Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30$ nghìn đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30$ nghìn đồng mà cứ tăng giá thêm $1$ nghìn đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18$ nghìn đồng. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất (đơn vị tính là nghìn đồng).

Một công ty công nghệ A cung cấp nền tảng Trí tuệ nhân tạo dạng phần mềm dịch vụ cho các doanh nghiệp. Mỗi doanh nghiệp đăng ký sử dụng sẽ phải trả mức phí cố định là $50$ triệu đồng/năm. Tổng chi phí vận hành hệ thống máy chủ và bảo trì trong một năm mà công ty A phải chi trả phụ thuộc vào số lượng doanh nghiệp $x$ ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) đang sử dụng phần mềm và được mô hình hóa bởi hàm số $C(x)=100\ln (x)+200$ (triệu đồng). Để công ty công nghệ A đạt mức lợi nhuận tối thiểu là $5$ tỷ đồng trong một năm, công ty A cần có ít nhất bao nhiêu doanh nghiệp sử dụng phần mềm đó?

Một cửa hàng kinh doanh máy lọc nước Karofi. Hàm cầu biểu thị liên hệ giữa giá bán của một chiếc máy với số lượng máy bán được trong một tháng là hàm bậc nhất. Khi giá bán là $5$ triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được $100$ chiếc, khi giá bán là $4,5$ triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được $120$ chiếc. Biết chi phí trung bình cho một chiếc máy khi bán được $x$ chiếc là $\frac{3x+50}{x}$. Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu triệu đồng một chiếc máy để lợi nhuận thu được trong một tháng lớn nhất?

Câu 5. Trong ngành hàng hải, lượng nhiên liệu tiêu thụ của một con tàu trong một đơn vị thời gian xấp xỉ tỷ lệ thuận với lập phương vận tốc của nó. Một tàu chở hàng xuất phát từ cảng Singapore đi đến cảng Tiên Sa cách 1000 hải lý. Gọi $v$ (hải lý/giờ) là vận tốc của tàu ($v>0$). Dữ liệu kỹ thuật cho thấy chi phí nhiên liệu vận hành của con tàu là $0,02\cdot v^3\text{ (USD/giờ)}$. Các chi phí vận hành cố định khác như lương thuyền viên, khấu hao, bảo hiểm,... không phụ thuộc vào vận tốc tàu là $625\text{ USD/giờ}$. Hỏi thuyền trưởng cần duy trì vận tốc trung bình là bao nhiêu hải lý/giờ để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là thấp nhất?

Một cửa hàng bán hoa với giá $200$ nghìn/bó hoa thì bán được $300$ bó mỗi ngày. Nếu giảm $20$ nghìn/bó thì số lượng bó hoa bán ra tăng thêm $50$ bó mỗi ngày. Chi phí hằng ngày là $C(x)=50x+50000$ (nghìn đồng), với $x$ là số bó hoa được bán ra.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $600$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 600$) thì chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $g(x)=x+10+\frac{300000}{x}$ (nghìn đồng), trong khi doanh thu khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-2111x^2+1224010x+300000$ (nghìn đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp chữ nhật có thể tích $V=18({\mathrm{m}}^3)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng và bể không có nắp. Giá thuê nhân công để xây bể là $500000$ đồng/${\mathrm{m}}^2$. Hỏi cần xây bể có chiều cao bằng bao nhiêu mét để chi phí thuê nhân công là thấp nhất?

Một xưởng sản xuất robot hút bụi thông minh đang trong giai đoạn tăng tốc sản xuất. Số lượng sản xuất mỗi tháng là $x$ (chiếc), với $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $10\le x\le 500$. Mỗi robot được bán với giá cố định là $12$ triệu đồng, tổng chi phí sản xuất mỗi tháng là $C(x)=150\cdot e^{0,005x}+450$ (triệu đồng). Hỏi để đạt lợi nhuận tối thiểu là $1,5$ tỷ đồng mỗi tháng, xưởng cần sản xuất và tiêu thụ ít nhất bao nhiêu robot một tháng?

Câu 3. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh loại xe X với chi phí mua vào một chiếc là $28\text{ triệu đoˆˋng}$ và bán ra với giá $32\text{ triệu đoˆˋng}$. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là $600\text{ chieˆˊc}$. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm $1\text{ triệu đoˆˋng}$ mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm $200\text{ chieˆˊc}$. Vậy doanh nghiệp phải bán mỗi xe với giá mới bao nhiêu triệu đồng để lợi nhuận thu được là cao nhất.

Gọi $M$; $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2+5}{x-2}$ trên $[-2;1]$. Tính $T=M+4m$.

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $18000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Gọi $M$; $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2+5}{x-2}$ trên $[-2;1]$. Tính $T=M+2m$.

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Một xưởng gia công đồ mỹ nghệ dự định sản xuất không quá $150$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N};1\le x\le 150$) được cho bởi hàm số $C(x)=5000+800x-3,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng $x$ sản phẩm và được cho bởi công thức $p(x)=2000-9x$ (nghìn đồng). Biết rằng sản phẩm sản xuất ra được tiêu thụ hết. Lợi nhuận lớn nhất mỗi tháng mà xưởng thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 6. Một cơ sở sản xuất nước mắm dự định tung ra thị trường dòng sản phẩm nước mắm đặc biệt. Dự kiến mỗi tháng cơ sở sản xuất và bán ra $x$ chai ($0\le x\le 2000$). Giá bán mỗi chai được ấn định là $350000$ đồng. Tổng chi phí sản xuất $x$ chai mỗi tháng (bao gồm nguyên liệu, nhân công, bao bì và chi phí vận hành) được ước tính bởi hàm số: $C(x)=\frac{1}{10}{x}^2+110x+30000$ (đơn vị: nghìn đồng). Hỏi cơ sở nên sản xuất bao nhiêu chai mỗi tháng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất?

Trong hóa học động học, đối với một phản ứng hóa học nối tiếp, nồng độ của chất trung gian sinh ra sẽ tăng lên đến một đỉnh điểm rồi giảm dần do bị chuyển hóa thành chất khác. Dựa trên dữ liệu thực nghiệm, sự thay đổi nồng độ của một chất trung gian trong bình phản ứng được mô phỏng bởi hàm số: $C(t)=-2t^3+3t^2+12t$. Trong đó, $C(t)$ là nồng độ chất trung gian (đơn vị: mmol/L) và $t$ là thời gian (đơn vị: phút) tính từ thời điểm bắt đầu phản ứng. Biết rằng mô hình toán học này chỉ áp dụng trong $3$ phút đầu tiên của phản ứng ($0\le t\le 3$). Để thu hoạch được lượng chất trung gian nhiều nhất, hệ thống tự động cần trích xuất dung dịch ngay tại thời điểm nồng độ của nó đạt mức tối đa. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ khi bắt đầu phản ứng, nồng độ chất trung gian đạt giá trị lớn nhất?

Một công ty khai thác tuyến tàu cao tốc chở khách du lịch từ đất liền ra đảo với khoảng cách $60\text{ km}$. Giả sử tàu di chuyển với vận tốc $v$ không đổi trên suốt tuyến đường. Chi phí vận hành cho mỗi giờ hoạt động của tàu bao gồm:
+) Chi phí nhiên liệu: $100v^3$ (đồng), với $v$ (km/h) là vận tốc của tàu ($v>0$).
+) Chi phí cố định (lương thủy thủ đoàn, khấu hao, bến bãi,...): $4000000$ đồng.
Để đảm bảo chất lượng dịch vụ, thời gian di chuyển mỗi chuyến không được vượt quá $1$ giờ $30$ phút. Đồng thời, vì lý do an toàn hàng hải, tàu không được chạy quá $55\text{ km/h}$. Tàu có sức chứa tối đa $150$ hành khách và giả sử rằng số lượng khách trên mỗi chuyến đi luôn đạt mức tối đa. Ban giám đốc thiết lập mục tiêu lợi nhuận thu được từ mỗi chuyến đi bằng $25\%$ tổng chi phí vận hành của chuyến đó. Để đạt được mức lợi nhuận này trong điều kiện tàu được vận hành với tổng chi phí thấp nhất, giá vé mỗi hành khách phải trả là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+3x^2-4$ có đồ thị là $(C)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ là đồ thị hàm số $g(x)=ax+b$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $h(x)=-x(ax+b)$ trên đoạn $[0;2]$. Tính giá trị $8(300M-20m)$.

Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao $4\mathrm{m}$, song song và cách tường $0,5\mathrm{m}$ kể từ gốc của cột đỡ như hình vẽ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có $n$ con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng $p(n)=240-10n$ (gam). Hỏi phải thả cá trong khoảng $(a;b)$ nào trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để số gam tăng, khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?