Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel DC\parallel IJ$. Vậy $DC$, $EF$, $AB$ đều song song với $IJ$. Còn $AD$ chỉ song song với $BC$ trong hình bình hành, không song song với $AB$ nên không song song với $IJ$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (hai cạnh tương ứng), $AB\parallel CD$ (đáy $ABCD$ là hình bình hành), $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $C^{\prime }{D}^{\prime }\parallel CD\parallel AB$). Còn $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AD$ nên $B^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song với $AB$ (chúng chéo nhau). Vậy $AB$ không song song với $B^{\prime }{C}^{\prime }$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
N, Q là trung điểm OA, OB nên NQ là đường trung bình của tam giác OAB, suy ra $NQ\parallel AB$ (không song song với OB). Vậy khẳng định B sai. Kiểm tra các ý khác: SQ nằm trong (SOB), BN cắt mặt (SOB) tại B không thuộc SQ nên SQ và BN chéo nhau (A đúng). Với H, I là trọng tâm: $\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OB}}{3}-\frac{\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OA}}{3}=\frac{\overrightarrow{AB}}{3}$, nên $HI\parallel AB\parallel NQ$ (C đúng). SA nằm trong (SOA), OB cắt (SOA) tại O không thuộc SA nên SA và OB chéo nhau (D đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),E(0;0;1),F(1;0;1),G(1;1;1),H(0;1;1)$. Khi đó $M(0,5;0;0),N(0;0,5;0),P(0,5;1;0)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{BF}=(0;0;1)$, $\overrightarrow{HM}=(0,5;-1;-1)$ không cùng phương. $\overrightarrow{GP}=(-0,5;0;-1)$, $\overrightarrow{EN}=(0;0,5;-1)$ không cùng phương. $\overrightarrow{EB}=(1;0;-1)$, $\overrightarrow{GD}=(-1;0;-1)$ không cùng phương. $\overrightarrow{EM}=(0,5;0;-1)$ và $\overrightarrow{HP}=(0,5;0;-1)$ bằng nhau nên $EM\parallel HP$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau, nên A, D sai. Hai đường thẳng cắt nhau thì có một điểm chung, nên B sai. Định nghĩa hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, nên C đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $MN\parallel AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp tứ giác $S.ABCD$: $AB$ và $CD$ cùng nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$ (không chéo nhau); $AB$ và $SB$ cắt nhau tại $B$; $AB$ và $AC$ cắt nhau tại $A$. Xét $AB$ và $SD$: $AB\subset (ABCD)$, $SD$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại $D$, mà $D\notin AB$, nên $AB$ và $SD$ không cùng nằm trên một mặt phẳng và không cắt nhau. Vậy $AB$ chéo nhau với $SD$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau. B đúng: trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung hoặc song song (cùng thuộc một mặt phẳng) hoặc chéo nhau. C sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song. D sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng vẫn có thể cắt nhau hoặc song song. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
M là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB})$; N là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC})$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $MN\parallel BC$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $I$ là trung điểm $SA$, $J$ là trung điểm $SC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, do đó $IJ\parallel AC$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Tương tự, trong tam giác $SCD$, $E$, $F$ là trung điểm $SC$, $SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel CD\parallel IJ$. Vậy các đường $AB$, $DC$, $EF$ đều song song với $IJ$. Còn $AD$ không song song với $AB$ (chúng cắt nhau tại $A$) nên $AD$ không song song với $IJ$. Đáp án: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC: M trung điểm AC, P trung điểm BC nên MP là đường trung bình, do đó MP // AB. Xét tam giác SAD: R trung điểm SA, T trung điểm SD nên RT là đường trung bình, do đó RT // AD.
a) MP // AB còn RT // AD, mà AB không song song AD (hai cạnh kề nhau tại A), nên MP không song song RT → mệnh đề ĐÚNG.
b) Trong tam giác ACD: M trung điểm AC, Q trung điểm CD nên MQ là đường trung bình, MQ // AD. Mà RT // AD nên MQ // RT (MQ và RT cùng nằm trong mặt phẳng (SAD)... thực tế MQ nằm trong (ACD), RT trong (SAD); cả hai đều song song AD nên MQ // RT theo định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian) → mệnh đề ĐÚNG.
c) MN nối trung điểm hai đường chéo AC và BD của tứ diện ABCD, không song song với AD nói chung (ví dụ lấy A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1): M(0,1/2,0), N(1/2,0,1/2), vector MN = (1/2,-1/2,1/2) không cùng phương AD = (0,0,1)) → mệnh đề SAI.
d) PQ nối trung điểm BC và CD trong tam giác BCD nên PQ // BD; BD không song song AD (chung điểm D) nên PQ không song song RT → mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
MP là đường trung bình tam giác ABC nên MP // AB; RT là đường trung bình tam giác SAD nên RT // AD. Vì AB cắt AD tại A nên MP không song song RT.
b) (AI giải đề cho tôi)
MQ là đường trung bình tam giác ACD nên MQ // AD; mà RT // AD nên MQ // RT.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN nối trung điểm hai đường chéo AC, BD của tứ diện ABCD, không cùng phương với AD nên MN không song song RT.
d) (AI giải đề cho tôi)
PQ là đường trung bình tam giác BCD nên PQ // BD; BD cắt AD tại D nên PQ không song song RT (RT // AD).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không có điểm chung. Xét các mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt vẫn có thể cắt nhau hoặc song song (ví dụ hai đường thẳng cùng nằm trong giao tuyến... hoặc cắt nhau tại một điểm thuộc mặt phẳng thứ ba). B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song (đồng phẳng). D sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song trong cùng một mặt phẳng thì cắt nhau chứ không chéo nhau. C đúng: hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng nên không thể có điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, $AB\parallel CD$, và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại tâm $O$ của hình bình hành (nên C và D đúng). Xét $SB$ và $CD$: $CD\subset (ABCD)$, $B\in (ABCD)$ nhưng $B\notin CD$, còn $S\notin (ABCD)$, nên $SB$ và $CD$ chéo nhau (B đúng). Xét $AD$ và $SC$: $AD\subset (ABCD)$, $C\in (ABCD)$ nhưng $C\notin AD$, còn $S\notin (ABCD)$, nên $AD$ và $SC$ cũng chéo nhau chứ không cắt nhau. Vậy khẳng định A là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBD$, $I$ là trung điểm của $SB$, $J$ là trung điểm của $SD$. Theo định lý đường trung bình, $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $IJ\parallel BD$. Vậy đường thẳng song song với $IJ$ là $BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (E, F, G, H lần lượt dưới A, B, C, D):
- A đúng: $BF$ nằm trong mặt $(BFG)$ còn $AD$ nằm trong mặt $(ADH)$, không song song và không cắt nhau nên chéo nhau.
- B sai: $CG\parallel BF\parallel AE$ và $HE\parallel AD$; thực tế $CG\parallel EH$ (cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AD}$), hai đường thẳng này song song nên không thể cắt nhau. Mệnh đề 'CG cắt HE' sai.
- C đúng: $AB\parallel DC\parallel HG$ (tính chất hình hộp).
- D đúng: $BG$ và $HD$ không nằm cùng một mặt phẳng, không song song và không cắt nhau nên chéo nhau.
Vậy mệnh đề sai là B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 112, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ (theo hình vẽ, $E,F,G,H$ là các đỉnh dưới, $A,B,C,D$ là các đỉnh trên): $CG$ là cạnh bên nên song song với $HE$ (cũng là cạnh bên), do đó $CG$ không thể cắt $HE$ — mệnh đề A sai. Xét các mệnh đề còn lại: $BF$ là cạnh bên, $AD$ nằm trên mặt trên, không song song và không đồng phẳng nên chéo nhau (B đúng); $AB$ song song với $DC$ và $DC$ song song với $HG$ nên $AB\parallel HG$ (C đúng); $BG$ và $HD$ không đồng phẳng, không song song nên chéo nhau (D đúng). Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt có 4 vị trí tương đối: song song, cắt nhau, chéo nhau, và trùng nhau (nếu tính cả hai đường trùng nhau). Với hai đường thẳng cho trước $a$ và $b$, số vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian là 4 (song song, cắt, chéo, trùng). Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3}$; $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\overrightarrow{G^{\prime }}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{D}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{G^{\prime }G}=\vec{G}-\overrightarrow{G^{\prime }}=\frac{\vec{C}-\vec{A}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $G{G}^{\prime }\parallel AC$, hai đường thẳng này không trùng nhau vì $G$ không nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ chứa $AC$ ($G$ nằm trong mặt $(BCD)$). Do đó khẳng định đúng là A. Khẳng định B, C, D sai vì $G{G}^{\prime }$ song song với $AC$ chứ không song song, chéo hay cắt $AB/AC$ theo cách khác.