Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$, suy ra tọa độ tâm là $I(0;3;-3)$. Chọn D.

Mặt phẳng đi qua tâm cắt khối cầu theo hình tròn lớn có diện tích $S=\pi R^2=9\pi \Rightarrow R=3$. Diện tích của mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi (3{)}^2=36\pi$. Chọn B.

Bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-2{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$. Phương trình mặt cầu là $x^2+(y-2{)}^2+z^2=8$. Chọn B.

Bán kính $r$ của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-2=0$ là $r=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(-1;-2;-3)$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;4;2)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

a) Đúng. b) Đúng vì $d(A,(P))=\frac{2}{\sqrt{3}}<9$. c) Sai vì $r=\sqrt{81-4/3}\approx 8,93>8,5$. d) Sai vì $A{M}^2=25+4+64=93>81$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;4;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

a) Đúng vì $d(A,(P))=\frac{|4-6|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}<4$. b) Đúng vì $AM=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt{2}<4$. c) Sai vì bán kính bằng $4$ nên vế phải là $16$. d) Sai vì bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{16-4/3}=\sqrt{44/3}\approx 3,83>3,5$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;-3)$ và bán kính $R=2$ có phương trình là $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=2^2=4$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=4$. Ta có $I{M}^2=(1-1{)}^2+(-2+2{)}^2+(1-3{)}^2=4<16=R^2$ nên điểm $M(1;-2;1)$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có $3R^2=I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2=3I{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$ $(1)$.
Lại có $9P{G}^2=P{Q}^2=P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$ $(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $3R^2=3I{G}^2+6P{G}^2\iff I{G}^2+2P{G}^2=R^2$.
Vì $\overrightarrow{GQ}+2\overrightarrow{GP}=\vec{0}$ nên ta có $3\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IQ}+2\overrightarrow{IP}$
$\Rightarrow 9I{G}^2=I{Q}^2+4I{P}^2+4\overrightarrow{IQ}\cdot \overrightarrow{IP}=I{Q}^2+4I{P}^2+2(I{Q}^2+I{P}^2-P{Q}^2)=3I{Q}^2+6I{P}^2-18P{G}^2$
$\Rightarrow 9I{G}^2+18P{G}^2=3I{Q}^2+6I{P}^2\Rightarrow 9R^2=3I{Q}^2+6I{P}^2$.
Mà $I{P}^2=(2-1{)}^2+(4-2{)}^2+(5-3{)}^2=9$ và $R=5$ nên $I{Q}^2=3R^2-2I{P}^2=75-18=57$.
Vậy điểm $Q$ luôn di động trên mặt cầu cố định có tâm $I$, bán kính bằng $\sqrt{57}$.

Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=16$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=4$.

Bán kính của mặt cầu là $r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3$.
Diện tích của mặt cầu là $S=4\pi r^2=4\pi \cdot 3^2=36\pi$.

Hình chiếu vuông góc của $M(1;-2;3)$ lên trục $Ox$ là điểm $I(1;0;0)$.
Bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{(1-1{)}^2+(-2-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{0+4+9}=\sqrt{13}$.
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;0;0)$, bán kính $R=\sqrt{13}$ là:
$(x-1{)}^2+y^2+z^2=13$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu, bán kính $R=4$.
Chiều cao hình trụ là $h=4$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến mỗi mặt đáy của hình trụ là $d=\frac{h}{2}=2$.
Bán kính đáy $r$ của hình trụ thỏa mãn: $r^2=R^2-d^2=4^2-2^2=16-4=12$.
Thể tích khối trụ là: $V_1=\pi r^{2}h=\pi \cdot 12\cdot 4=48\pi$.
Thể tích khối cầu là: $V_2=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3=\frac{256\pi }{3}$.
Tỉ số thể tích: $\frac{V_1}{V_2}=\frac{48\pi }{\frac{256\pi }{3}}=\frac{144}{256}=\frac{9}{16}$.

Từ phương trình $(S):x^2+y^2+(z+1{)}^2=9$, ta có tâm $I(0;0;-1)$ và bán kính $R=3$.

Kẻ $SH\perp (ABC)$ tại $H$. Vì $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Suy ra $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong mặt phẳng $(SAH)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SH$ tại $I$. Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Bán kính $R = IS = \frac{{SA^2}}{{2SH}} = \frac{{SA^2}}{{2\sqrt{{SA^2 - HA^2}}}} = \frac{{2a^2}}{{2\sqrt{{2a^2 - \frac{{a^2}}}}}}

}}

$.

Gọi $M(x;y;z)$. Ta có $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)$, $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;z-2)$.
$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AM}=x(x-2)+y(y+2)+z(z-2)=x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=6$.
Mặt khác $M\in (S)\Rightarrow x^2+y^2+z^2+4z+4=1\iff x^2+y^2+z^2=-4z-3$.
Thay vào: $-4z-3-2x+2y-2z=6\iff -2x+2y-6z-9=0\iff 2x-2y+6z+9=0$. Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=4$ có tâm $I(1;-2;-1)$ và bán kính $R=2$.