Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

Trong không gian: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy đồng quy hoặc đôi một song song.

Chọn D.

Xét tam giác $SAD$, đoạn thẳng $MN$ nối trung điểm hai cạnh $SA$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình.

Do đó đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AD$.

Chọn B.

Chọn A.

Trong tam giác $SBD$, $M$ là trung điểm của $SB$ và $N$ là trung điểm của $SD$. Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $MN\parallel BD$.
Chọn đáp án B.

Trong tứ diện $ABCD$, hai đường thẳng $AB$ và $CD$ không cùng thuộc một mặt phẳng nên chúng chéo nhau.
Chọn đáp án A.

a) Đúng. Tấm bạt ban đầu là hình chữ nhật $ABCD$ có $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên nửa tấm bạt $ABFE$ vẫn là hình chữ nhật phẳng, suy ra đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $EF$.

b) Sai. Giả sử hai đường thẳng $AE$ và $CF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $AE$ và $CF$ chéo nhau, nên chúng không cắt nhau.

c) Sai. Giả sử hai đường thẳng $BE$ và $DF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $B,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $D$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $BE$ và $DF$ chéo nhau, nên chúng không song song với nhau.

d) Đúng. Giả sử bốn điểm $A,E,C,F$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Do đó bốn điểm $A,E,C,F$ không đồng phẳng, suy ra hai đường thẳng $CE$ và $AF$ chéo nhau.
a) Đúng. Tấm bạt ban đầu là hình chữ nhật $ABCD$ có $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên nửa tấm bạt $ABFE$ vẫn là hình chữ nhật phẳng, suy ra đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $EF$.
b) Sai. Giả sử hai đường thẳng $AE$ và $CF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $AE$ và $CF$ chéo nhau, nên chúng không cắt nhau.
c) Sai. Giả sử hai đường thẳng $BE$ và $DF$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $B,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $D$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Vậy hai đường thẳng $BE$ và $DF$ chéo nhau, nên chúng không song song với nhau.
d) Đúng. Giả sử bốn điểm $A,E,C,F$ đồng phẳng. Mặt phẳng chứa chúng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A,E,F$ nên trùng với mặt phẳng $(ABFE)$. Khi đó điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(ABFE)$, trái với hình dạng chiếc lều. Do đó bốn điểm $A,E,C,F$ không đồng phẳng, suy ra hai đường thẳng $CE$ và $AF$ chéo nhau.

Theo định nghĩa, hai đường thẳng $b$ và $c$ chéo nhau khi và chỉ khi $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.

Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. Chọn A.

Theo định nghĩa trong hình học không gian, hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng, do đó chúng không có điểm chung. Chọn C.

Trong tứ diện $ABCD$, gọi $K$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $AK$.
Vì $IM\parallel DB$ và $M\in (ADC)$ nên $M$ thuộc đoạn nối từ đỉnh của các thiết diện qua trung điểm, với tỉ số $\frac{IM}{DB}=\frac{1}{4}$.
Tương tự, $IN\parallel DC$ và $N\in (ABD)$ với tỉ số $\frac{IN}{DC}=\frac{1}{4}$.
Do đó $IM=\frac{1}{4}DB$ và $IN=\frac{1}{4}DC$.
Góc $\widehat{MIN}=\widehat{BDC}$ (hoặc $180^{\circ }-\widehat{BDC}$).
Diện tích tam giác $IMN$ là:
$S_{△IMN}=\frac{1}{2}IM\cdot IN\cdot \sin \widehat{MIN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}DB\cdot \frac{1}{4}DC\cdot \sin \widehat{MIN}=\frac{1}{32}DB\cdot DC\cdot \sin \widehat{MIN}$.
Vì $\sin \widehat{MIN}\le 1$, diện tích lớn nhất đạt được khi $\sin \widehat{MIN}=1$:
$S_{\max }=\frac{1}{32}\cdot 80a^2\cdot 1=\frac{5}{2}{a}^2$. Chọn C.

Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{AF}$ không đồng phẳng.
Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}=\vec{c}-\vec{a}$.
Do đó: $\overrightarrow{AM}=k(\vec{a}+\vec{b})$, $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\vec{a}+k(\vec{c}-\vec{a})=(1-k)\vec{a}+k\vec{c}$.
Suy ra: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(1-2k)\vec{a}-k\vec{b}+k\vec{c}$.
Mặt khác $DE$: $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF})-\overrightarrow{AD}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$.
Để $MN\parallel DE$ thì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{DE}$:
$\frac{1-2k}{1}=\frac{-k}{-1}=\frac{k}{1}⟺1-2k=k⟺3k=1⟺k=\frac{1}{3}$. Chọn A.

Vì $N,Q$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$ nên $NQ$ là đường trung bình của $\Delta SBD$, suy ra $NQ\parallel BD$. Chọn đáp án C.

Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Ta có $\frac{M{G}_1}{MB}=\frac{M{G}_2}{MA}=\frac{1}{3}⟹G_1{G}_2\parallel AB$ và $G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB$. Do đó mệnh đề B ($G_1{G}_2=\frac{2}{3}AB$) là sai. Chọn B.

$SO$ và $MB$ cùng thuộc mặt phẳng $(SBD)$ và không song song, nên chúng cắt nhau. Chọn B.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Vì $G,E$ lần lượt là trọng tâm $△ABD$ và $△ABC$ nên $\frac{IG}{ID}=\frac{IE}{IC}=\frac{1}{3}\Rightarrow GE\parallel CD$ theo định lý Thales đảo.

Trong tứ diện $S.ABC$, hai đường thẳng $SA$ và $BC$ không cùng thuộc một mặt phẳng nên chúng chéo nhau.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), Câu 7 (Phần 1) chọn đáp án C.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng nên không có điểm chung.