Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-2x+3}{x+2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Phép chia: $x^2-2x+3=(x+2)(x-4)+11$ nên $y=x-4+\frac{11}{x+2}$. a) $y^{\prime }=\frac{x^2+4x-7}{(x+2{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x^2+4x-7=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=-2\pm \sqrt{11}$ (đều khác $-2$), đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có hai điểm cực trị → Đúng. b) Tại $x=-2\pm \sqrt{11}$, $y=x-4+\frac{11}{x+2}=-6\pm \sqrt{11}\pm \sqrt{11}=-6\pm 2\sqrt{11}$, không phải số nguyên; không có điểm nào khác có tọa độ nguyên (các điểm cực trị là ứng viên duy nhất, và $y(0)=3/2$, $y(1)=2/3$, $y(2)=1$ nhưng $x=2$ không phải cực trị) → Sai. c) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=-2$ → Đúng. d) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x-4)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{11}{x+2}=0$ nên tiệm cận xiên $y=x-4$ → Đúng. Kết quả ĐSĐĐ khớp bảng hướng dẫn chấm mã đề 001, Phần II, Câu 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x^2+4x-7}{(x+2{)}^2}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=-2\pm \sqrt{11}$ và đạo hàm đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên đồ thị có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị có tọa độ $\left(-2\pm \sqrt{11};-6\pm 2\sqrt{11}\right)$, đều không nguyên; các điểm khác trên đồ thị cũng không cho cặp tọa độ nguyên cùng là điểm đặc biệt của đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x+3}{x+2}=\pm \infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-4+\frac{11}{x+2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{11}{x+2}=0$ nên $y=x-4$ là tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}=-x-6-\frac{14}{x-3}$ (vì $-x^2-3x+4=(x-3)(-x-6)-14$).
a) Đúng: tiệm cận xiên là $y=-x-6$.
b) Đúng: $y^{\prime }=-1+\frac{14}{(x-3{)}^2}=0\iff x=3\pm \sqrt{14}$, hai nghiệm trái dấu nên hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với $Oy$.
c) Sai: $-x^2-3x+4=0\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$, đồ thị cắt $Ox$ tại $(1;0)$ và $(-4;0)$.
d) Đúng: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $x=3$, $y=-3-6=-9$, tức $I(3;-9)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $y=-x-6-\frac{14}{x-3}$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{14}{(x-3{)}^2}=0\iff x=3\pm \sqrt{14}$, hai hoành độ cực trị trái dấu nên hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với $Oy$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2-3x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$, đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của $x=3$ và $y=-x-6$: $I(3;-9)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x-1}{x+2}=x-4+\frac{7}{x+2}$ với tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{7}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-3}{(x+2{)}^2}=0\Rightarrow x_{1,2}=-2\pm \sqrt{7}$. Tại $x_1=-2+\sqrt{7}$: $y_1=x_1-4+\frac{7}{x_1+2}=(-6+\sqrt{7})+\sqrt{7}=2\sqrt{7}-6$; tại $x_2=-2-\sqrt{7}$: $y_2=-6-\sqrt{7}-\sqrt{7}=-2\sqrt{7}-6$. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm cực trị: $k=\frac{(2\sqrt{7}-6)-(-2\sqrt{7}-6)}{(-2+\sqrt{7})-(-2-\sqrt{7})}=\frac{4\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=2$. Phương trình: $y=2x+b$, thay điểm $(-2+\sqrt{7};2\sqrt{7}-6)$: $2\sqrt{7}-6=-4+2\sqrt{7}+b\Rightarrow b=-2$. Vậy đường thẳng là $y=2x-2$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2\ne 2$ → Sai.

b) Từ dạng $y=x-4+\frac{7}{x+2}$, tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của $x=-2$ và $y=x-4$ tức $I(-2;-4)$, không phải $I(-2;4)$ → Sai.

c) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x-1}{x+2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$ → Đúng.

d) Hàm số không xác định tại $x=-2$ nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án nguồn (SSĐS, mã đề 3101).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị $(-2\pm \sqrt{7};\pm 2\sqrt{7}-6)$; đường thẳng qua chúng có hệ số góc $2$ và phương trình $y=2x-2$, cắt trục tung tại $-2\ne 2$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $y=x-4+\frac{7}{x+2}$, tâm đối xứng là $I(-2;-4)$, không phải $(-2;4)$ nên Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x-1}{x+2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$: Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số không xác định tại $x=-2$, tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ nên Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: hai nhánh đi lên bên trái và đi xuống bên phải nên $a<0$. Đồ thị có điểm cực tiểu và điểm cực đại, cả hai đều nằm bên trái trục $Oy$, tức $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x_1<x_2<0$. Theo Viète: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0$, kết hợp $a<0$ suy ra $b<0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$, kết hợp $a<0$ suy ra $c<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $d$, và tại $x=0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành (giao điểm với trục hoành nằm bên phải $O$) nên $d>0$. Vậy $a<0,b<0,c<0,d>0$: chỉ có đúng $1$ số dương. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 2 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$, đi qua $(0;1)$.

a) $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với $f^{\prime }(\pm 1)=0$ nên $\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 3a-2b+c=0\end{array}$ → Đúng.

b) $y=f(4-x)+1$ có điểm cực đại là ảnh của điểm cực đại $(-1;3)$ của $f$ qua phép biến đổi $x\mapsto 4-x$ rồi cộng 1: $4-x=-1\Rightarrow x=5$, $y=3+1=4$ → điểm cực đại $(5;4)$ → Đúng.

c) Giá trị cực tiểu của $f$ bằng $-1$, nên phương trình $f(x)=-1$ có nghiệm kép tại $x=1$ và một nghiệm đơn $x<-1$: chỉ có 2 nghiệm phân biệt → Sai.

d) Hàm bậc ba không có tiệm cận ngang → Sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị lần lượt tại $x=-1$ và $x=1$, nên $f^{\prime }(\pm 1)=0$, tức $3a\pm 2b+c=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(4-x)+1$ nhận được từ đồ thị $f$ qua đối xứng qua trục $x=2$ (tâm $x=2$) rồi tịnh tiến lên 1 đơn vị; điểm cực đại $(-1;3)$ thành $(5;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì min $f=-1$ đạt tại $x=1$, phương trình $f(x)=-1$ có nghiệm kép $x=1$ và một nghiệm đơn, tức 2 nghiệm phân biệt chứ không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm đa thức bậc ba không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, nên $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. a) Trên $(-3;1)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$ ($f(0)=1$) → đúng. b) Trên $(0;2)$ hàm số tăng trên $(0;1)$ và giảm trên $(1;2)$, không nghịch biến trên toàn khoảng → sai. c) Vì $f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$ → sai. d) Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$ → sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn DSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$; trên $(-3;1)$ hàm tăng trên $(-3;0)$ và giảm trên $(0;1)$ nên GTLN đạt tại $x=0$, $f(0)=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, hàm số tăng trên $(0;1)$ và giảm trên $(1;2)$ (khoảng $(1;2)$ nằm ngoài tập xác định tại $x=1$), nên không nghịch biến trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }={\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)}^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hai nhánh đi xuống hai đầu nên $a<0$. Đồ thị có điểm cực tiểu bên trái trục tung và điểm cực đại bên phải trục tung, tức phương trình $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2$. Theo Vi-ét: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, mà $a<0$ nên $c>0$; $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, mà $a<0$ nên $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ $d<0$ (giao điểm với trục $Oy$ nằm dưới gốc $O$). Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Câu 8, Mã đề 1002).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$ và điểm cực tiểu $(1;-1)$, nên $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ tại $x=\pm 1$, tức $\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 3a-2b+c=0\end{array}$ → b) đúng. a) $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, giá trị $f(-1)+1=3+1=4$ → điểm $(5;4)$, đúng. c) $f(x)=-1$: vì $-1$ là giá trị cực tiểu, phương trình có nghiệm kép $x=1$ và một nghiệm khác, chỉ có 2 nghiệm phân biệt → sai. d) Hàm bậc ba không có tiệm cận ngang → sai. Khớp đáp án nguồn DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại của $f$ tại $(-1;3)$. Với $y=f(4-x)+1$, đặt $4-x=-1\Rightarrow x=5$, giá trị $y=f(-1)+1=4$. Vậy điểm cực đại là $(5;4)$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với nghiệm $x=-1$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu) theo đồ thị, nên $3a+2b+c=0$ và $3a-2b+c=0$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của $f$ là $-1$ tại $x=1$, nên $f(x)=-1$ có nghiệm kép $x=1$ cộng thêm một nghiệm đơn, chỉ 2 nghiệm phân biệt → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$ (hoặc $\mp \infty$), không có tiệm cận ngang → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3x^3+m{x}^2-5x+7$ có $y^{\prime }=9x^2+2mx-5$, $y^{\prime \prime }=18x+2m$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, có hoành độ thỏa $y^{\prime \prime }=0$. Theo đề, hoành độ tâm đối xứng bằng 3 nên $18\cdot 3+2m=0\iff 54+2m=0\iff m=-27$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-27).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ ở trang 2, đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên (đường màu xanh lá), nên loại ngay phương án A (TCĐ $x=-2$), B (chỉ có tiệm cận ngang $y=1$) và D (hàm bậc ba không có tiệm cận). Xét phương án C: $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$. Chia đa thức: $x^2-x-1=(x-2)(x+1)+1$, suy ra $y=x+1+\frac{1}{x-2}$. Đồ thị có TCĐ $x=2$ và TCX $y=x+1$, đúng như hình. Kiểm tra điểm: tại $x=1$, $y=\frac{1-1-1}{-1}=1$, khớp điểm $(1;1)$ trên đồ thị. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; tại $x=1$ hàm đạt cực đại giá trị $1$ (khớp phần nhánh trái đi qua cực đại $(1;1)$ rồi giảm xuống $-\infty$ khi $x\to 2^{-}$), tại $x=3$ đạt cực tiểu giá trị $5$ (khớp nhánh phải có đáy cong phía trên tiệm cận xiên). Tất cả đều đúng với đường cong trong hình. Đáp án khớp với đáp án nguồn: C.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}a+b=1\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ b=\frac{8}{7}\end{array}$. Suy ra cận xiên của hàm số có dạng $y=\frac{2}{7}(x+4)$.
Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{2x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{d}{2x+1}$.
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí $P(x)=R(x)-f(x)=x^2+2x-\frac{2}{7}(x+4)-\frac{d}{2x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{44}{7}-\frac{d}{5}=5,25\iff d=\frac{145}{28}$.
Vậy $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{145}{28}\cdot \frac{1}{2x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{7}-\frac{290}{28(2x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{145}-2}{4}(\text{nhận})\\ x=\frac{-\sqrt{145}-2}{4}(\text{loại})\end{array}$
Bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ dấu $-$ rồi $0$ rồi $+$ trên $(0;+\infty )$; $f(x)$ giảm đến giá trị nhỏ nhất rồi tăng, giới hạn $+\infty$.
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{145}-2}{4}.100\approx 251$ sản phẩm.
a) Đúng.
b) Sai. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-\frac{1}{2}$.
c) Đúng. Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}a+b=1\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ b=\frac{8}{7}\end{array}$. Suy ra cận xiên của hàm số có dạng $y=\frac{2}{7}(x+4)$. Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{2x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{d}{2x+1}$.
d) Sai. Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí $P(x)=R(x)-f(x)=x^2+2x-\frac{2}{7}(x+4)-\frac{d}{2x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{44}{7}-\frac{d}{5}=5,25\iff d=\frac{145}{28}$.
Vậy $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{145}{28}\cdot \frac{1}{2x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{7}-\frac{290}{28(2x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{145}-2}{4}(\text{nhận})\\ x=\frac{-\sqrt{145}-2}{4}(\text{loại})\end{array}$
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{145}-2}{4}.100\approx 251$ sản phẩm.

Đáp án: S S Đ S.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-a+b=\frac{2}{3}\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=1\end{array}$ nên đường tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{3}x+1$.
Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{d}{x+1}$.
a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lợi nhuận = Doanh thu − Chi phí $\iff P(x)=R(x)-f(x)\iff x^2+2x-\frac{1}{3}x-1-\frac{d}{x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{19}{3}-\frac{d}{3}=5,25\iff d=\frac{13}{4}=3,25$.
Vậy $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{3,25}{x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}-\frac{3,25}{(x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-\sqrt{39}}{2}-1(\text{loại})\\ x=\frac{\sqrt{39}}{2}-1(\text{nhận})\end{array}$
Bảng biến thiên

Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{39}-2}{2}.100\approx 212$ sản phẩm.
a) Sai.
b) Sai.
c) Đúng. Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-a+b=\frac{2}{3}\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=1\end{array}$ nên đường tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{3}x+1$. Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{d}{x+1}$.
d) Sai. Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{39}-2}{2}.100\approx 212$ sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: TCĐ x=1 nên c=1; TCN y=-1 nên a/c=-1 ⇒ a=-1; đồ thị đi qua (0;-2) nên b=-2, và qua (2;0) kiểm tra: (2-2)/(2+1)=0 đúng. Vậy f(x)=(-x-2)/(x+1). a) Đúng: TCĐ x=1, TCN y=-1. b) f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(-1+2)/(x+1)^2=1/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1, nên f'(x)<0 ∀x∈R là sai. c) Vì f'(x)>0 nên hàm đồng biến trên (-∞;1) và (1;+∞), mệnh đề sai. d) a+b+c=-2-2+1=-3≠5, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là x=1 (nghiệm mẫu cx+1=0 với c=1) và TCN là y=a/c=-1, đúng theo đồ thị.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(-1-(-2)(1))/(x+1)^2=1/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1, nên khẳng định f'(x)<0 ∀x∈R là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì f'(x)>0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;1) và (1;+∞), không nghịch biến trên (1;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
a=-1, b=-2, c=1 nên a+b+c=-3≠5.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}$ (với $x\ne 1$).
a) Tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$. Đúng.
b) $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=2\iff x=1\pm \sqrt{2}$, hai nghiệm phân biệt đều thuộc tập xác định, đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 2 điểm cực trị. Đúng.
c) Với $x\in (0;2)$, $x\ne 1$: $(x-1{)}^2<1\Rightarrow \frac{2}{(x-1{)}^2}>2\Rightarrow y^{\prime }<0$. Hai nghiệm $x=1\pm \sqrt{2}$ nằm ngoài $(0;2)$, nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, do đó nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Đúng.
d) Khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến $x=1$ là $d_1=|x_0-1|$; đến tiệm cận xiên $y=x+3$ là $d_2=\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|3+\frac{2}{x_0-1}\right|}{\sqrt{2}}$. Tích $d_1{d}_2=\frac{|3(x_0-1)+2|}{\sqrt{2}}=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ phụ thuộc $M$, không luôn bằng $\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x^2+2x-1}{x-1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$: hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, $(x-1{)}^2<1$ nên $y^{\prime }<0$ (với $x\ne 1$), hàm nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích khoảng cách $=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ thay đổi theo $M$, không bằng hằng $\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=1$ nên $-\frac{c}{b}=1\Rightarrow c=-b$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b>0$ (vì $b\ne 0$). $y^{\prime }=\frac{ac+4b}{(bx+c{)}^2}>0$ trên mọi khoảng nên $ac+4b>0$. Thay $a=b$, $c=-b$: $-b^2+4b>0\Rightarrow 0<b<4$. Vậy $a=b>0$, $c=-b<0$: trong ba hệ số có đúng 1 số âm là $c$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị đi qua $(0;5)$, $(1;3)$, $(3;5)$ và có điểm cực tiểu $(2;1)$, cực đại tại $(0;5)$. Xét $y=x^3-3x^2+5$: $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-12+5=1$, $y(3)=27-27+5=5$. Ngoài ra $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ ($y=5$) và cực tiểu tại $x=2$ ($y_{\min }=1$), hoàn toàn khớp đồ thị. Các phương án khác không thỏa: A và C có $y^{\prime }=3x^2\pm 3$ nên cực trị tại $x=\pm 1$, không khớp; B có $y(1)=-1+3+5=7\ne 3$. Vậy đáp án là D, khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=x^3-3x-2$. a) Sai: ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3+3x-2)=-\infty$ vì số hạng bậc cao nhất $x^3\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, không phải $+\infty$. b) Sai: $x^3-3x-2=0$ có nghiệm $x=-1$, phân tích $x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)=0$ chỉ cho hai nghiệm phân biệt $x=-1$ (nghiệm kép) và $x=2$, nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt chứ không phải ba. c) Đúng: $y^{\prime }=(x^3-3x-2{)}^{\prime }=3x^2-3$. d) Đúng: trên đoạn $[0;4]$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$, chỉ $x=1$ thuộc đoạn. So sánh $f(0)=-2$, $f(1)=1-3-2=-4$, $f(4)=64-12-2=50$. Max $=50$, min $=-4$, tổng $=50+(-4)=46$. Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 102: S-S-D-D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x^3\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3+3x-2)=-\infty$, không phải $+\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)=0$ chỉ cho hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=2$, nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=(x^3-3x-2{)}^{\prime }=3x^2-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;4]$: $y^{\prime }=0\iff x=1$ (trong đoạn). $f(0)=-2$, $f(1)=-4$, $f(4)=50$. Max $=50$, min $=-4$, tổng $=46$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=1$ nên $b+c=0\Rightarrow c=-b$; tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b$. Hàm số đồng biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{a(bx+c)-b(ax-4)}{(bx+c{)}^2}=\frac{ac+4b}{(bx+c{)}^2}>0\Rightarrow ac+4b>0$. Thay $a=b$, $c=-b$: $-b^2+4b=b(4-b)>0\Rightarrow 0<b<4$. Khi đó $a=b>0$, $c=-b<0$: chỉ có $c$ âm. Kiểm tra thêm nhánh trái đi từ $1$ tăng lên $+\infty$: $y-1=\frac{b-4}{bx}\to 0^{-}$ khi $x\to -\infty$ (vì $b>0$, $b-4<0$) và $y\to +\infty$ khi $x\to 1^{-}$ (tử $a-4=b-4<0$, mẫu $b(x-1)\to 0^{-}$) — phù hợp bảng biến thiên. Vậy trong ba hệ số có đúng 1 số âm. Đáp án D, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x-2$.
a) Sai: Khi $x\to -\infty$, $x^3\to -\infty$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3+3x-2)=-\infty$, không phải $+\infty$.
b) Sai: $x^3-3x-2=0$ có nghiệm $x=-1$ (vì $-1+3-2=0$), phân tích $x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$, chỉ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=2$, nên đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt (điểm $x=-1$ là tiếp điểm).
c) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-3$.
d) Đúng: Trên $[0;4]$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$, lấy $x=1\in [0;4]$. Tính $f(0)=-2$, $f(1)=-4$, $f(4)=64-12-2=50$. Vậy $\max =50$, $\min =-4$, tổng $50+(-4)=46$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $x^3\to -\infty$ nên giới hạn bằng $-\infty$, không phải $+\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$ chỉ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=2$, nên đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=(x^3-3x-2{)}^{\prime }=3x^2-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;4]$: $f(0)=-2$, $f(1)=-4$ (cực tiểu), $f(4)=50$. Tổng $\max +\min =50+(-4)=46$.