Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,BC$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD\Rightarrow MN\parallel CD$ (1)

$J,I$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD\Rightarrow \frac{AI}{AM}=\frac{AJ}{AN}=\frac{2}{3}\Rightarrow IJ\parallel MN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $IJ\parallel CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp $S.ABCD$, $SA$ và $BC$ không nằm cùng một mặt phẳng. Giả sử chúng đồng phẳng: nếu $SA$ cắt $BC$ tại $I$ thì $I$ thuộc $SA\subset (SAD)$ và $I$ thuộc $BC\subset (ABCD)$, nên $I$ thuộc giao tuyến $AD$ của $(SAD)$ và $(ABCD)$, tức $I$ thuộc cả $BC$ và $AD$ — vô lý vì $BC$ và $AD$ là hai cạnh không giao nhau của tứ giác đáy lồi. Nếu $SA\parallel BC$ thì qua $A$ có hai đường thẳng phân biệt $AD$ và $SA$ cùng song song với $BC$ — vô lý. Vậy $SA$ và $BC$ chéo nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất bắc cầu của tính song song trong không gian: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Mệnh đề A sai vì hai đường có thể song song chứ không nhất thiết trùng nhau; B sai vì chúng song song chứ không chéo nhau; C thiếu điều kiện 'phân biệt' (hai đường có thể trùng nhau) nên không chính xác. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất bắc cầu của tính song song trong không gian: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Mệnh đề A sai vì hai đường phân biệt cùng song song với đường thứ ba thì song song chứ không chéo nhau. Mệnh đề C sai vì nếu không giả thiết 'phân biệt' thì hai đường có thể trùng nhau. Mệnh đề D sai vì hai đường phân biệt không thể trùng nhau. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, tính chất bắc cầu của quan hệ song song: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Mệnh đề A thiếu điều kiện 'phân biệt' (hai đường có thể trùng nhau nên chưa chắc 'song song' theo định nghĩa); C và D sai vì hai đường phân biệt cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau, không thể chéo nhau hay trùng nhau. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{S}+\vec{A}+\vec{B}}{3}$; K là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $\vec{K}=\frac{\vec{S}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{GK}=\vec{K}-\vec{G}=\frac{\vec{C}-\vec{A}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $GK\parallel AC$, đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) và $I$ là trung điểm $SA$. Vậy $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OI\parallel SC$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$) và $I$ là trung điểm $SA$. Vậy $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OI\parallel SC$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Do đó $MN\parallel AC$. Vậy mệnh đề đúng là B. (Lưu ý: $MN$ không song song với $(SBD)$ vì $MN\parallel AC$ và $AC$ cắt $(SBD)$ tại giao điểm của hai đường chéo đáy.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$. A, B sai vì $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, cắt $SA$ tại $M$ và không qua $S$ nên không song song với $SA$ hay $SD$. C sai vì $MN$ không song song với mặt phẳng $(SBD)$ (nó cắt $(SBD)$ tại giao điểm với đường thẳng $AC$ nằm trong $(SBD)$... thực chất $MN$ cắt mặt phẳng $(SBD)$ nên không song song). Khớp đáp án mã đề 1103: câu 1 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $MN\parallel AC$. Vậy mệnh đề đúng là B (khớp đáp án mã đề 1102).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $MN\parallel AC$. Vậy mệnh đề đúng là B. (A sai vì $MN$ cắt $SA$ tại $M$; D sai vì $MN$ không song song $SD$; C sai vì $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, mặt này cắt $(SBD)$ theo giao tuyến không song song với $MN$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

Ta có $AD$ và $BC$ là hai đường thẳng chéo nhau. Chọn đáp án (A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F\in SA$, $H\in SD$ nên $FH\subset (SAD)$. Đường thẳng $CD$ không nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ và chỉ cắt mặt phẳng này tại điểm $D$. Mặt khác $FH$ không đi qua $D$ (vì $F$ nằm trong đoạn $SA$, $H$ nằm trong đoạn $SD$, nên $FH$ cắt $SD$ tại $H\ne D$). Do đó $FH$ và $CD$ không nằm trong cùng một mặt phẳng, không song song và không cắt nhau, tức là chúng chéo nhau. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ (cạnh đối của hình vuông $ABCD$) và $DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ (cạnh đối của hình vuông $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$). Suy ra $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$. Các phương án còn lại: $C{C}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ chéo với $AB$ (không song song, không cắt), $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường chéo mặt nên không song song với $AB$. Đáp án khớp với mã đề 111: B.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$ (khẳng định D đúng). $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$, còn $BC\parallel AD\subset (SAD)$ nhưng $BC\not\subset (SAD)$, do đó $SA$ và $BC$ chéo nhau (A đúng). Tương tự $AB$ và $SC$: $AB\subset (ABCD)$, $SC$ chỉ có điểm $C$ chung với mặt phẳng đáy mà $C\notin AB$, nên $AB$ chéo nhau $SC$ (B đúng). Với $SD$ và $BC$: $S\notin (ABCD)$, $D\in (ABCD)$ nhưng $D\notin BC$, nên $SD$ và $BC$ chéo nhau chứ không cắt nhau. Vậy khẳng định C là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ (B đúng). $SD$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ còn $BC$ nằm trong đáy, $SD$ không nằm trong đáy và không cắt $BC$, nên $SD$ và $BC$ chéo nhau (A đúng). Tương tự $SA$ không nằm trong đáy, $SA$ không song song và không cắt $BC$ nên $SA$ và $BC$ chéo nhau (C đúng). $AB$ nằm trong đáy $(ABC)$, $SC$ chỉ cắt đáy tại $C$ và $C\notin AB$ nên $AB$ và $SC$ không thể cắt nhau (chúng chéo nhau). Vậy khẳng định sai là D, trùng đáp án của đề (mã 1101, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $MN\parallel CD$. Khẳng định A đúng. Các khẳng định B, C, D sai vì $MN$ không song song với $AD$ (mà song song với $AB$); $MG$ và $NG$ không tạo thành đường trung bình song song với $BC$ hay $AD$ trong mặt phẳng nào tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $MN\parallel CD$. Các khẳng định B, C, D không đúng vì $MN$ chỉ song song với $AB$ (tức $CD$), còn $MG$, $NG$ không tạo thành các đường trung bình tương ứng song song với $BC$ hay $AD$. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$. Xét $MN$ và $AD$: $MN$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ (vì $MN\parallel BC$, $BC\subset (BCD)$), còn $AD$ không nằm trong $(BCD)$. Giao điểm của $AD$ với $(BCD)$ là điểm $D$, mà $D\notin MN$ (vì $MN\parallel BC$ và $D$ không thuộc đường thẳng qua $MN$ song song $BC$). Đồng thời $AD$ không song song với $BC$ (vì $AD$ cắt $BC$ không đồng phẳng trong tứ diện). Vậy $MN$ và $AD$ không song song, không cắt nhau mà chéo nhau. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 8 = B).