Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, chiếc cổng là một phần của parabol $(P)$: $y=a{x}^2+bx+c$ với $a<0$. Do parabol $(P)$ đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng $x=0\Rightarrow -\frac{b}{2a}=0\iff b=0$. Chiều cao của cổng parabol là $4m$ nên $G(0;6)\Rightarrow c=6$. $\Rightarrow (P):y=a{x}^2+6$. Lại có, kích thước cửa ở giữa là $4m\times 3m$ nên $C(2;3),D(-2;3)\Rightarrow 3=4a+6\iff a=-\frac{3}{4}$. Suy ra $(P):y=-\frac{3}{4}{x}^2+6$. Ta có $-\frac{3}{4}{x}^2+6=0\iff \{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}\\ x=2\sqrt{2}\end{array}$ nên $A(-2\sqrt{2};0)$, $B(2\sqrt{2};0)$ hay $AB=4\sqrt{2}(m)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$) và đỉnh tại $x=1$ (điểm thấp nhất có hoành độ 1, tung độ -1). Với hàm bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$, $a>0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$ là khẳng định đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì hàm đồng biến (không nghịch biến) trên $(1;+\infty )$; C sai vì trên $(-\infty ;-1)$ hàm đồng biến (nằm trong khoảng $(-\infty ;1)$); D sai vì trên $(-1;+\infty )$ hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

Ta có $y=x^2+x$ là một hàm số bậc hai có hệ số $a=1$. Chọn đáp án B

a) Tập xác định của hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3$ là $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

b) Giá trị của hàm số tại $x=2$ là $f(2)=2^2-4\cdot 2+3=-1$

c) Ta có $a=1$, $b=-4$ và $c=3$. Khi đó $-\frac{b}{2a}=2$ và $-\frac{\Delta }{4a}=f(2)=-1\Rightarrow I(2;-1)$. Vậy đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3$ là một Parabol có đỉnh $I(2;-1)$.

d) Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình $x^2-4x+3=0\iff x=1$, $x=3$.

Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d sai]
a) Tập xác định của hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3$ là $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
b) Giá trị của hàm số tại $x=2$ là $f(2)=2^2-4\cdot 2+3=-1$
c) Ta có $a=1$, $b=-4$ và $c=3$. Khi đó $-\frac{b}{2a}=2$ và $-\frac{\Delta }{4a}=f(2)=-1\Rightarrow I(2;-1)$. Vậy đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3$ là một Parabol có đỉnh $I(2;-1)$.
d) Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2-4x+3$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình $x^2-4x+3=0\iff x=1$, $x=3$.

Ta có tổng chi phí vận hành khi sản xuất $x$ sản phẩm là

$$C(x)=x\cdot A(x)=x\left(3x-240+\frac{8000}{x}\right)=3x^2-240x+8000.$$

Xét hàm số bậc hai $f(x)=3x^2-240x+8000$ có đồ thị là một parabol có đỉnh $I(40;3200)$. Khi đó $f(x)=3(x-40{)}^2+3200\ge 3200\Rightarrow f(x{)}_{min}=3200$ khi $x=40$. Vậy để tổng chi phí vận hành là thấp nhất thì công ty cần sản xuất 40 sản phẩm.

Vì Parabol $(P):y=a{x}^2+bx+1$ đi qua hai điểm $A(1;0)$ và $B(2;4)$ nên ta có hệ phương trình sau

$$\{\begin{array}{l}a\cdot 1^2+b\cdot 1+1=0\\ a\cdot 2^2+b\cdot 2+1=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b=-1\\ 4a+2b=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{5}{2}\\ b=-\frac{7}{2}\end{array}.$$

Vậy Parabol cần tìm là $(P):y=\frac{5}{2}{x}^2-\frac{7}{2}+1$.

Dựa vào đồ thị ta thấy $f(x)<0\iff x\in (1;3)$. Chọn đáp án C

Từ đồ thị ta thấy Parabol có đỉnh $I(-1;2)$. Chọn đáp án C

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol (P) có bề lõm hướng lên, đỉnh tại $I(1;-2)$ và đi qua điểm $(2;-1)$ (đường nét đứt). Suy ra $y=(x-1{)}^2-2=x^2-2x-1$. a) Sai: trục đối xứng là đường thẳng $x=1$, không phải $y=1$. b) Sai: $y=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ có đỉnh $(1;0)$, khác đồ thị đã cho. c) Đúng: đỉnh là $I(1;-2)$. d) Sai: $y(-1)=(-1-1{)}^2-2=4-2=2\ne 4$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0101: 2a S, 2b S, 2c D, 2d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol có đỉnh $(1;-2)$ là đường thẳng $x=1$, không phải $y=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ có đỉnh $(1;0)$, trong khi đồ thị đã cho có đỉnh $(1;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của (P) là $I(1;-2)$, tức $y=(x-1{)}^2-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=(x-1{)}^2-2$ thì $y(-1)=(-2{)}^2-2=2\ne 4$.

Dựng hệ tọa độ như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với vị trí đánh của vận động viên $h(t)=a{t}^2+bt+c(a\ne 0)$. Parabol đi qua 3 điểm $A(0;6)$, $B\left(\frac{1}{2};12\right)$, $M(1;10)$. $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{0}^{2}a+0b+c=6\\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}a+\frac{1}{2}b+c=12\\ a+b+c=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-16\\ b=20\\ c=6\end{array}$$ $$\Rightarrow (P):y=-16x^2+20x+6$$ Đỉnh $I$ của parabol có $x_I=\frac{5}{8};y_I=\frac{49}{4}$. Vậy độ cao của quả bóng là $\frac{49}{4}=12,25$ ft.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có nhánh hướng xuống nên $a<0$. Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức $\Delta =b^2-4ac>0$. Vậy $a<0$ và $\Delta >0$, khớp với đáp án A (đáp án nguồn: A).

(AI giải đề cho tôi)
Giao với trục $Oy$: thay $x=0$, $y=0^2-4\cdot 0+3=3$, nên điểm là $M(0;3)$. Khớp đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 12 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=-x^2+4x-3$ với $a=-1<0$, đỉnh tại $x=-\frac{b}{2a}=2$. a) Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$ vì $a<0$ và đỉnh $x=2$ → Đúng. b) Trục đối xứng là $x=2$, không phải $x=-2$ → Sai. c) $-x^2+4x-3\le 0\iff x^2-4x+3\ge 0\iff (x-1)(x-3)\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$, nên tập nghiệm là $S=(-\infty ;1]\cup [3;+\infty )$, không phải $[1;3]$ → Sai. d) Trên $(1;3)$, $-x^2+4x-3>0$ (vì parabol hướng xuống, nghiệm $x=1,3$) → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã 0102: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a=-1<0$, đỉnh $x=2$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng là $x=-\frac{b}{2a}=2$, không phải $x=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2+4x-3\le 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 3$, tập nghiệm là $S=(-\infty ;1]\cup [3;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (1;3)$, $-x^2+4x-3>0$ nên hàm số nhận giá trị dương.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^2-4x-5$ có $a=2>0$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{4}=1$. Khi đó $y_{min}=2(1{)}^2-4(1)-5=2-4-5=-7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Phần III Câu 3: $-7$).

Gọi $x$ (m) là khoảng cách từ tường đến hai góc chuồng (chiều rộng của chuồng) $(0<x<20)$. Gọi $y$ (m) là chiều dài song song với tường. Vì chỉ rào 3 cạnh nên: $2x+y=40$. Suy ra: $y=40-2x$. Diện tích chuồng: $S=x\cdot y=x(40-2x)=-2x^2+40x$. Đây là hàm bậc hai có $a<0$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=10$. Vậy hai góc chuồng phải cách tường 10 m để diện tích chuồng lớn nhất. Khi đó chiều dài của chuồng gà là $y=40-2x=20m$. Và diện tích lớn nhất là $S=200(m^2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^2+4x+3$ có $a=-1$, $b=4$, $c=3$. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-1)}=2$. Tung độ đỉnh $y=-2^2+4\cdot 2+3=-4+8+3=7$. Vậy đỉnh $I(2;7)$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ có hoành độ $x=\frac{3}{2}$ (đường đứt nét kẻ từ đỉnh xuống trục hoành tại vị trí giữa 1 và 2, tung độ đỉnh $\frac{25}{8}$). Parabol có trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục tung, nên phương trình trục đối xứng là $x=\frac{3}{2}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2+2x-3$ có $a=1>0$, $b=2$. a) Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=-1$: đúng. b) Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và đồng biến trên $(-1;+\infty )$, nên khẳng định đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ là sai. c) $x^2+2x-3\le 0\iff (x+3)(x-1)\le 0\iff -3\le x\le 1$, tập nghiệm $S=[-3;1]$: đúng. d) Hàm số nhận giá trị dương khi $x<-3$ hoặc $x>1$, tức $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$; trên khoảng $(-1;+\infty )$ hàm số có giá trị âm (ví dụ $x=0$ thì $y=-3$), nên khẳng định sai. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol $y=x^2+2x-3$ là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=1>0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và đồng biến trên $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên $(-\infty ;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+2x-3\le 0\iff (x+3)(x-1)\le 0\iff -3\le x\le 1$, nên $S=[-3;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số dương khi $x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$. Trên $(-1;+\infty )$ hàm số có giá trị âm, ví dụ $x=0$ thì $y=-3<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^2-4x+1$ có $a=2>0$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{4}=1$. Khi đó $y_{\min }=2(1{)}^2-4(1)+1=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-1).

Gọi $x$ (m) là khoảng cách từ tường đến hai góc chuồng (chiều rộng của chuồng) $(0<x<18)$. Gọi $y$ (m) là chiều dài song song với tường. Vì chỉ rào 3 cạnh nên: $2x+y=36$. Suy ra: $y=36-2x$. Diện tích chuồng: $S=x\cdot y=x(36-2x)=-2x^2+36x$. Đây là hàm bậc hai có $a<0$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=9$. Vậy hai góc chuồng phải cách tường $9m$ để diện tích chuồng lớn nhất. Khi đó chiều dài của chuồng gà là $y=36-2x=18m$. Và diện tích lớn nhất là $S=162\left(m^2\right)$.