Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đối chiếu với đáp án đề 101 Phần II Câu 1: Đ S S S, khớp với phân tích độc lập. a) Theo định nghĩa, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung (không đồng phẳng hoặc đồng phẳng không cắt nhau) → đúng. b) Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba có thể song song hoặc chéo nhau (ví dụ trong hình hộp, các cạnh khác nhau cùng song song một cạnh) → sai. c) Nếu $a\parallel b$ và $b\subset (P)$ thì $a$ có thể nằm trong $(P)$ (khi đó không song song với $(P)$) hoặc song song với $(P)$; thiếu điều kiện $a\not\subset (P)$ → sai. d) Nếu $(P)$ chứa $a$, $b$ nhưng $a\parallel b$ (không cắt nhau) thì không kết luận được $(P)\parallel (Q)$; điều kiện đúng phải là $a,b$ cắt nhau và cùng song song $(Q)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hai đường thẳng song song không có điểm chung.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba có thể song song hoặc chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu điều kiện $a\not\subset (P)$; $a$ có thể nằm trong $(P)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\parallel b$ thì không kết luận được $(P)\parallel (Q)$; cần $a,b$ cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Xét $MN$ và $CD$: giả sử $MN$ và $CD$ đồng phẳng thì vì $MN\parallel BC$ nên mặt phẳng $(MNC)$ chính là $(ABC)$, khi đó $CD\subset (ABC)$, mâu thuẫn vì $D$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ (tứ diện). Vậy $MN$ và $CD$ không đồng phẳng. Chúng cũng không song song (vì $MN\parallel BC$ mà $BC$ cắt $CD$ tại $C$) và không cắt nhau (không đồng phẳng). Do đó $MN$ và $CD$ chéo nhau. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB', BC, CD trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' (đáy ABCD là hình chữ nhật).
a) Sai. Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (BCC'B'). Đường thẳng A'C cắt mặt phẳng (BCC'B') tại điểm C. Mà MN đi qua N thuộc BC, N không trùng C (N là trung điểm BC), nên MN không đi qua C, do đó MN và A'C không cắt nhau (chỉ nằm chéo nhau). Vậy khẳng định 'MN cắt A'C' sai.
b) Đúng. Trong tam giác BB'C, M là trung điểm BB', N là trung điểm BC nên MN là đường trung bình, suy ra MN ∥ B'C. Vì MN ⊂ (MNP) và B'C ⊄ (MNP), theo định lí đường thẳng song song với mặt phẳng ta có B'C ∥ (MNP).
c) Đúng. Trong tam giác BCD, N, P lần lượt là trung điểm BC, CD nên NP là đường trung bình, suy ra NP ∥ BD. Mặt khác BD ∥ B'D' (tính chất hình hộp), nên NP ∥ B'D'.
d) Sai. Ta có NP ∥ BD với BD ⊂ (ABD'), tức NP ∥ (ABD'). Nếu (MNP) ∥ (ABD') thì mọi đường thẳng trong (MNP) phải song song hoặc nằm trong (ABD'). Xét MN ∥ B'C (chứng minh ở trên). Dùng hệ tọa độ A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,h), B'(1,0,h), D'(0,1,h): mặt phẳng (ABD') có vectơ pháp tuyến n = AB × AD' = (0, −h, 1), còn B'C = (0, 1, −h). Tích vô hướng n · B'C = −h − h = −2h ≠ 0, nên B'C không song song (ABD'), tức MN không song song (ABD'). Vậy hai mặt phẳng (MNP) và (ABD') cắt nhau, khẳng định sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: 1a S, 1b Đ, 1c Đ, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
MN ⊂ (BCC'B'), A'C cắt (BCC'B') tại C, mà MN không đi qua C nên MN và A'C không cắt nhau (nằm chéo nhau).
b) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác BB'C nên MN ∥ B'C, suy ra B'C ∥ (MNP).
c) (AI giải đề cho tôi)
NP là đường trung bình tam giác BCD nên NP ∥ BD ∥ B'D'.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN ∥ B'C nhưng B'C không song song (ABD') (kiểm tra bằng tích vô hướng pháp tuyến cho −2h ≠ 0), nên (MNP) cắt (ABD'), không song song.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SC$ và $BC$: vì $AD\parallel BC$ và $AD\not\subset (SBC)$ nên $AD\parallel (SBC)$, do đó $SC$ và $AD$ không thể cắt nhau (chúng chéo nhau). Vậy khẳng định C là sai. Các khẳng định còn lại đúng: $AC$ và $BD$ là hai đường chéo của hình bình hành nên cắt nhau; $SA$ và $BD$ chéo nhau vì $A\notin (BCD)$; $AB\parallel CD$ do $ABCD$ là hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Trong tam giác $ABC$, trọng tâm $I$ thỏa $\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$. Trong tam giác $ABD$, trọng tâm $J$ thỏa $\overrightarrow{MJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MD}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{MJ}-\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $\overrightarrow{IJ}$ cùng phương với $\overrightarrow{CD}$, tức $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{3}CD$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không có điểm chung (định nghĩa). Vậy mệnh đề A đúng.
- B sai: hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song (đồng phẳng) chứ không nhất thiết chéo nhau.
- C sai: hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt vẫn có thể cắt nhau hoặc song song (ví dụ hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba cắt hai mặt phẳng đã cho).
- D sai: hai đường thẳng phân biệt không song song có thể cắt nhau (đồng phẳng), không nhất thiết chéo nhau.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm $CD$ và $N$ thuộc $BC$ nên cả $M$, $N$ đều nằm trong mặt phẳng $(BCD)$, do đó đường thẳng $MN$ nằm trong $(BCD)$. Đường thẳng $AC$ chỉ cắt mặt phẳng $(BCD)$ tại điểm $C$. Nếu $AC$ cắt hoặc song song với $MN$ thì $C$ phải thuộc $MN$ (khi cắt) hoặc $AC\parallel (BCD)$ (khi song song, vô lý vì $C\in (BCD)$). Vì $N\ne C$ (do $NC=BC/3$) và $M\ne C$ nên $MN$ không đi qua $C$, do đó $AC$ không cắt $MN$. $AC$ cũng không song song với $MN$ vì $AC$ cắt $(BCD)$ tại $C$. Vậy $AC$ và $MN$ chéo nhau. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $M$ là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel AB$. Vậy $MN$ không chéo nhau với $AB$ (song song), cũng không chéo nhau với $AD$, $BD$ vì cùng nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ và cắt (hoặc song song) các đường thẳng đó. Xét $CB$: $CB$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ còn $MN$ nằm trong $(ABD)$; hai mặt phẳng này cắt nhau theo $BD$. Nếu $CB$ cắt $MN$ thì $CB$ phải cắt mặt phẳng $(ABD)$ tại điểm nằm trên $MN$, nhưng $CB$ chỉ cắt $(ABD)$ tại $B$, mà $B\notin MN$ (vì $MN\parallel AB$, $B\in AB$). Vậy $CB$ và $MN$ không cắt nhau, cũng không song song (vì $CB$ không song song $AB$ nói chung trong tứ diện). Do đó $MN$ chéo nhau với $CB$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Xét hai đường thẳng $AD$ và $BC$: giả sử chúng đồng phẳng thì bốn điểm $A,D,B,C$ cùng thuộc một mặt phẳng, mâu thuẫn với tính chất tứ diện. Do đó $AD$ và $BC$ không đồng phẳng, tức là chúng chéo nhau. Vậy khẳng định đúng là D. (Khớp với đáp án chính thức MD 1112: câu 10 là D.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$, hai cạnh $AB$ và $CD$ không nằm cùng một mặt phẳng: giả sử chúng cùng thuộc một mặt phẳng thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng, mâu thuẫn với $ABCD$ là tứ diện. Chúng cũng không song song (nếu song song thì đồng phẳng) và không cắt nhau (nếu cắt nhau thì cũng đồng phẳng). Vậy $AB$ và $CD$ chéo nhau. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (định lý về hai đường thẳng song song). Vì $a$ và $b$ phân biệt nên chúng không trùng nhau, và do cùng song song với $c$ nên chúng không thể cắt nhau hay chéo nhau. Vậy $a$ và $b$ song song, đáp án B, trùng với đáp án nguồn trang 9.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không thể có điểm chung (nếu có điểm chung thì chúng đồng phẳng). Vậy mệnh đề A đúng. B sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt có thể cắt nhau hoặc song song. C và D sai vì hai đường thẳng (phân biệt) không có điểm chung có thể song song (đồng phẳng) chứ không nhất thiết chéo nhau. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\parallel b$ và $a\perp c$ thì $b\perp c$, nên khẳng định C đúng. Các khẳng định A, B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba trong không gian có thể chéo nhau, song song hoặc vuông góc; D sai vì $c\perp b$ chứ không $c\parallel b$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng (tính chất bắc cầu của tính song song trong không gian). B đúng (góc giữa hai đường thẳng được định nghĩa là góc không tù, trong khoảng $[0^{\circ };90^{\circ }]$). C sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ các cạnh của hình lập phương). D đúng (tính chất của hai đường thẳng song song). Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Đúng/Sai) về hai đường thẳng trong không gian:
(a) Đúng — theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
(b) Sai — trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau (không cắt nhau), ví dụ $SA\perp BC$ với $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ thì $SA$ và $BC$ chéo nhau.
(c) Đúng — tính chất: nếu $a\parallel b$ và $c\perp a$ thì $c\perp b$.
(d) Sai — trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (không giống trong mặt phẳng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai, hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau, ví dụ $SA\perp (ABC)$ thì $SA\perp BC$ nhưng $SA$ và $BC$ không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng, đây là tính chất của hai đường thẳng song song: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường kia.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai, trong không gian hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: a) Trong tam giác SBD, M là trung điểm SB, N là trung điểm SD nên MN là đường trung bình, suy ra MN // BD → đúng. b) Vì MN // BD và BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) còn MN không nằm trong (ABCD), BD cắt AC tại tâm O của hình thoi nên MN không cắt AC và không song song AC → MN và AC chéo nhau → đúng. c) Đáy ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC ⊥ BD → đúng. d) Vì MN // BD và AC ⊥ BD nên (MN, AC) = (BD, AC) = 90° → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình của tam giác SBD nên MN // BD.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN // BD, BD cắt AC tại O, MN không thuộc (ABCD) nên MN và AC không cắt nhau và không song song, tức chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau nên AC ⊥ BD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì MN // BD và AC ⊥ BD nên góc giữa MN và AC bằng góc giữa BD và AC, bằng 90°.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $SBD$: $M$ là trung điểm $SB$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $BD$. Đường trung bình $MO$ của tam giác $SBD$ nên $MO\parallel SD$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong không gian:
- A đúng: định lý về ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt — ba giao tuyến hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
- B sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng chưa chắc song song (ví dụ các đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đó, chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau).
- C đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (đường thẳng là pháp tuyến chung).
- D đúng: cho hai đường thẳng chéo nhau, tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi hai vectơ chỉ phương cùng phương. Do đó nếu ${\vec{u}}_1$ và ${\vec{u}}_2$ không cùng phương thì ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ không thể song song hay trùng nhau, mà phải cắt nhau. Chọn A.