Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $MN\parallel AC$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel DC\parallel IJ$. Vậy $EF$, $DC$, $AB$ đều song song với $IJ$; chỉ có $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ chỉ song song với $BC$, không song song với $AB$).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tứ diện $G=\frac{A+B+C+D}{4}$. Điểm $G_1$ trên đường thẳng $AG$ và thuộc mp$(BCD)$: viết $G_1=A+t(G-A)$, điều kiện hệ số của $A$ bằng 0 cho $t=\frac{4}{3}$, suy ra $G_1=\frac{B+C+D}{3}$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Tương tự $G_2=\frac{A+C+D}{3}$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Khi đó $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{A-B}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, nên $G_1{G}_2\parallel AB$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$ là $I=\frac{A+B+C}{3}$, trọng tâm tam giác $ABD$ là $J=\frac{A+B+D}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\vec{J}-\vec{I}=\frac{\vec{D}-\vec{C}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{3}CD$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.
a) Đúng: vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$.
b) Đúng: $SA$ và $SC$ cùng đi qua điểm $S$ nhưng là hai đường thẳng phân biệt ($A\ne C$) nên chúng cắt nhau tại $S$.
c) Sai: $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ còn $BC$ nằm trong đáy; $SA$ không song song với $BC$ (nếu song song thì do $BC\parallel AD$ suy ra $SA\parallel AD$, vô lý vì chúng cắt nhau tại $A$). Thực tế $SA$ và $BC$ chéo nhau.
d) Đúng: $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, $AB$ nằm trong đáy $(ABC)$; giả sử $SC$ và $AB$ đồng phẳng thì mặt phẳng chứa chúng là $(ABC)$, khi đó $S\in (ABC)$, mâu thuẫn vì $S$ không thuộc đáy. Vậy $SC$ và $AB$ chéo nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA$ và $SC$ là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua $S$ nên cắt nhau tại $S$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$SA$ không song song $BC$ (nếu song song, do $BC\parallel AD$ ta được $SA\parallel AD$, vô lý vì chúng cắt nhau tại $A$). $SA$ và $BC$ chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $SC$ và $AB$ đồng phẳng thì mặt phẳng đó là $(ABC)$, suy ra $S\in (ABC)$, mâu thuẫn. Vậy $SC$ chéo nhau với $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: $G$ là trung điểm của $AC$ và cũng là trung điểm của $BD$. Tương tự, vì $ABEF$ là hình bình hành nên $H$ là trung điểm của $BF$ và cũng là trung điểm của $AE$.

Xét tam giác $DBF$: $G$ là trung điểm $BD$, $H$ là trung điểm $BF$, theo định lí đường trung bình ta có $$GH\parallel DF,GH=\frac{1}{2}DF.$$

Xét tam giác $ACE$: $G$ là trung điểm $AC$, $H$ là trung điểm $AE$, theo định lí đường trung bình ta có $$GH\parallel CE,GH=\frac{1}{2}CE.$$

Từ đó $CE\parallel GH$ và $DF\parallel GH$, mà qua điểm $G$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $GH$, suy ra $CE\parallel DF$. Vậy ba đường thẳng $GH$, $CE$, $DF$ đôi một song song. (Điều kiện tồn tại: các tam giác $DBF$ và $ACE$ đều không suy biến vì hai hình bình hành không cùng nằm trong một mặt phẳng.)

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $SAB$: $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. Theo định lí đường trung bình, $IJ\parallel AB$ (và $IJ=\frac{1}{2}AB$). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có: $IJ\parallel AB$ và $AB\parallel CD$, hơn nữa $IJ$ không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ còn $AB$ nằm trong $(ABCD)$, do đó theo tính chất bắc cầu của hai đường thẳng song song, $IJ\parallel CD$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta chứng minh $NP\parallel BC$ rồi dùng $EF\parallel BC$.

Xét tam giác $ABD$ với cát tuyến $EMN$ ($E\in AB$, $M\in AD$, $N\in BD$). Theo định lí Menelaus:
$$\frac{BN}{ND}\cdot \frac{DM}{MA}\cdot \frac{AE}{EB}=1.$$
Vì $E$ là trung điểm $AB$ nên $\frac{AE}{EB}=1$, suy ra $\frac{BN}{ND}=\frac{MA}{DM}$.

Xét tam giác $ACD$ với cát tuyến $FMP$ ($F\in AC$, $M\in AD$, $P\in CD$). Theo định lí Menelaus:
$$\frac{CP}{PD}\cdot \frac{DM}{MA}\cdot \frac{AF}{FC}=1.$$
Vì $F$ là trung điểm $AC$ nên $\frac{AF}{FC}=1$, suy ra $\frac{CP}{PD}=\frac{MA}{DM}$.

Do đó $\frac{BN}{ND}=\frac{CP}{PD}$, tức là $\frac{ND}{NB}=\frac{PD}{PC}$. Trong tam giác $BCD$, điểm $N$ trên $BD$ và $P$ trên $CD$ chia hai cạnh theo cùng một tỉ số nên theo định lí Ta-lét (đảo) ta có $NP\parallel BC$.

Mặt khác, trong tam giác $ABC$, $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF\parallel BC$.

Vì $NP\parallel BC$ và $EF\parallel BC$ nên $NP\parallel EF$ (điều phải chứng minh).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$. Theo định lí đường trung bình, $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN\parallel AC$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b$ và $c$ chéo nhau nên $b$ không song song với $c$. Do $a\parallel b$ nên $a$ không song song với $c$ (nếu $a\parallel c$ thì $b\parallel c$, mâu thuẫn), và $a$ không thể trùng $c$ (nếu trùng thì $b\parallel c$). Vị trí tương đối của $a$ và $c$ chỉ có thể là cắt nhau hoặc chéo nhau (cả hai trường hợp đều xảy ra được). Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AB$, $I$ là trung điểm $AC$ nên $MI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MI\parallel BC$ và $MI=\frac{1}{2}BC$.

Xét tam giác $DBC$: $J$ là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $JN$ là đường trung bình của tam giác $DBC$, suy ra $JN\parallel BC$ và $JN=\frac{1}{2}BC$.

Do đó $MI\parallel JN$ và $MI=JN$. Tứ giác $MINJ$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $MINJ$ là hình bình hành. (Chú ý: thứ tự các đỉnh của hình bình hành là $M,I,N,J$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $a$ và $b$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Đường thẳng $c$ song song với $a$ nên $c$ không cắt $a$. Xét $b$ và $c$: nếu $b$ song song $c$ thì qua $b$ có đường $c$ song song với $a$, khi đó $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng (mặt phẳng chứa $b$ và song song... thực chất nếu $b\parallel c\parallel a$ thì $a$ và $b$ đồng phẳng), mâu thuẫn với $a,b$ chéo nhau. Nếu $b$ và $c$ trùng nhau thì $b\parallel a$, cũng mâu thuẫn. Vậy $b$ và $c$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau (cả hai trường hợp đều có thể xảy ra). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC, M là trung điểm AB và N là trung điểm BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra $MN//AC$. Các mệnh đề khác sai: MP nối trung điểm AB và CD của tứ diện nên không song song với AD hay BC; trong tứ diện, BC và AD là hai đường chéo chéo nhau, không có điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, bốn đỉnh không đồng phẳng nên hai cạnh đối như $AB$ và $CD$ không nằm trong cùng một mặt phẳng: chúng không song song và không cắt nhau, tức là chéo nhau. Tương tự $AD$ và $BC$, $AC$ và $BD$ cũng là các cặp cạnh chéo nhau chứ không cắt nhau. Vậy khẳng định đúng là $AB$, $CD$ chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$ và $MN=\frac{AB}{2}$. Mà $AB=2CD$ nên $MN=CD$, đồng thời $MN\parallel CD$ (vì $AB\parallel CD$). Tứ giác $MNCD$ có $MN\parallel CD$ và $MN=CD$ nên là hình bình hành, do đó $MD\parallel NC$. Vậy đáp án B.

Các phương án khác sai:
- A: $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, còn $MC$ cắt mặt phẳng này tại $C$ với $C$ không thuộc $AB$, nên $AB$ không song song $MC$.
- C: $MN\parallel AB$ mà $AB$ không song song $AC$ (cắt nhau tại $A$), nên $MN$ không song song $AC$.
- D: Nếu $MC\parallel ND$ thì do $MD\parallel NC$ đã chứng minh, tứ giác $MCND$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel CD$ và $MN=CD$... nhưng khi đó $CD\parallel MN$ và $CD=MN$ dẫn đến $MNCD$ hình bình hành với $MD\parallel NC$ và $MC\parallel ND$ đồng thời — kiểm tra: thực tế tứ giác $MNCD$ đã là hình bình hành nên $MC$ và $ND$ là hai đường chéo của nó, cắt nhau tại trung điểm chứ không song song. Vậy D sai.

(AI giải đề cho tôi)
I là trọng tâm tam giác ABC nên $I=\frac{A+B+C}{3}$; J là trọng tâm tam giác ABD nên $J=\frac{A+B+D}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=J-I=\frac{D-C}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $IJ\parallel CD$ (vì C, D, I, J không đồng phẳng với đường thẳng qua hai điểm phân biệt). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB\subset (ABC)$ còn $SC\not\subset (ABC)$, $SC\cap (ABC)=C$ và $C\notin AB$ nên $AB$ và $SC$ chéo nhau. Đúng.
b) $SM=2MC\Rightarrow \frac{SM}{SC}=\frac{2}{3}=\frac{SN}{SB}$, trong tam giác $SBC$ có $\frac{SN}{SB}=\frac{SM}{SC}$ nên $MN\parallel BC$. Đúng.
c) Theo b), $MN=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}\cdot 6=4\ne 3$. Sai.
d) Hình thang $AB=2CD$, $AC\cap BD=O$ nên $\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2$ (tam giác $OAB\sim OCD$). Trong tam giác $SAC$: $\frac{AO}{OC}=\frac{SM}{MC}=2$ nên $OM\parallel SA$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB\subset (ABC)$, $SC\cap (ABC)=C\notin AB$ nên $AB$ và $SC$ chéo nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{SN}{SB}=\frac{SM}{SC}=\frac{2}{3}$ nên theo định lý Thales $MN\parallel BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN=\frac{2}{3}BC=4\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2=\frac{SM}{MC}$ nên trong tam giác $SAC$ có $OM\parallel SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, bốn đỉnh không đồng phẳng. Giả sử $AB$ và $CD$ đồng phẳng thì $A,B,C,D$ đồng phẳng (vì $A,B\in AB$, $C,D\in CD$), mâu thuẫn với tính chất tứ diện. Do đó $AB$ và $CD$ không đồng phẳng, tức là chéo nhau. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không có điểm chung. Xét các mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt vẫn có thể cắt nhau hoặc song song (ví dụ hai đường thẳng song song lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song). C và D sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song (đồng phẳng) chứ không nhất thiết chéo nhau. B đúng: nếu hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không đồng phẳng nên không thể có điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Giả sử $AC$ và $BD$ đồng phẳng thì bốn điểm $A,B,C,D$ nằm trong một mặt phẳng, mâu thuẫn với tính chất tứ diện. Mặt khác $AC$ và $BD$ không có điểm chung (không đi qua cặp đỉnh chung nào), nên chúng không thể cắt nhau hay trùng nhau, và cũng không song song (nếu song song thì đồng phẳng). Vậy $AC$ và $BD$ chéo nhau. Đáp án B.