Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$. Suy ra $A=60^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-28}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$.

Vì $MC=2MB$ và $BC=6$ nên $MB=2$, $MC=4$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABM$:
$$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=12.$$
Vậy $AM=2\sqrt{3}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=25\Rightarrow a=5$. Sau đó $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{25+64-25}{80}=\frac{4}{5}\Rightarrow \sin C=\frac{3}{5}$. Chiều cao $h_a=b\sin C=8\cdot \frac{3}{5}=\frac{24}{5}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 20·2 = 40 hải lí, AC = 30·2 = 60 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 3600 − 2·40·60·(1/2) = 2800, nên BC = √2800 = 20√7 ≈ 52,92 hải lí. Kết quả gần nhất với 53 hải lí.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Cho $△ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $A=120^{\circ }$.

a) Diện tích:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

b) Định lý cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+64-96\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=148,$$
suy ra $BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$.

Đường cao AH hạ từ A xuống BC, từ $S=\frac{1}{2}BC\cdot AH$:
$$AH=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42.$$

Vậy $S=12\sqrt{3}$, $BC=2\sqrt{37}$, $AH=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Tam giác ABC có $A=30^0$, $B=120^0$, $b=8$.

Trước hết, $C=180^0-A-B=180^0-30^0-120^0=30^0$.

a) Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

$\frac{a}{\sin 30^0}=\frac{8}{\sin 120^0}\Rightarrow a=\frac{8\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Vì $C=A=30^0$ nên tam giác cân tại $B$, suy ra $c=a=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

c) Diện tích: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{64}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $a=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, $R=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, $S=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{6\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=6\sqrt{\frac{3}{2}}=3\sqrt{6}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R$, nên $2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{0,5}=12$, suy ra $R=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho tam giác ABC với BC=8, AC=5, C=60°. Theo định lí cosin: AB² = BC² + AC² − 2·BC·AC·cos C = 64 + 25 − 2·8·5·(1/2) = 49, nên AB = 7. a) Sai: đề cho AC = 5 (cạnh bằng 7 là AB, không phải AC). b) Sai: S = ½·BC·AC·sin C = ½·8·5·sin60° = 20·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10. c) Đúng: R = AB/(2 sin C) = 7/(2·(√3/2)) = 7/√3 = 7√3/3. d) Đúng: S = ½·BC·AH nên AH = 2S/BC = 2·10√3/8 = 5√3/2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đề bài cho AC = 5, không phải 7. Cạnh tính được bằng định lí cosin là AB = √(64+25−40) = 7, nên mệnh đề nhầm AB với AC → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AC·sin C = ½·8·5·sin60° = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10 → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = 7 (định lí cosin). R = AB/(2 sin C) = 7/(2·√3/2) = 7/√3 = 7√3/3 → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AH ⇒ AH = 2S/BC = 20√3/8 = 5√3/2 → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC với góc B = 68°, góc C = 75°, BC = 50 m. Tổng ba góc bằng 180° nên góc A = 180° - 68° - 75° = 37°. Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$, suy ra $AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{50\cdot \sin 75^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,9659}{0,6018}\approx 80,25$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị, khoảng cách từ A đến B xấp xỉ 80 m.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe quay 30 vòng trong 10 giây, tức 3 vòng/giây. Trong 5 phút = 300 giây, bánh xe quay được 3 × 300 = 900 vòng. Chu vi bánh xe: $C=2\pi r=2\pi \cdot 0,065=0,13\pi$ (m). Quãng đường đi được: $s=900\cdot 0,13\pi =117\pi \approx 367,57$ (m). Làm tròn đến hàng đơn vị: $s\approx 368$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2,5 giờ: tàu thứ nhất đi $AB=8\cdot 2,5=20$ hải lí, tàu thứ hai đi $AC=12\cdot 2,5=30$ hải lí, góc $BAC=75^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=20^2+30^2-2\cdot 20\cdot 30\cdot \cos 75^{\circ }=400+900-1200\cdot 0,2588\approx 989,42$. Suy ra $BC\approx 31,45\approx 31,5$ hải lí. Kết quả khớp với đáp án nguồn 31.5.

Tìm được góc $A=180^{\circ }-75^{\circ }-45^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5,77$.

Gọi S là diện tích tam giác ABC, $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi. Ta có $h_a=\frac{2S}{a};h_b=\frac{2S}{b};h_c=\frac{2S}{c}$. Suy ra $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}$, suy ra điều cần chứng minh.

a) Đúng. $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}.3.4.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left({\text{cm}}^2\right)$.
b) Sai. Theo định lí côsin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=3^2+4^2-\mathrm{2.3.4.}\cos 60^{\circ }=13$, suy ra $c=\sqrt{13}$ (cm). Do đó $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{\sqrt{13}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{3}$ (cm).
c) Đúng. Theo ý b), $c=\sqrt{13}$ (cm).
d) Đúng. $\cos C=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.
a) Đúng. $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}.3.4.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left({\text{cm}}^2\right)$.
b) Sai. Theo định lí côsin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=3^2+4^2-\mathrm{2.3.4.}\cos 60^{\circ }=13$, suy ra $c=\sqrt{13}$ (cm). Do đó $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{\sqrt{13}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{3}$ (cm).
c) Đúng. Theo ý b), $c=\sqrt{13}$ (cm).
d) Đúng. $\cos C=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$, $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\sqrt{2}$. Ta có $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, $\tan (90^{\circ }-\alpha )=\cot \alpha$. Do đó $A=3\cot \alpha -\cos \alpha \cdot \cot \alpha =6\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2}=6\sqrt{2}-\frac{8}{3}\approx 5,82$. Đáp số: 5,82.

Ta có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$ và $S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}$ nên $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot AD\cdot \sin 30^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot AD\cdot \sin 30^{\circ }\iff 6\sqrt{3}=\frac{5}{2}AD\iff AD=\frac{12\sqrt{3}}{5}\approx 4,16$. Đáp số: 4,16.

Vì $\tan \alpha =-2<0$ nên $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, suy ra $\cos \alpha <0$. Ta có $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =5\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$. Vậy $P=\frac{4}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Chọn B.

a) $\widehat{ACB}=180^{\circ }-8^{\circ }-4^{\circ }=168^{\circ }$. Đúng.

b) $\frac{AB}{\sin C}=\frac{960}{\sin 168^{\circ }}\approx 4617(m)$. Đúng.

c) Khoảng cách từ trường đến điểm $C$ là $BC$. Theo định lí sin:
$$BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{960.\sin 8^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}\approx 643(m).$$ Sai.

d) $AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}$, $BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}$ nên $AC+BC-AB=\frac{960\left(\sin 4^{\circ }+\sin 8^{\circ }\right)}{\sin 168^{\circ }}-960\approx 4,70\approx 5(m)$. Sai.
a) $\widehat{ACB}=180^{\circ }-8^{\circ }-4^{\circ }=168^{\circ }$. Đúng.
b) $\frac{AB}{\sin C}=\frac{960}{\sin 168^{\circ }}\approx 4617(m)$. Đúng.
c) Khoảng cách từ trường đến điểm $C$ là $BC$. Theo định lí sin:
$$BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}=\frac{960.\sin 8^{\circ }}{\sin 168^{\circ }}\approx 643(m).$$ Sai.
d) $AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}$, $BC=\frac{AB.\sin A}{\sin C}$ nên $AC+BC-AB=\frac{960\left(\sin 4^{\circ }+\sin 8^{\circ }\right)}{\sin 168^{\circ }}-960\approx 4,70\approx 5(m)$. Sai.