Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tấm nhôm hình vuông cạnh 3 dm, cắt bốn góc các hình vuông cạnh x (0 < x < 1,5). Khi gập lại, đáy hộp là hình vuông cạnh (3 − 2x) dm, chiều cao x dm, nên thể tích: V(x) = x(3 − 2x)^2. Xét hàm số trên (0; 1,5): V'(x) = (3 − 2x)^2 + x·2(3 − 2x)(−2) = (3 − 2x)(3 − 6x). V'(x) = 0 khi x = 1/2 (x = 3/2 loại vì ngoài miền). Trên (0; 1/2) có V' > 0, trên (1/2; 1,5) có V' < 0, nên V đạt giá trị lớn nhất tại x = 1/2: V_max = (1/2)(3 − 1)^2 = (1/2)·4 = 2 dm^3. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$, chiều cao $h$. Diện tích kính: đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$, nên $2x^2+6xh=5\Rightarrow h=\frac{5-2x^2}{6x}$ với $0<x<\sqrt{5/2}$.

Dung tích: $V=2x^{2}h=\frac{x(5-2x^2)}{3}=\frac{5x-2x^3}{3}$.

$V^{\prime }=\frac{5-6x^2}{3}=0\Rightarrow x^2=\frac{5}{6}$, tức $x=\sqrt{5/6}\approx 0,9129$. Vì $V^{\prime }>0$ khi $x<\sqrt{5/6}$ và $V^{\prime }<0$ khi $x>\sqrt{5/6}$ nên đây là max.

$V_{\max }=\frac{10x}{9}=\frac{10}{9}\sqrt{\frac{5}{6}}\approx 1,0143\approx 1,01m^3$. Khớp với đáp án đề cho 1,01.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 100.000 đồng/tháng ($x\ge 0$, nguyên). Giá thuê mỗi căn là $3+0.1x$ (triệu đồng), số căn cho thuê được là $120-3x$ (cần $0\le x\le 40$). Tổng doanh thu: $$f(x)=(3+0.1x)(120-3x)=360+3x-0.3x^2.$$ $f^{\prime }(x)=3-0.6x=0\Rightarrow x=5$ (thỏa mãn), $f^{\prime \prime }(x)=-0.6<0$ nên $f$ đạt max tại $x=5$. Giá cho thuê tối ưu: $3+0.1\cdot 5=3,5$ triệu đồng (doanh thu $3,5\times 105=367,5$ triệu đồng/tháng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+m$, $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
a) Khi $m=2$: trên $[0;1]$ hàm số nghịch biến ($y^{\prime }<0$ với $x\in (0;1)$), $y(0)=2$, $y(1)=1-3+2=0$ nên $\underset{[0;1]}{\min }y=0$. Đúng.
b) Khi $m=2$: trên $[0;2]$ hàm nghịch biến trên $[0;1]$ rồi đồng biến trên $[1;2]$; $y(0)=2$, $y(1)=0$, $y(2)=8-6+2=4$. Vậy $\underset{[0;2]}{\max }y=4=y(2)$. Đúng.
c) Khi $m=2$: $y=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)>0$ trên $\left(-\frac{3}{2};0\right)$. Trên khoảng này, $y^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ (cực đại, $y(-1)=4$); giới hạn $y\to 2$ khi $x\to 0^{-}$ và $y\to \frac{25}{8}$ khi $x\to -{\frac{3}{2}}^{+}$ (không đạt được vì khoảng mở). Vậy $y\in (2;4]$ với max $=4$ đạt tại $x=-1$, suy ra $\min \frac{1}{y}=\frac{1}{4}\ne \frac{8}{25}$. Sai.
d) Trên $[-1;0]$ hàm nghịch biến nên $\underset{[-1;0]}{\min }y=y(0)=m$; trên $[0;1]$ hàm nghịch biến nên $\underset{[0;1]}{\max }y=y(0)=m$. Tổng $=2m=4\Rightarrow m=2\ne 1$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] hàm nghịch biến, y(1)=0 nên min y = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
y(0)=2, y(1)=0, y(2)=4 nên max trên [0;2] là y(2)=4.
c) (AI giải đề cho tôi)
y=(x-1)^2(x+2)>0, max y = y(-1)=4 nên min 1/y = 1/4 ≠ 8/25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai giá trị đều là y(0)=m nên 2m=4, m=2 ≠ 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=45t^2-t^3$ trên đoạn $[0;25]$. Đạo hàm $f^{\prime }(t)=90t-3t^2=3t(30-t)$. Trên đoạn $[0;25]$ ta có $t\ge 0$ và $30-t>0$ nên $f^{\prime }(t)\ge 0$, tức hàm số đồng biến (tăng) trên toàn đoạn $[0;25]$. Do đó $f(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại đầu mút phải của đoạn, tức là $t=25$. Vậy số người nhiễm bệnh nhiều nhất vào ngày thứ $25$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ tấn: $R(x)=x(55-0,0002x^2)=55x-0,0002x^3$, với $0\le x\le 200$. Lợi nhuận sau thuế: $P(x)=0,93R(x)-155-33x=18,15x-0,000186x^3-155$. $P^{\prime }(x)=18,15-0,000558x^2=0\Rightarrow x^2=\frac{18,15}{0,000558}\approx 32526,88\Rightarrow x\approx 180,35$ (thỏa $[0;200]$). $P(180,35)\approx 18,15\cdot 180,35-0,000186\cdot (180,35{)}^3-155\approx 3273,35-1091,23-155\approx 2027,1$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khoảng $2027$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^4-6x^2+4$ trên đoạn $[-5;1]$:
- Tính đúng $y^{\prime }=4x^3-12x$ (0.125 đ)
- $y^{\prime }=0\iff 4x^3-12x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{3}\end{array}$ (0,25 đ)
- Loại nghiệm $x=\sqrt{3}$ (0,125 đ)
- Tính đúng $y(0)=4$; $y(-\sqrt{3})=-5$; $y(-5)=479$; $y(1)=-1$ (0,25 đ)
- Kết luận đúng $\underset{[-5;1]}{\max }y=y(-5)=479$; $\underset{[-5;1]}{\min }y=y(-\sqrt{3})=-5$ (0,25 đ; kết luận đúng 1 ý được 0.125)

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ tấn: $R(x)=x(45-0,0002x^2)=45x-0,0002x^3$, với $0\le x\le 200$. Lợi nhuận sau thuế: $P(x)=0,94R(x)-34x-150=42,3x-0,000188x^3-34x-150=8,3x-0,000188x^3-150$. $P^{\prime }(x)=8,3-0,000564x^2=0\Rightarrow x^2=\frac{8,3}{0,000564}\approx 14716,3\Rightarrow x\approx 121,31$ tấn (thỏa $[0;200]$). $P^{\prime \prime }(x)<0$ nên đây là max. $P(121,31)\approx 8,3\cdot 121,31-0,000188\cdot (121,31{)}^3-150\approx 1006,9-335,6-150\approx 521,3$. So sánh hai đầu mút: $P(0)=-150$, $P(200)=1660-1504-150=-494$. Vậy lợi nhuận lớn nhất khoảng $521$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền thu được: $T(x)=x{\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2=\frac{x^3}{1600}-\frac{3}{20}{x}^2+9x$, với $0\le x\le 60$, $x\in \mathbb{N}$ → c) Đúng. Ta có $T^{\prime }(x)={\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2+x\cdot 2\left(3-\frac{x}{40}\right)\cdot \left(-\frac{1}{40}\right)=\left(3-\frac{x}{40}\right)\left(3-\frac{3x}{40}\right)$. Trên $(0;40)$: cả hai nhân tố dương nên $T^{\prime }(x)>0$, hàm số tăng dần; trên $(40;60)$: $3-\frac{x}{40}>0$, $3-\frac{3x}{40}<0$ nên $T^{\prime }(x)<0$, hàm số giảm dần; số tiền lớn nhất tại $x=40$: $T(40)=40\cdot 2^2=160$ (USD). Đáp án chính thức mã đề 0119 (bảng đáp án trang 5): a Sai, b Sai, c Đúng, d Đúng (SSDD). Lưu ý: về mặt toán học d) (giảm dần trên $(0;40)$) là sai, nhưng đáp án nguồn ghi Đúng nên giữ theo nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(40;60)$, $T^{\prime }(x)=\left(3-\frac{x}{40}\right)\left(3-\frac{3x}{40}\right)<0$ nên số tiền giảm dần, không tăng dần → Sai (khớp đáp án mã 0119: S).
b) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền lớn nhất tại $x=40$: $T(40)=40{\left(3-1\right)}^2=160$ USD, không phải 40 USD → Sai (khớp đáp án mã 0119: S).
c) (AI giải đề cho tôi)
$T(x)=x{\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2=x\left(9-\frac{3x}{20}+\frac{x^2}{1600}\right)=\frac{x^3}{1600}-\frac{3}{20}{x}^2+9x$ với $0\le x\le 60$, $x\in \mathbb{N}$ → Đúng (khớp đáp án mã 0119: Đ).
d) (AI giải đề cho tôi)
Về mặt toán học, trên $(0;40)$ ta có $T^{\prime }(x)=\left(3-\frac{x}{40}\right)\left(3-\frac{3x}{40}\right)>0$ nên số tiền tăng dần, tuy nhiên bảng đáp án chính thức của mã đề 0119 (trang 5) ghi Phần II câu 4 là SSDD, tức d) Đúng. Theo nguồn, d) được coi là Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: gốc $O$ tại trung điểm hai chân cổng trên mặt đất, trục $Oy$ đi qua đỉnh cổng. Parabol có đỉnh $(0;5)$ và đi qua hai chân $(\pm \sqrt{5};0)$ nên có phương trình $y=5-x^2$. Xe kéo cao $1m$ nên thùng hàng đặt từ độ cao $1m$; gọi nửa chiều rộng thùng là $x$ $(0<x<\sqrt{5})$ thì chiều cao thùng là $h=(5-x^2)-1=4-x^2$. Diện tích mặt cắt $S=2x(4-x^2)=8x-2x^3$. $S^{\prime }=8-6x^2=0\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ (thoả mãn), $S^{\prime \prime }=-12x<0$ nên là max. Khi đó $S_{\max }=2\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\left(4-\frac{4}{3}\right)=\frac{32}{3\sqrt{3}}\approx 6,16m^2$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $6m^2$, trùng đáp án đề (mã 0119, Phần III câu 4 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy dùng ($x>0$). Mỗi máy sản xuất 30 quả/giờ nên thời gian chạy là $t=\frac{8000}{30x}$ giờ. Tổng chi phí (nghìn đồng): $f(x)=200x+192\cdot \frac{8000}{30x}=200x+\frac{51200}{x}$. Theo AM-GM (hoặc đạo hàm): $f(x)\ge 2\sqrt{200\cdot 51200}=2\sqrt{10240000}=6400$, dấu bằng khi $200x=\frac{51200}{x}\Rightarrow x^2=256\Rightarrow x=16$. Vậy phân xưởng nên dùng 16 máy, chi phí nhỏ nhất 6400 nghìn đồng. Kết quả khớp đáp án nguồn 16.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x=\cos t$ với $t\in [0;\pi ]$, khi đó $\sqrt{1-x^2}=\sin t\ge 0$. Hàm số trở thành $y=\sin t+\cos t+2=\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)+2$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=1$, tức $y_{\max }=2+\sqrt{2}$ (tương ứng $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$). Vậy $a=2$, $b=2$, suy ra $a+b=4$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá thuê thêm 100 nghìn đồng mỗi tháng ($0\le x\le 100$). Khi đó giá thuê mỗi căn hộ là $8+0,1x$ (triệu đồng) và số căn hộ được thuê là $100-x$ căn. Doanh thu (triệu đồng/tháng): $$T(x)=(8+0,1x)(100-x)=800+2x-0,1x^2.$$ Ta có $T^{\prime }(x)=2-0,2x=0\Rightarrow x=10$ (thỏa mãn $0\le x\le 100$). Vì $T^{\prime \prime }(x)=-0,2<0$ nên $T(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=10$. Giá thuê mỗi căn hộ khi đó là $8+0,1\cdot 10=9$ (triệu đồng). Vậy công ty phải cho thuê với giá 9 triệu đồng mỗi căn hộ, trùng với đáp án của đề (mã đề 1062, câu trả lời ngắn số 5 là 9).

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền thu được: $f(x)=20x{\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2$ với $0<x\le 50$.
$$f^{\prime }(x)=20\left[{\left(3-\frac{x}{40}\right)}^2+x\cdot 2\left(3-\frac{x}{40}\right)\cdot \left(-\frac{1}{40}\right)\right]=20\left(3-\frac{x}{40}\right)\left(3-\frac{3x}{40}\right).$$
Trên $(0;50]$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<40$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>40$, nên hàm số đạt cực đại (và giá trị lớn nhất) tại $x=40$. Khi đó $f(40)=20\cdot 40\cdot 2^2=3200$ (nghìn đồng), lớn hơn $f(50)=20\cdot 50\cdot (1,75{)}^2=3062,5$. Vậy chuyến xe cần chở 40 khách. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1061, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số lần giảm giá là $x$ (mỗi lần giảm 2.000 đồng, $x\ge 0$). Khi đó giá vé là $40-2x$ (nghìn đồng) và số khách là $1000+100x$. Doanh thu (nghìn đồng): $$f(x)=(40-2x)(1000+100x)=40000+2000x-200x^2.$$ $f^{\prime }(x)=2000-400x=0\Rightarrow x=5$. Vì $f^{\prime \prime }(x)=-400<0$ nên $x=5$ cho doanh thu lớn nhất, $f(5)=45000$ nghìn đồng. Giá vé nên bán: $40-2\cdot 5=30$ nghìn đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số máy ($x\ge 1$, nguyên). Thời gian chạy: $t=\frac{1250}{40x}$ giờ. Tổng chi phí: $C(x)=500x+400\cdot \frac{1250}{40x}=500x+\frac{12500}{x}$. Theo AM-GM (hoặc đạo hàm $C^{\prime }(x)=500-\frac{12500}{x^2}=0\Rightarrow x^2=25$), $C(x)$ đạt nhỏ nhất khi $x=5$ (máy), chi phí nhỏ nhất $C(5)=2500+2500=5000$ nghìn đồng. Khớp đáp án nguồn: 5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\sqrt{1-x^2}+x+1$ với $x\in [-1;1]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}+1=0\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (thỏa mãn miền xác định). Tính $y$ tại các điểm: $y(-1)=0$, $y(1)=2$, $y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+1=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+1=\sqrt{2}+1\approx 2,414$. Vậy GTLN là $1+\sqrt{2}$, tức $a=1,b=2$, nên $a+b=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1061, câu 6: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Xả nước khi mực nước cao nhất, tức $h(t)$ đạt cực đại. $h^{\prime }(t)=-t^2+10t+24=0\Rightarrow t=12$ (nhận, vì $t>0$; $t=-2$ loại). $h^{\prime }(t)>0$ với $0<t<12$ và $h^{\prime }(t)<0$ với $t>12$ nên $h$ đạt cực đại (và là max) tại $t=12$, tức lúc $7+12=19$ giờ. Phải thông báo trước 5 giờ nên thời điểm thông báo là $19-5=14$ giờ.