Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2-200x-600y-4000z+4099900=0$ có tâm $I(100;300;2000)$. Bán kính: $R^2=100^2+300^2+2000^2-4099900=10000+90000+4000000-4099900=100$, nên $R=10$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1210, câu 5: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=9$ có tâm $I(1;-2;0)$, bán kính $R=3$. a) Trên trục $Oz$ có $x=y=0$, thay vào: $1+4+z^2=9\Rightarrow z^2=4\Rightarrow z=\pm 2$, nên $(S)$ cắt $Oz$ tại $(0;0;2)$ và $(0;0;-2)$ → đúng. b) Thay $O(0;0;0)$: $1+4+0=5\ne 9$ → sai. c) Đúng theo phương trình. d) $IM=\sqrt{0+0+16}=4>3$ nên $M$ nằm bên ngoài mặt cầu → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=y=0$: $1+4+z^2=9\Rightarrow z=\pm 2$, hai điểm $(0;0;2)$, $(0;0;-2)$ phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IO=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\ne 3$, nên $O$ không thuộc mặt cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chuẩn, tâm $I(1;-2;0)$, $R=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{(1-1{)}^2+(-2+2{)}^2+(4-0{)}^2}=4>3$, nên $M$ nằm bên ngoài mặt cầu.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;0;0)$ thuộc $Ox$. Vì $I$ cách đều $A$ và $B$: $I{A}^2=I{B}^2\iff (a-1{)}^2+1+4=(a-3{)}^2+4+9\iff a^2-2a+6=a^2-6a+22\iff 4a=16\iff a=4$. Vậy $I(4;0;0)$, bán kính $R^2=I{A}^2=(4-1{)}^2+1+4=14$. Phương trình mặt cầu: $(x-4{)}^2+y^2+z^2=14\iff x^2+y^2+z^2-8x+2=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt cầu $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=9$ có tâm $I(2;-1;1)$, $R=3$. b) $\overrightarrow{IM}=(-1;4;4)$ nên $I{M}^2=1+16+16=33>9$, điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu → sai. c) Đường thẳng qua $O$ và $I(2;-1;1)$ có VTCP $(2;-1;1)$, nên phải là $x=2t,y=-t,z=t$; đề cho $z=-t$ → sai. d) $d(I,(P))=\frac{|2+2(-1)-2(1)+8|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{6}{3}=2$, nên $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\ne 2$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(2;-1;1)$, bán kính $R=\sqrt{9}=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I{M}^2=(-1{)}^2+4^2+4^2=33>9=R^2$ nên $M$ nằm ngoài mặt cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP đúng là $(2;-1;1)$, phương trình đúng $x=2t,y=-t,z=t$; đề cho $z=-t$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=2$, $r=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\ne 2$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;-2;-1)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$ có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $(Oxy)$: $R=|z_I|=|-1|=1$. Vậy phương trình là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(0-2{)}^2+(2-4{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Mặt cầu tâm $I(2;4;-1)$: $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=24$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{(0+1{)}^2+(3-2{)}^2+(2+3{)}^2}=\sqrt{1+1+25}=\sqrt{27}$, nên $R^2=27$. Phương trình mặt cầu tâm $I(-1;2;-3)$: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=27$. Khớp với đáp án nguồn D.

Hình lập phương có tâm $I(3;3;3)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(3;3;3)$ và có bán kính bằng 2
Phương trình mặt cầu là $$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=4$$

Hình lập phương có tâm $I(4;4;4)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;4;4)$ và có bán kính bằng 3
Phương trình mặt cầu là $$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9$$

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;-2;-3)$, bán kính $R=3$ có dạng $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2+6z+9=9$, tức $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+5=0$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (đề 102, câu 12: A).

Hình lập phương có tâm $I(3;3;3)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(3;3;3)$ và có bán kính bằng 2
Phương trình mặt cầu là $$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=4$$

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-2{)}^2+(2+1{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Mặt cầu: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=25$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-2{)}^2+(2+1{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Mặt cầu: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=25$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-2{)}^2+(2+1{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Mặt cầu tâm $I(2;-1;0)$: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=25$. Đáp án D.

Theo HD chấm (Đề 102 và 104):
Hình lập phương có tâm $I(3;3;3)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(3;3;3)$ và có bán kính bằng 2
Phương trình mặt cầu là
$$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=4$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9=9$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (đề 104, câu 11: A).

Theo HD chấm (Đề 101 và 103):
Hình lập phương có tâm $I(4;4;4)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;4;4)$ và có bán kính bằng 3
Phương trình mặt cầu là
$$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

Theo HD chấm (Đề 102 và 104):
Hình lập phương có tâm $I(3;3;3)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(3;3;3)$ và có bán kính bằng 2
Phương trình mặt cầu là
$$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=4$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

Theo HD chấm (Đề 101 và 103):
Hình lập phương có tâm $I(4;4;4)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;4;4)$ và có bán kính bằng 3
Phương trình mặt cầu là
$$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

Bán kính $R=IA$ (0.25 điểm). Đúng $R=2\sqrt{2}$ (0.25 điểm). Đúng dạng phương trình mặt cầu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$ (0.25 điểm). Kết quả: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=8$ (0.25 điểm).

Chú ý: Nếu học sinh chỉ ghi mà không lập luận ý 2, 4 thì chấm 0,75.