Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: (A) $J\in AB$, $K\in BC$ nên $JK\subset (ABC)$; vì $K$ không phải trung điểm $BC$ nên $JK$ không song song $AC$, do đó $JK$ và $AC$ cắt nhau → đúng. (B) $AK\subset (ABC)$, còn $OC$ chỉ gặp $(ABC)$ tại $C\notin AK$; hai đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng, không cắt, không song song nên $AK$ và $OC$ chéo nhau → đúng. (C) $L\in OC$, $K\in BC$ nên $LK\subset (OBC)$; vì $KB=2KC$ nên $LK$ không song song $OB$, vậy $LK$ và $OB$ cắt nhau → đúng. (D) $EK$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ tại $K$ (vì $E\notin (ABC)$), còn $OC$ cắt $(ABC)$ tại $C\notin EK$; do đó $EK$ và $OC$ chéo nhau, không cắt nhau → khẳng định SAI. Khớp đáp án nguồn D (mã đề 1102, câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ $O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$. Khi đó $E(\frac{1}{2},0,0)$, $J(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $L(0,0,\frac{1}{2})$, và vì $KB=2KC$ nên $K$ chia $BC$ theo tỉ lệ $2:1$: $K(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
- A: $AK$: $(1-t,\frac{t}{3},\frac{2t}{3})$; $OC$: $(0,0,s)$. Từ $x=0\Rightarrow t=1$ nhưng khi đó $y=\frac{1}{3}\ne 0$, không có giao điểm và không song song → $AK$ và $OC$ chéo nhau. A đúng.
- B: $J\in AB,K\in BC$ nên $JK\subset (ABC)$; $AC\subset (ABC)$. $\overrightarrow{JK}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{6},\frac{2}{3})$ không tỉ lệ $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$ → hai đường cắt nhau (nghiệm $t=3$, điểm ngoài đoạn). B đúng.
- C: $EK$: $(\frac{1}{2}-\frac{t}{2},\frac{t}{3},\frac{2t}{3})$; $OC$: $(0,0,s)$. Từ $x=0\Rightarrow t=1$, khi đó $y=\frac{1}{3}\ne 0$ → không có nghiệm chung, không song song → $EK$ và $OC$ chéo nhau, KHÔNG cắt nhau. C sai.
- D: $L\in OC,K\in BC$ nên $LK\subset (OBC)$; $OB\subset (OBC)$, hai đường không song song → cắt nhau. D đúng.
Vậy khẳng định sai là C, khớp đáp án nguồn (đề 1101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau, nên mệnh đề B sai. Các mệnh đề A, C, D đều đúng theo định nghĩa về đường thẳng chéo nhau. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau, nên mệnh đề A sai. Mệnh đề B đúng vì hai đường thẳng chéo nhau không nằm trong cùng một mặt phẳng nên không có điểm chung. Mệnh đề C đúng theo định nghĩa đường thẳng chéo nhau. Mệnh đề D đúng vì hai đường thẳng phân biệt hoặc cùng mặt phẳng (khi đó cắt nhau hoặc song song) hoặc chéo nhau; không chéo nhau thì phải cắt nhau hoặc song song. Đáp án khớp với mã đề 1105: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$: hai đường thẳng $BC$ và $CA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và cắt nhau tại $C$ nên không chéo nhau (A sai). Hai đường thẳng $DA$ và $DB$ cùng nằm trong $(ABD)$, cắt nhau tại $D$ (C sai). Hai đường thẳng $BD$ và $AB$ cùng nằm trong $(ABD)$, cắt nhau tại $B$ (D sai). Hai đường thẳng $AD$ và $BC$: $AD$ nằm trong $(ABD)$ còn $BC$ nằm trong $(ABC)$; giả sử $AD$ và $BC$ đồng phẳng thì mặt phẳng chứa chúng chứa $A,D,B,C$, mâu thuẫn vì $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Chúng không có điểm chung nên chéo nhau. Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1002, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$: $BD$ và $AB$ cắt nhau tại $B$ (A sai); $BC$ và $CA$ cắt nhau tại $C$ (B sai); $DA$ và $DB$ cắt nhau tại $D$ (C sai); $AB$ nằm trong mặt $(ABC)$ còn $CD$ chỉ có điểm $C$ chung với mặt này và $C\notin AB$, nên $AB$ và $CD$ không đồng phẳng, chéo nhau. Đáp án D, khớp đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau (giao điểm chung) hoặc chéo nhau (không có điểm chung nhưng góc giữa chúng bằng 90°). Do đó A sai (chỉ đúng trong mặt phẳng), B sai (hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau), D sai (có thể cắt nhau). Khẳng định đúng là C, trùng với đáp án mã đề 1001 (Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng cho trước có thể chéo nhau, khi đó đường thẳng cắt cả hai không làm ba đường đồng phẳng. B sai vì '2 đường thẳng cắt nhau trước' nghĩa không rõ ràng, và nếu đường thẳng thứ ba cắt hai đường đó tại hai điểm trùng nhau (đi qua giao điểm) thì vẫn đúng, nhưng cách phát biểu không chặt chẽ như C. C đúng: nếu đường thẳng $d$ cắt hai đường thẳng $a,b$ tại hai điểm phân biệt $M\ne N$, thì $M\in a$, $N\in b$, và $a,b$ cắt nhau tại giao điểm $I$ (vì $d$ cắt cả hai nên $a,b$ không chéo nhau, không song song). Ba điểm $M,N,I$ không thẳng hàng nên xác định một mặt phẳng $(\alpha )$; khi đó $a,b,d$ đều nằm trong $(\alpha )$, tức ba đường thẳng đồng phẳng. D sai vì ba đường thẳng trong đó có hai đường chéo nhau thì không thể đồng phẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một có thể tạo thành tam giác (ba giao điểm phân biệt), khi đó chúng không đồng quy.
- B sai: Nếu ba đường thẳng đồng quy tại một điểm chung thì chúng có thể không đồng phẳng, ví dụ ba cạnh $SA$, $SB$, $SC$ xuất phát từ đỉnh $S$ của một hình chóp.
- C đúng: Nếu ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì ba giao điểm không thể phân biệt (vì nếu ba giao điểm phân biệt thì ba đường thẳng đồng phẳng theo định lý). Vậy ba đường thẳng phải cùng đi qua một giao điểm duy nhất, tức đồng quy.
- D sai: Ba đường thẳng đồng quy chưa chắc đồng phẳng, ví dụ ba cạnh $SA$, $SB$, $SC$ của một góc tam diện (xuất phát từ đỉnh $S$ của hình chóp) không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không có điểm chung. Xét các mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt vẫn có thể cắt nhau hoặc song song (ví dụ hai đường thẳng cùng nằm trong giao tuyến... hoặc cắt nhau tại một điểm thuộc mặt phẳng chung). B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song. D sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song có thể cắt nhau. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng theo tính chất bắc cầu của quan hệ song song trong không gian. B đúng: hai đường thẳng song song luôn đồng phẳng và mặt phẳng đó duy nhất. C sai: ba đường thẳng đôi một cắt nhau có thể đồng quy tại một điểm chung (ví dụ ba cạnh của một hình chóp xuất phát từ đỉnh), khi đó chúng không đồng phẳng. D đúng: trong mặt phẳng chứa $a$, $b$, $c$, do $a\parallel b$ và $c$ cắt $b$ nên $c$ không song song với $a$, mà $c$ và $a$ nằm trong cùng mặt phẳng nên chúng cắt nhau. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$; E là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Suy ra $\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$. Vậy $GE\parallel CD$ (vì $\frac{1}{3}\ne 1$ nên GE và CD không trùng nhau). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M,N,P,Q,R,S$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA,AC,BD$.
- Xét A: $MQ$ nối trung điểm $AB,DA$ nên $MQ\parallel BD$; $NP$ nối trung điểm $BC,CD$ nên $NP\parallel BD$; nhưng $R$ nằm trên $AC$ nên $RA$ chính là đường thẳng $AC$, không song song với $BD$. Mệnh đề A sai.
- Xét B: Dùng vectơ: $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B})$, $\overrightarrow{NQ}=\frac{1}{2}(\vec{D}+\vec{A}-\vec{B}-\vec{C})$, $\overrightarrow{RA}=\frac{1}{2}(\vec{A}-\vec{C})$. Không có quan hệ đồng quy giữa ba đường thẳng $MP,RA,NQ$ (ví dụ $RA$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ còn $NQ$ chéo với nó). Mệnh đề B sai.
- Xét C: $\overrightarrow{RS}=\frac{1}{2}(\vec{B}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{C})=-\overrightarrow{NQ}$, suy ra $RS\parallel NQ$, do đó hai đường thẳng $NQ$ và $RS$ song song và xác định một mặt phẳng; đường thẳng $SP$ cắt mặt phẳng này tại $S$ (thực chất $SP$ cũng nằm trong mặt phẳng đó vì ba điểm $N,Q,S,P$... xét $\overrightarrow{SP}=\frac{1}{2}(\vec{C}-\vec{B})\parallel BC$, và mặt phẳng chứa $NQ,RS$ cũng chứa phương này). Vậy ba đường thẳng $NQ,SP,RS$ đồng phẳng. Mệnh đề C đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $p\subset (P)$ và $q\subset (Q)$ với $(P)\cap (Q)=\Delta$ có thể có nhiều vị trí tương đối: nếu $p$ và $q$ cùng cắt $\Delta$ tại một điểm chung thì chúng cắt nhau; nếu $p\parallel \Delta$ và $q\parallel \Delta$ (với $p\ne q$) thì chúng song song; nếu $p$ cắt $\Delta$ tại một điểm không nằm trên $q$ thì chúng chéo nhau. Vậy cả ba khả năng cắt nhau, chéo nhau, song song đều có thể xảy ra, do đó không mệnh đề A, B, C nào luôn đúng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng cặp: $SO$ và $AD$: $SO\subset (SBD)$, $SO\cap (ABCD)=O$ mà $O\notin AD$ (vì $ABCD$ tứ giác tùy ý, $O$ là giao $AC$ và $BD$), nên $SO$ và $AD$ chéo nhau. $SA$ và $BC$: $SA\subset (SAB)$, $SA\cap (ABCD)=A\notin BC$ nên chéo nhau. $MN$ và $SC$: $M\in SD$, $N\in SB$ nên $MN\subset (SBD)$, còn $SC$ chỉ gặp mặt phẳng $(SBD)$ tại $S\notin MN$ (vì $M,N$ khác $S$), nên chéo nhau. $MN$ và $SO$: cả hai đều nằm trong mặt phẳng $(SBD)$ (vì $M\in SD,N\in SB,O\in BD$). Trong tam giác $SBD$, đường thẳng $MN$ nối hai điểm trên $SD$, $SB$ với $\frac{SM}{SD}=\frac{1}{2}$ và $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$, vì hai tỉ số khác nhau nên $MN$ không song song với $BD$, do đó $MN$ cắt $SO$ (cùng thuộc $(SBD)$ và không song song). Vậy cặp cắt nhau là $MN$ và $SO$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vì $AB\parallel CD$ với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$), không song song với $AC,BD$.

b) Đúng. Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ thì $C=B+D$, $M$ có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{d}$, trọng tâm $N$ của $ABC$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{2\vec{b}}{3}\parallel AB\parallel CD$. Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không đi qua $D$; $SD$ cắt $(ABCD)$ tại $D$ và $SD$ không song song $MN$ (vì $S$ không thuộc $(ABCD)$). Vậy $MN$ và $SD$ chéo nhau.

c) Đúng. Vì $MN\parallel CD$, $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ nên $MN\parallel (SCD)$.

d) Sai. $\vec{G}=\frac{\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}}{3}$, $\vec{N}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$ nên $\overrightarrow{NG}=\frac{\vec{S}-\vec{C}}{3}\parallel SC$. Mà $SC\subset (SAC)$, đồng thời $N\notin (SAC)$ (vì $N$ không nằm trên $AC$: $\overrightarrow{AN}=\frac{2\vec{b}+\vec{d}}{3}$ không cùng phương $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$). Vậy $NG\parallel (SAC)$, tức $NG$ không cắt mặt phẳng $(SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\parallel CD$. Do đó $MN\parallel CD$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $IM$ là đường trung bình, suy ra $IM\parallel AC$... đúng hơn: $IM$ là trung tuyến, và vì $I$ trọng tâm nên $I$ nằm trên trung tuyến từ $C$, do đó $IM\parallel C{C}^{\prime }$... Trình bày chuẩn: Trong tam giác $ABC$, gọi $M$ trung điểm $AB$, khi đó $C,I,M$ thẳng hàng (trung tuyến). Trong tam giác $ABD$, $J$ thuộc trung tuyến từ $D$ nên $D,J,M$ thẳng hàng. Xét tam giác $MCD$: $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $MI=\frac{1}{3}MC$; $J$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $MJ=\frac{1}{3}MD$. Suy ra $\frac{MI}{MC}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$, theo định lí Thales (đảo) ta có $IJ\parallel CD$ (với $I,J$ nằm trong tam giác $MCD$, $IJ$ không cắt $CD$). Vậy $IJ\parallel CD$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $DC\parallel IJ$. Trong tam giác $SCD$, $E$, $F$ là trung điểm $SC$, $SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel DC\parallel IJ$. Vậy $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ chỉ song song với $BC$).