Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2-1}=\sqrt{1+4+9-1}=\sqrt{13}$. Chọn A.

Gọi $O$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$. Vì lăng trụ đều nên $O^{\prime }O\perp (ABC)$. Hình nón ngoại tiếp hình chóp $O^{\prime }.ABC$ có bán kính đáy $R_d=OA=\frac{AB\sqrt{3}}{3}$. Khoảng cách giữa $A^{\prime }B$ và $C^{\prime }C$ là $d(C^{\prime }C,(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }))=d(C,AB)=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow AB=2a$. Khi đó $R_d=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Chiều cao hình nón là $O^{\prime }O=R_d\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=2a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là $R=\sqrt{R_d^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+a^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{3}}$ hoặc giải theo hình chi tiết cho $R=2a$, thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi a^3}{3}$.


Chọn A.

**Chọn C**

**Chọn A**
  
Ta có OA = (1; 4; -3) nên []OA, i ]] = ( 0; -3; -4 ) khi đó mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A (1; 4; -3) và

có véctơ pháp tuyến n = ( 0;3; 4 ) nên phương trình mặt phẳng ( P ) là: 3 y + 4 z = 0 .
3.2 + 4.1
Lại có d ( I , ( P ) ) = = 2.
32 + 42
Mặt cầu tâm I (1; 2;1) bán kính R = d ( I , ( P ) ) = 2 có phương trình là

( x - 1) + ( y - 2 ) + ( z - 1) = 4 .
2 2 2

**Chọn B**
( x - 1) + ( y + 1) + ( z - 3) = 4 có tâm E (1; -1;3) và R = 2 .
2 2 2

 2  2  2   2   2   2
( ) (
P = NA2 + NB 2 + 3 NC 2 = NA + NB + 3 NC = NI + IA + NI + IB + 3 NI + IC ) ( )
23

 2     2  2  2  2
( )
 P = 5 NI + 2 NI IA + IB + 3IC + IA + IB + 3IC
   
Ta cần tìm điểm I sao cho IA + IB + 3IC = 0  I ( 2;1;1) , khi đó:
 2  2  2  2
P = 5 NI + IA + IB + 3IC = 5 NI 2 + IA2 + IB 2 + 3IC 2 .
= 5 ( IE + R ) - 5 ( IE - R ) = 120 .
2 2
Do I , A , B , C cố định, nên M - m = 5 NI max
2
- 5 NI min
2

**Chọn A**

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=\frac{10}{2}=5$ nên có phương trình $x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=25$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ (b đúng) và bán kính $R=\sqrt{1+4+9-5}=3$ (d sai). Khoảng cách $d(I,(P))=\frac{|2+6+18-12|}{7}=2$ (a đúng). Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\Rightarrow$ chu vi là $2\pi \sqrt{5}$ (c sai) (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

Vùng phủ sóng là hình cầu $x^2+y^2+z^2\le 4$. Thay phương trình đường thẳng vào mặt cầu: $t^2+(1-t{)}^2+3=4⟺t=0$ hoặc $t=1$. Hai giao điểm là $A(0;1;\sqrt{3})$ và $B(1;0;\sqrt{3})$, nên quãng đường là $AB=\sqrt{2}\approx 1,4\text{ km}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

Thể tích khối cầu bán kính $R=2\text{ cm}$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (2{)}^3=\frac{32}{3}\pi {\text{ cm}}^3$. Chọn A.

Phương trình mặt cầu có $a=-3,b=2,c=1$. Tâm của $(S)$ là $I(-3;2;1)$. Chọn B.

Tập hợp các điểm $N$ thỏa mãn phép nghịch đảo qua gốc tọa độ $O$ với phương tích $36$ biến mặt phẳng $(P)$ thành mặt cầu $(S)$ đi qua $O$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, biểu thức $N{A}^2+N{B}^2=2N{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}$. Tìm khoảng cách từ $I$ đến mặt cầu $(S)$ ta suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $20-8\sqrt{3}$. Chọn C.

Ta có $a=2,b=1,c=-1,d=-3$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-1)$ và bán kính $r=\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2+3}=3$.

Vì mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ nên $d<R$.

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Thể tích của khối cầu bán kính $R$ được tính theo công thức: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Phương trình mặt cầu tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính $R=4$ là:
$(x-1{)}^2+(y-0{)}^2+(z-(-2){)}^2=4^2\iff (x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=16$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;1;0)$ và bán kính $R=2$.
Ta có $IB=\sqrt{(0-(-1){)}^2+(0-1{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{3}<R=2$, nên điểm $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Do đó mặt phẳng $(P)$ đi qua đường thẳng $AB$ luôn cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn $(C)$ có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$.
Bán kính $r$ nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $AB$.
Ta luôn có $d(I,(P))\le IK$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(P)\perp IK$ tại $K$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $B(0;0;1)$ có VTCP ${\vec{u}}_{AB}=\overrightarrow{BA}=(1;2;3)$, phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=1+3t\end{array}$.
Điểm $K\in AB\Rightarrow K(t;2t;1+3t)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(t+1;2t-1;3t+1)$.
Vì $IK\perp AB\iff \overrightarrow{IK}\cdot {\vec{u}}_{AB}=0$:
$1(t+1)+2(2t-1)+3(3t+1)=0\iff 14t+2=0\iff t=-\frac{1}{7}$.
Suy ra $\overrightarrow{IK}=\left(\frac{6}{7};-\frac{9}{7};\frac{4}{7}\right)=\frac{1}{7}(6;-9;4)$.

Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $IK$ nên nhận ${\vec{n}}_1=(6;-9;4)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $B(0;0;1)$ là:
$6(x-0)-9(y-0)+4(z-1)=0\iff 6x-9y+4z-4=0$.
Nhân cả hai vế với $-\frac{3}{4}$ để đưa hệ số tự do về $+3$:
$-\frac{9}{2}x+\frac{27}{4}y-3z+3=0$.
Suy ra $a=-\frac{9}{2}$, $b=\frac{27}{4}$, $c=-3$.
Vậy $a+b+c=-\frac{9}{2}+\frac{27}{4}-3=-\frac{3}{4}$.