên $\min y=-5$ trên $[-2;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=2$ không thuộc đoạn $[0;1]$. Trên $[0;1]$, $y^{\prime }=12x^2-24x+9=0\iff x=\frac{1}{2}$; $y(0)=0,y(\frac{1}{2})=2,y(1)=1$ nên max $=2$ tại $x=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ $[0;4]$, $y=\sqrt{4-(x-2{)}^2}$ nên $0\le y\le 2$; GTNN bằng 0 (tại $x=0$ hoặc $x=4$), GTLN bằng 2, không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: $y=x+\frac{4}{X}\ge 4$ (đạt tại $x=2$), và khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm không có GTLN trên $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$. Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }>0$ khi $x<-3$; $f^{\prime }<0$ khi $-3<x<3$ (do $(x-1{)}^2\ge 0$); $f^{\prime }>0$ khi $x>3$. Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$, nghịch biến trên $(-3;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$.

a) Trên đoạn $[-3;3]$, $f^{\prime }\le 0$ nên $f$ nghịch biến, do đó ${\max }_{[-3;3]}f=f(-3)$. → Đúng.

b) $f^{\prime }$ là đa thức bậc 4 với hệ số dương nên $f$ là đa thức bậc 5 với hệ số dương, suy ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$; do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. → Sai.

c) $g(x)=f(-2x+3)$, với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $g$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=3$, tức $x=0$: ${\min }_{[0;3]}g=g(0)=f(3)$, không phải $g(3)$. → Sai.

d) $h(x)=f(-x+5)$, với $x\in [0;8]$ thì $t=5-x\in [-3;5]$. Trên $[-3;5]$, $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ và đồng biến trên $[3;5]$ nên $\max f$ trên $[-3;5]$ là $\max \{f(-3),f(5)\}$. Từ $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$, tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$, do $f(1)<f(-3)$ (vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$) nên $f(5)>f(3)>f(-3)$. Vậy ${\max }_{[0;8]}h=h(0)=f(5)$, không phải $h(8)$ (và $h(8)=f(-3)$ thực chất là giá trị nhỏ nhất). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [-3;3]$: $(x-3)\le 0$, $(x+3)\ge 0$, $(x-1{)}^2\ge 0$ nên $f^{\prime }(x)\le 0$, tức $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$. Do đó ${\max }_{[-3;3]}f=f(-3)$. → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ có bậc 4 với hệ số dương nên $f$ là đa thức bậc 5 hệ số dương, do đó ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$; hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $g$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=3$, tức $x=0$: ${\min }_{[0;3]}g=g(0)=f(3)$, không phải $g(3)$. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;8]$ thì $t=5-x\in [-3;5]$. Trên $[-3;5]$: $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ và đồng biến trên $[3;5]$, nên $\max f$ trên $[-3;5]$ là $\max \{f(-3),f(5)\}$. Điều kiện $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$ tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$; vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $f(1)<f(-3)$, suy ra $f(5)>f(3)>f(-3)$. Vậy ${\max }_{[0;8]}h=h(0)=f(5)$, không phải $h(8)$ (và $h(8)=f(-3)$ thực chất là giá trị nhỏ nhất). → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2-9x+7$, có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$.

a) Trên đoạn $[-2;0]$: $f(-2)=5$, $f(-1)=12$ (điểm cực đại vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ + thành − tại $x=-1$), $f(0)=7$. Vậy $maxf=12$ tại $x=-1$. Mệnh đề đúng.

b) Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-2;0]$ là $f(-2)=5$. Khi đó min của $f(x)+m$ là $$\begin{gathered} 5+m=10 \\ Rightarrowm=5 \end{gathered}$$, không phải $m=3$. Mệnh đề sai.

c) Đặt $$\begin{gathered} t=2x^2+1 \\ ge1 \end{gathered}$$. Xét $g(t)=f(t)$ trên $$\begin{gathered} [1;+ \\ infty) \end{gathered}$$: $g^{\prime }(t)=3(t-3)(t+1)$, hàm giảm trên $[1;3]$ và tăng trên $$\begin{gathered} [3;+ \\ infty) \end{gathered}$$. Với $$\begin{gathered} t \\ ge1 \end{gathered}$$: $g(1)=-4$, $g(3)=27-27-27+7=-20$. Vậy min $f(2x^2+1)=-20$ (khi $t=3$, tức $$\begin{gathered} x= \\ pm1 \end{gathered}$$), suy ra min của $f(2x^2+1)-5=-25$. Mệnh đề đúng.

d) Trên $[0;4]$: $f(0)=7$, $f(3)=-20$ (cực tiểu), $f(4)=-13$. Vậy $f$ nhận mọi giá trị trong đoạn $[-20;7]$. Để $min|f(x)+m|=17$ thì khoảng cách từ $-m$ đến đoạn $[-20;7]$ bằng 17, tức $-m=7+17=24$ hoặc $-m=-20-17=-37$, cho $m=-24$ hoặc $m=37$. Tích hai giá trị là $$\begin{gathered} (-24)(37)=-888 \\ ne-30 \end{gathered}$$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-2;0]: f(-2)=5, f(-1)=12 (cực đại), f(0)=7 nên max f = 12. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Min của f trên [-2;0] là f(-2)=5, nên 5+m=10 ⇒ m=5, không phải m=3. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=2x²+1≥1, min f(t) trên [1;+∞) là f(3)=-20, nên min của f(2x²+1)-5 = -25. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;4], f có giá trị trong đoạn [-20;7]. Min |f+m|=17 ⇒ -m cách đoạn [-20;7] một khoảng 17 ⇒ m=-24 hoặc m=37, tích bằng -888 ≠ -30. Sai.