Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;4;1)$ và bán kính $R=\sqrt{25}=5$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Quả bóng hình cầu có tâm $I(0;0;3)$ và bán kính $R=1\text{ m}$, nên đỉnh cao nhất của quả bóng cách mặt đất $(Oxy)$ là $3+1=4\text{ m}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Mặt cầu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$.
Từ phương trình đã cho ta có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$:
$R=d(I,(P))=\frac{|1-2(2)-2(-1)-8|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1-4+2-8|}{3}=\frac{|-9|}{3}=3.$
Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=3^2=9.$

**Chọn C**
Gọi M là hình chiếu vuông góc của điểm I ( 3; −1;2 ) lên trục Ox , suy ra M ( 3;0;0 ) .

Khi đó phương trình mặt cầu có tâm I ( 3; −1;2 ) và bán kính
= r IM
= 5 là:

( x − 3) + ( y + 1) + ( z − 2 ) =
2 2 2
5.

**Chọn A**
Thiết diện có diện tích lớn nhất khi thiết diện là hình tròn qua tâm mặt cầu
S=TD π=r 2 16π (cm 2 ).

mx − 2

**Chọn D**
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3;1; −1) , bán kính R = 2 .

Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; −1;1) và có một vectơ chỉ phương là ud = ( 2;1; 2 )
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I , điểm M , N và cắt d tại H .
Khi đó d ( I , d ) = IH .

Ta có: IA = ( −1; −2; 2 ) .

ud = ( 2;1; 2 )
 
⇒  IA, ud  = ( −6;6;3)
 
 IA, ud  ( −6 ) + 62 + 32
2
 
⇒ d (I , d ) = IH =  = 3.
=
ud 22 + 12 + 22

⇒ IH =3, IM =IN =R =2 ⇒ MH = 32 − 22 = IH 2 − IM 2 = 5 .
Gọi O là trung điểm của MN . Khi đó:
MH .IM 2 5 4 5
MO = = ⇒ MN = 2 MO = .
IH 3 3

Điểm $A$ nằm trong mặt cầu $S(I;R)$ khi và chỉ khi $IA<R$.

Mặt cầu $(S):(x-4{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=4$ có tâm là $I(4;-1;0)$.

Hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$ đồng tâm $I(1;2;3)$ với bán kính $R_1=3,R_2=4$. Ta có $IA=\sqrt{0^2+4^2+(-3{)}^2}=5$.
Vì $\Delta$ tiếp xúc với $(S_1)$ tại $K$ và cắt $(S_2)$ tại $B,C$ nên $BC=2\sqrt{R_2^2-R_1^2}=2\sqrt{16-9}=2\sqrt{7}$.
Khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ thỏa mãn $d(A,\Delta )\le AK\le IA+R_1=5+3=8$ (dấu bằng xảy ra khi $I$ nằm giữa $A$ và $K$, và $\Delta \perp IA$).
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ là $S_{\max }=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2\sqrt{7}=8\sqrt{7}$.

Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$, đặt $IH=x\in [0;2)$ và $IK=y\in [0;\sqrt{10})$. Khi đó $AB=2\sqrt{4-x^2}$, $CD=2\sqrt{10-y^2}$ và $d(AB,CD)\le HK\le x+y$.
Ta có $V_{ABCD}\le \frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot (x+y)=\frac{2}{3}\sqrt{4-x^2}\sqrt{10-y^2}(x+y)$.
Áp dụng bất đẳng thức $(x+y{)}^2\le \frac{3}{2}(2x^2+y^2)$ và AM-GM: $(8-2x^2)(10-y^2)(2x^2+y^2)\le {\left(\frac{8+10}{3}\right)}^3=216$.
Suy ra $V_{\max }=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{216}=6\sqrt{2}\approx 8,485\in (8;9)$ (đạt được khi $x=1,y=2$).

Mặt cầu $(S)$ có tâm là $(0;2;-5)$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

a) Sai vì $(x-1{)}^2+y^2+(z+3{)}^2=34^2⟺x^2+y^2+z^2-2x+6z-1146=0$. b) Sai vì $IN=\sqrt{16^2+18^2+(-24{)}^2}=34=R$. c) Đúng vì $IP=\sqrt{(-15{)}^2+30^2+10^2}=35\Rightarrow IP-R=1\text{ m}$. d) Sai vì $IM=\sqrt{(-30{)}^2+40^2+0}=50>34$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;3)$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

a) Sai vì $IN=\sqrt{(-16{)}^2+18^2+24^2}=34=R$ nên vẫn nhận được sóng. b) Sai vì $IM=\sqrt{30^2+40^2+0}=50>34$. c) Đúng vì $(x+1{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=34^2⟺x^2+y^2+z^2+2x-6z-1146=0$. d) Đúng vì $IP=\sqrt{15^2+30^2+(-10{)}^2}=35$, quãng đường ngắn nhất là $IP-R=35-34=1\text{ m}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Chọn C.

Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi R^2=4\pi \cdot 2^2=16\pi$.

Chọn A.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;-1;-1)$ và bán kính $R=3$.
Độ dài $I{A}^2=(2+1{)}^2+(3+1{)}^2+(-1+1{)}^2=9+16+0=25$.
Do $AM$ là tiếp tuyến nên $A{M}^2=I{A}^2-R^2=25-9=16$.
Điểm $M(x;y;z)$ thỏa mãn đồng thời:
1) $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=9$
2) $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+1{)}^2=16$.
Trừ vế theo vế ta được: $6x+8y-4=0\iff 3x+4y-2=0$.
Vậy $M$ luôn thuộc mặt phẳng $3x+4y-2=0$.

Chọn D.


Phân tích bài toán hình học trong không gian $Oxyz$ bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác và tính đối xứng qua mặt phẳng nối hai tâm, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được bằng $3\sqrt{3}$.

Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=2$ có tâm $I(1;-2;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$.

Diện tích của mặt cầu bán kính $r=2a$ là $S=4\pi r^2=4\pi (2a{)}^2=16\pi a^2$.