Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: mẫu số x+1 = 0 khi x = -1 nên tập xác định là D = ℝ\{-1}, không phải ℝ. b) Sai: y' = ((2x+1)(x+1) - (x²+x+1))/(x+1)² = (x²+2x)/(x+1)², không phải (x²-2x)/(x+1)². c) Đúng: y' = x(x+2)/(x+1)² nên y' = 0 tại x = -2 và x = 0; xét dấu: trên (-∞;-2) y' > 0 (đồng biến), trên (-2;-1) y' < 0, trên (-1;0) y' < 0, trên (0;+∞) y' > 0. Giới hạn: x→-∞ thì y→-∞, x→-1⁻ thì y→-∞, x→-1⁺ thì y→+∞, x→+∞ thì y→+∞. y(-2) = (4-2+1)/(-1) = -3 (cực đại), y(0) = 1 (cực tiểu). Bảng biến thiên khớp hoàn toàn. d) Đúng: hai điểm cực trị là (-2;-3) và (0;1), khoảng cách = √((0+2)² + (1+3)²) = √20 = 2√5. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a S, b S, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi x+1 ≠ 0, tức D = ℝ\{-1}, không phải D = ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
y' = ((2x+1)(x+1) - (x²+x+1))/(x+1)² = (x²+2x)/(x+1)², khác với biểu thức đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
y' = x(x+2)/(x+1)²; y đồng biến trên (-∞;-2) và (0;+∞), nghịch biến trên (-2;-1) và (-1;0); y(-2) = -3 cực đại, y(0) = 1 cực tiểu; các giới hạn tại -∞, -1⁻, -1⁺, +∞ lần lượt là -∞, -∞, +∞, +∞. Bảng biến thiên khớp.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (-2;-3) và (0;1): khoảng cách = √(4+16) = √20 = 2√5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: A(0;0), B(3;10,5) là điểm cực đại. Ta có f'(x) = -x^2 + 2bx + c. Điều kiện cực đại tại x=3: f'(3) = -9 + 6b + c = 0. Điều kiện f(3) = 10,5: -9 + 9b + 3c = 10,5, tức 9b + 3c = 19,5 hay 3b + c = 6,5. Trừ hai phương trình: (6b + c) - (3b + c) = 9 - 6,5 = 2,5 nên b = 5/6, suy ra c = 6,5 - 3·(5/6) = 4. Vậy f(x) = -x^3/3 + (5/6)x^2 + 4x = x(-x^2/3 + 5x/6 + 4). Máy bay tiếp đất khi f(x) = 0 với x > 3: -x^2/3 + 5x/6 + 4 = 0, nhân 6: -2x^2 + 5x + 24 = 0 hay 2x^2 - 5x - 24 = 0. Nghiệm x = (5 ± √217)/4; lấy nghiệm dương x = (5 + √217)/4 ≈ (5 + 14,7309)/4 ≈ 4,9327. Làm tròn đến hàng phần trăm: x ≈ 4,93. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,93.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: A(0;0) là điểm cất cánh, B(3;9) là điểm cực đại (độ cao 9 km sau khi bay 3 km theo phương ngang). Ta có $f^{\prime }(x)=-x^2+2bx+c$. Điều kiện cực đại tại B: $f^{\prime }(3)=0\Rightarrow -9+6b+c=0$ và $f(3)=9\Rightarrow -9+9b+3c=9\Rightarrow 3b+c=6$. Trừ hai phương trình: $3b=3\Rightarrow b=1$, suy ra $c=3$. Vậy $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+3x$. Máy bay tiếp đất khi $f(x)=0$: $-\frac{1}{3}x(x^2-3x-9)=0\Rightarrow x=0$ (điểm A) hoặc $x^2-3x-9=0\Rightarrow x=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$. Nghiệm dương (điểm C): $x=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}\approx 4,8541\approx 4,85$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,85.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c\cdot 1-1=0\Rightarrow c=1>0$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-1<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$: $y(0)=\frac{b}{-1}=-b=-2\Rightarrow b=2>0$. Vậy trong ba hệ số có đúng 2 số dương là $b$ và $c$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $\left(-\frac{1}{2};-1\right)$ và cực tiểu tại $(0;-2)$. Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, ta có $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)=f^{\prime }(0)=0$ nên $c=0$ và $\frac{3a}{4}-b=0\Rightarrow b=\frac{3a}{4}$. Ngoài ra $f(0)=d=-2$ và $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a}{8}+\frac{b}{4}-2=-1\Rightarrow -\frac{a}{8}+\frac{3a}{16}=1\Rightarrow a=16$, $b=12$. Vậy $f(x)=16x^3+12x^2-2$, $f^{\prime }(x)=48x^2+24x=24x(2x+1)$.

a) $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Trên khoảng $(-2;-1)$ (nằm trong miền $x<-\frac{1}{2}$) ta có $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến. Đúng.

b) Trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, $f(0)=-2$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=2+3-2=3$. Vậy $\max f=3$, $\min f=-2$, tổng bằng $1\ne -2$. Sai.

c) Tại $x=0$ (điểm cực tiểu) $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương; đổi dấu từ dương sang âm xảy ra tại $x=-\frac{1}{2}$ (điểm cực đại). Sai.

d) $3a+2b+c-d=48+24+0+2=74\ne 25$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=16x^3+12x^2-2$ ta có $f^{\prime }(x)=24x(2x+1)>0$ khi $x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Trên $(-2;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, $f(0)=-2$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=3$. Vậy $\max f=3$, $\min f=-2$, tổng bằng $1\ne -2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$ (điểm cực tiểu) $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương; đổi dấu từ dương sang âm xảy ra tại $x=-\frac{1}{2}$ (điểm cực đại).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=16,b=12,c=0,d=-2$ ta có $3a+2b+c-d=48+24+2=74\ne 25$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đúng với cả 4 phương án). Đồ thị đi qua điểm $(0;3)$ và có điểm cực tiểu nhánh phải tại $(2;-1)$. Thử phương án B: $y=\frac{-x^2+3x-3}{x-1}$. Tại $x=0$: $y=\frac{-3}{-1}=3$ ✓. Tại $x=2$: $y=\frac{-4+6-3}{1}=-1$ ✓. Phân tích: $y=-x+2-\frac{1}{x-1}$, có tiệm cận xiên $y=-x+2$ (đồ thị vẽ đường tiệm cận xiên đi qua $(0;2)$ và $(2;0)$, khớp hình vẽ). Khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$ khớp nhánh trái đi lên; khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$ khớp nhánh phải đi xuống. Các phương án khác: A tại $x=0$ cho $y=3$ nhưng tại $x=2$ cho $y=1\ne -1$; C tại $x=0$ cho $y=3$ nhưng tại $x=2$ cho $y=-5\ne -1$; D tại $x=0$ cho $y=-3\ne 3$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)$ với $a>0$, nên $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Theo bảng: $f(1)=3$ và $f(3)=-1$.
$\bullet$ $f(3)=a(9-18+9)+c=c=-1$.
$\bullet$ $f(1)=a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)+c=\frac{4a}{3}-1=3\Rightarrow \frac{4a}{3}=4\Rightarrow a=3$.
Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$. Khi đó $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ và $x=3$, $f(1)=3$, $f(3)=-1$, hàm số bậc ba nên $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)=a(x^2-4x+3)$. Suy ra $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Thay $f(3)=-1$: $a(9-18+9)+c=c=-1\Rightarrow c=-1$. Thay $f(1)=3$: $a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)-1=\frac{4a}{3}-1=3\Rightarrow a=3$. Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ và $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=1$ và $x=3$ nên $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)$. Do đó $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Theo bảng: $f(1)=3$ và $f(3)=-1$. Thay vào: $f(3)=a(9-18+9)+c=c=-1$; $f(1)=a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)+c=\frac{4a}{3}-1=3\Rightarrow a=3$. Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ và $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)$ với $a>0$. Khi đó $f(x)=a\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+c$. Thay $f(3)=-1$: $a(9-18+9)+c=c=-1\Rightarrow c=-1$. Thay $f(1)=3$: $a\left(\frac{1}{3}-2+3\right)-1=3\Rightarrow \frac{4a}{3}=4\Rightarrow a=3$. Vậy $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ và $f(5)=125-150+45-1=19$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$, không phải $1+\frac{4}{x^2}$ → SAI.

b) $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$. Vì $x\ne 0$ nên $x^2>0$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $x^2-4$: $y^{\prime }<0$ khi $x\in (-2;0)\cup (0;2)$; $y^{\prime }>0$ khi $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$ → ĐÚNG.

c) Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ chỉ triệt tiêu tại $x=\pm 2$, với $y(-2)=-4$ (cực đại) và $y(2)=4$ (cực tiểu). Bảng biến thiên trong đề lại ghi điểm tới hạn $x=-3$ với giá trị $y=4$, và $y\to -\infty$ khi $x\to -2^{-}$ (thực tế $y(-2)=-4$), đồng thời ghi cực tiểu $-4$ tại $x=2$ (thực tế $y(2)=4$). Bảng không khớp với hàm số đã cho → SAI.

Bảng biến thiên đúng:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>-2</td><td></td><td>2</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr><tr><td>y</td><td>-\infty </td><td>\nearrow </td><td>-4</td><td>\searrow </td><td>4</td><td>\nearrow </td><td>+\infty </td></tr></tbody></table>$$

(dòng $y$ trên $(-\infty ;0)$: từ $-\infty$ tăng lên $-4$ tại $x=-2$ rồi giảm về $-\infty$; trên $(0;+\infty )$: từ $+\infty$ giảm xuống $4$ tại $x=2$ rồi tăng lên $+\infty$.)

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$, tiệm cận xiên $y=x$, cực đại $(-2;-4)$, cực tiểu $(2;4)$ — khớp với hình vẽ trong đề → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y=x+\frac{4}{x}$ nên $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$, không phải $1+\frac{4}{x^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ âm trên $(-2;0),(0;2)$ và dương trên $(-\infty ;-2),(2;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đạo hàm thực tế $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ chỉ triệt tiêu tại $x=\pm 2$ với $y(-2)=-4$ (cực đại), $y(2)=4$ (cực tiểu); bảng trong đề ghi $x=-3$, $y=4$ tại $-3$ và $-\infty$ tại $-2$, không khớp với hàm số đã cho → SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị có TCĐ $x=0$, TCX $y=x$, cực đại $(-2;-4)$, cực tiểu $(2;4)$, khớp với hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{-x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(-x-1)+(x^2+2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-2(x+1{)}^2+x^2+2x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x-3}{(x+1{)}^2}$.
Vì $-x^2-2x-3=-(x+1{)}^2-2<0$ với mọi $x$, nên $y^{\prime }<0$ trên toàn tập xác định, hàm số không có cực trị → khẳng định a) SAI.

b) Vì $y^{\prime }<0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ → khẳng định b) ĐÚNG.

c) Chia đa thức: $\frac{x^2+2x-1}{-x-1}=-x-1-\frac{2}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-x-1)\right]=0$. Vậy $(C)$ có tiệm cận xiên $y=-x-1$ → khẳng định c) ĐÚNG.

d) Tại $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1$, tức đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$, không cắt trục $Ox$ tại điểm đó. Giao điểm với $Ox$ là nghiệm của $x^2+2x-1=0$, tức $x=-1\pm \sqrt{2}$ → khẳng định d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-x^2-2x-3}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số không có điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x-1-\frac{2}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=1$ là giao với trục tung; giao với $Ox$ là $x=-1\pm \sqrt{2}$, không phải $A(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ nên $c(-2)+2=0\Rightarrow c=1$. Tiệm cận xiên: chia đa thức, $y=\frac{a{x}^2+bx+1}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{1-2(b-2a)}{x+2}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)$. Từ hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua điểm $(0;1)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$ (điểm $-1$ trên hình), tức là đường thẳng $y=x+1$. Suy ra $a=1$ và $b-2a=1\Rightarrow b=3$. Khi đó $T=2a+3b-c=2+9-1=10$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ → đúng.
b) $y$ nguyên khi $(x-1)\mid 3$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho $x\in \{-2,0,2,4\}$ với các điểm $(-2;1),(0;-1),(2;5),(4;3)$ — có 4 điểm chứ không phải 3 → sai.
c) Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$ (không phải $y=1$) → sai.
d) Diện tích tứ giác $MHOK$ (Hình chữ nhật với $M(x;y)$, $H(x;0)$, $O(0;0)$, $K(0;y)$) là $|xy|=2$. Với $x>0$: $xy=\frac{x(2x+1)}{x-1}=2\iff 2x^2+x=2x-2\iff 2x^2-x+2=0$, có $\Delta =1-16=-15<0$ → vô nghiệm, không có điểm $M$ nào thỏa mãn → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$ nguyên khi $(x-1)\mid 3$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho 4 điểm nguyên: $(-2;1),(0;-1),(2;5),(4;3)$, không phải 3 điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$ (tỉ số hệ số của tử và mẫu là $2/1=2$), không phải $y=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tứ giác $MHOK$ là $|xy|=2$. Với $x>0$: $\frac{x(2x+1)}{x-1}=2\iff 2x^2-x+2=0$ có $\Delta =-15<0$, vô nghiệm nên không có điểm $M$ nào thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x^2+2x-5}{x+1}=\frac{(3x-1)(x+1)-4}{x+1}=3x-1-\frac{4}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Đường thẳng $y=k$ cắt $(C)$: $3x-1-\frac{4}{x+1}=k\iff 3x^2+(2-k)x-5-k=0$. Biệt thức $\Delta =(2-k{)}^2+12(5+k)=k^2+8k+64>0$ với mọi $k$ (vì $64-256<0$). Thử $x=-1$: $3-(2-k)-5-k=-4\ne 0$ nên không có nghiệm $x=-1$. Vậy mọi đường thẳng song song hoặc trùng trục hoành đều cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt → đúng.
b) ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$ → đúng.
c) $y=x$ cắt $(C)$: $x=3x-1-\frac{4}{x+1}\iff (1-2x)(x+1)=-4\iff 2x^2+x-5=0$. Theo Viète $S=x_1+x_2=-\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{4}$ → sai.
d) Đồ thị $y=3x-1-\frac{4}{x+1}$ có tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=3x-1$, tức $I(-1;-4)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm $3x^2+(2-k)x-5-k=0$ có $\Delta =k^2+8k+64>0$ với mọi $k$ và không có nghiệm $x=-1$, nên luôn cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{3x^2+2x-5}{x+1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2x^2+x-5=0$ cho $S=x_1+x_2=-\frac{1}{2}$, không phải $-\frac{1}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $x=-1$ và $y=3x-1$, tức $I(-1;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $2+c=0\Rightarrow c=-2$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{2}=1\Rightarrow a=2$. Đồ thị đi qua điểm $(0;2)$: $y(0)=\frac{b}{c}=2\Rightarrow b=2c=-4$. Vậy $P=abc=2\cdot (-4)\cdot (-2)=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. a) Trên $(-1;+\infty )$: với $-1<x<0$ thì $(x+1{)}^2<1$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>0$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$ → Sai. b) Vì bậc tử cao hơn bậc mẫu 1 bậc và $f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x+1$ → Đúng. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; trên $(-1;+\infty )$ hàm nghịch biến rồi đồng biến với điểm chuyển $x=0$, $f(0)=2$, nên điểm cực tiểu là $(0;2)$ → Đúng. d) Đặt $t=x+1\ne 0$, $|f(x)|=5\iff t+\frac{1}{t}=\pm 5$. Với $t+\frac{1}{t}=5$: $t^2-5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 (vì $\Delta =21>0$, tích nghiệm 1). Với $t+\frac{1}{t}=-5$: $t^2+5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Tổng cộng 4 nghiệm phân biệt → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $-1<x<0$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$, do đó không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ (trên khoảng $(-1;+\infty )$), hàm đổi chiều từ nghịch biến sang đồng biến, $f(0)=2$, nên điểm cực tiểu là $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x+1\ne 0$: $t+\frac{1}{t}=5$ cho $t^2-5t+1=0$ (2 nghiệm), $t+\frac{1}{t}=-5$ cho $t^2+5t+1=0$ (2 nghiệm); cả 4 nghiệm đều khác 0 và phân biệt, nên phương trình có đúng 4 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) Sai. ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên có tiệm cận đứng $x=2$. Vì bậc tử số (2) lớn hơn bậc mẫu (1), đồ thị có tiệm cận xiên (phép chia: $y=x+1+\frac{1}{x-2}$, tiệm cận xiên $y=x+1$) chứ không có tiệm cận ngang (${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$).

b) Sai. $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=1$ và $x=3$, đổi dấu qua các điểm này nên hàm số có cực trị (cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=3$).

c) Đúng. Trên $(3;+\infty )$, $(x-1)>0$, $(x-3)>0$, $(x-2{)}^2>0$ nên $y^{\prime }>0$: hàm số đồng biến.

d) Đúng. Trên $(2;6]$: với $x\in (2;3)$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), với $x\in (3;6]$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến). Trên $(2;3)$ hàm nghịch biến từ $+\infty$ xuống giá trị nhỏ nhất $y(3)=\frac{9-3-1}{1}=5$; trên $[3;6]$ hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút $x=6$: $y(6)=\frac{36-6-1}{4}=\frac{29}{4}$. Vậy GTLN trên nửa khoảng $(2;6]$ bằng $\frac{29}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng x=2 và tiệm cận xiên y=x+1 (không có tiệm cận ngang vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu).
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=(x-1)(x-3)/(x-2)^2 = 0 tại x=1, x=3 và đổi dấu, nên hàm số có cực đại tại x=1 và cực tiểu tại x=3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (3;+∞) có y'>0 nên hàm số đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên (2;3), đồng biến trên (3;6]; GTLN tại x=6: y(6)=29/4.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}$. Chia đa thức: $(x-1{)}^2=(x-2{)}^2+2(x-2)+1$, nên $y=(x-2)+2+\frac{1}{x-2}=x+\frac{1}{x-2}$. a) ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ vì tử số tại $x=2$ bằng $1\ne 0$, nên $x=2$ là tiệm cận đứng: đúng. b) Tại $x=0$: $y=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;-\frac{1}{2})$: đúng. c) $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-2)-(x-1{)}^2}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$, hai điểm cực trị $x_1=1,x_2=3$ nên $x_1+x_2=4\ne -4$: sai. d) Đồ thị $y=x+\frac{1}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=x$ và tiệm cận đứng $x=2$, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(2;2)$, không phải $(2;1)$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tử số tại $x=2$ bằng $1\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$, $x=2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}=0$ cho $x_1=1,x_2=3$, tổng bằng $4\ne -4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+\frac{1}{x-2}$ có TCX $y=x$ và TCĐ $x=2$, tâm đối xứng là $I(2;2)$, không phải $(2;1)$.

Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Với $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận đứng là $x=-\frac{d}{c}=-1$ nên $d=c$; tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=-2$ nên $a=-2c$. Đồ thị đi qua $A(0;1)$ nên $f(0)=\frac{b}{d}=1$, suy ra $b=d=c$. Chọn $c=1$, ta được $f(x)=\frac{-2x+1}{x+1}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+1)-(-2x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}$. Vậy $f^{\prime }(0)=\frac{-3}{1}=-3$.